सेमिग्रुप

मैग्मा (बीजगणित) और समूह (गणित) के बीच बीजगणितीय संरचनाएं: एक अर्धसमूह सहयोगी संपत्ति के साथ एक मैग्मा (बीजगणित) है। एक मोनोइड एक पहचान तत्व वाला एक अर्धसमूह है।

गणित में, एक सेमीग्रुप एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें एक समुच्चय होता है जिसमें एक सहयोगी आंतरिक बाइनरी ऑपरेशन होता है।

सेमीग्रुप के बाइनरी ऑपरेशन को अक्सर गुणन के रूप में दर्शाया जाता है: x·y, या बस xy, ऑर्डर किए गए जोड़े के लिए सेमीग्रुप ऑपरेशन लागू करने के परिणाम को दर्शाता है। (x, y). सहयोगीता औपचारिक रूप से उस रूप में व्यक्त की जाती है (x·y)·z = x·(y·z) सेमीग्रुप में सभी x, y और z के लिए।

सेमीग्रुप्स को मैग्मास का एक विशेष मामला माना जा सकता है, जहां ऑपरेशन साहचर्य है, या समूहों के सामान्यीकरण के रूप में, पहचान तत्व या व्युत्क्रम के अस्तित्व की आवश्यकता के बिना।^{[note 1]} समूहों या मैग्मास के मामले में, सेमीग्रुप ऑपरेशन क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए x·y आवश्यक रूप से y·x के बराबर नहीं है; एक ऑपरेशन का एक प्रसिद्ध उदाहरण जो साहचर्य है लेकिन गैर-कम्यूटेटिव मैट्रिक्स गुणन है। यदि सेमीग्रुप ऑपरेशन कम्यूटेटिव है, तो सेमीग्रुप को कम्यूटेटिव सेमीग्रुप कहा जाता है या (समूहों के समान मामले की तुलना में कम बार) इसे एबेलियन सेमीग्रुप कहा जा सकता है।

एक मोनोइड एक बीजगणितीय संरचना है जो सेमीग्रुप और समूहों के बीच मध्यवर्ती है, और एक सेमीग्रुप है जिसमें एक पहचान तत्व होता है, इस प्रकार समूह के सभी स्वयंसिद्धों का पालन करता है: व्युत्क्रमों के अस्तित्व के लिए एक मोनोइड की आवश्यकता नहीं होती है। एक प्राकृतिक उदाहरण बाइनरी ऑपरेशन के रूप में संयोजन के साथ तार है, और पहचान तत्व के रूप में खाली स्ट्रिंग है। गैर-खाली स्ट्रिंग्स तक सीमित करना एक सेमीग्रुप का उदाहरण देता है जो एक मोनोइड नहीं है। जोड़ के साथ धनात्मक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय अर्धसमूह बनाते हैं जो एक मोनोइड नहीं है, जबकि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक एक मोनोइड बनाते हैं। एक पहचान तत्व के बिना एक अर्धसमूह को केवल एक पहचान तत्व जोड़कर आसानी से एक मोनोइड में बदल दिया जा सकता है। नतीजतन, मोनोइड्स का अध्ययन समूह सिद्धांत के बजाय सेमिग्रुप के सिद्धांत में किया जाता है। अर्धसमूहों को अर्धसमूहों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो एक अलग दिशा में समूहों का एक सामान्यीकरण है; एक अर्धसमूह में संचालन सहयोगी होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अर्धसमूह समूहों से विभाजन की धारणा को संरक्षित करते हैं। सेमीग्रुप्स (या मोनोइड्स) में विभाजन सामान्य रूप से संभव नहीं है।

अर्धसमूहों का औपचारिक अध्ययन 20वीं सदी की शुरुआत में शुरू हुआ। प्रारंभिक परिणामों में अर्धसमूहों के लिए एक केली प्रमेय शामिल है, जो किसी भी सेमीग्रुप को रूपांतरण सेमीग्रुप के रूप में साकार करता है, जिसमें स्वैच्छिक कार्य समूह सिद्धांत से आक्षेपों की भूमिका को प्रतिस्थापित करते हैं। परिमित अर्धसमूहों के वर्गीकरण में एक गहरा परिणाम क्रोन-रोड्स सिद्धांत है, जो परिमित समूहों के लिए जॉर्डन-होल्डर अपघटन के अनुरूप है। सेमीग्रुप्स के अध्ययन के लिए कुछ अन्य तकनीकें, जैसे ग्रीन के संबंध, समूह सिद्धांत में कुछ भी समान नहीं हैं।

1950 के दशक के बाद से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में परिमित अर्धसमूहों के सिद्धांत का विशेष महत्व रहा है क्योंकि सिंटैक्टिक मोनोइड के माध्यम से परिमित अर्धसमूहों और परिमित ऑटोमेटा के बीच प्राकृतिक संबंध है। संभाव्यता सिद्धांत में, सेमीग्रुप मार्कोव प्रक्रियाओं से जुड़े हैं।^[1] अनुप्रयुक्त गणित के अन्य क्षेत्रों में, अर्धसमूह रेखीय समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए मौलिक मॉडल हैं। आंशिक अवकल समीकरणों में, एक अर्धसमूह किसी भी समीकरण से जुड़ा होता है जिसका स्थानिक विकास समय से स्वतंत्र होता है।

सेमीग्रुप के कई विशेष वर्ग हैं, अतिरिक्त गुणों वाले सेमीग्रुप, जो विशेष अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं। इनमें से कुछ वर्ग समूह के कुछ अतिरिक्त लेकिन सभी गुणों को प्रदर्शित करके समूहों के और भी करीब हैं। इनमें से हम उल्लेख करते हैं: नियमित सेमिग्रुप्स, रूढ़िवादी सेमीग्रुप्स, सेमीग्रुप्स विथ इनवोल्यूशन, प्रतिलोम अर्धसमूह और रद्दीकरण अर्धसमूह। सेमीग्रुप्स के दिलचस्प वर्ग भी हैं जिनमें तुच्छ समूह को छोड़कर कोई समूह नहीं है; बाद के प्रकार के उदाहरण हैं बैंड और उनके क्रमविनिमेय उपवर्ग-सेमिलैटिस, जिन्हें बीजगणितीय संरचनाओं का भी आदेश दिया जाता है।

परिभाषा

एक सेमीग्रुप एक सेट है (गणित) $S$ एक साथ एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ $\cdot$ (यानी, एक समारोह (गणित) $\cdot :S\times S\rightarrow S$ ) जो साहचर्य संक्रिया को संतुष्ट करता है:

सभी

a,b,c\in S

के लिए, समीकरण

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

रखती है।

अधिक संक्षिप्त रूप से, एक अर्धसमूह एक साहचर्य मेग्मा है।

सेमीग्रुप्स के उदाहरण

खाली सेमीग्रुप: खाली सेट बाइनरी ऑपरेशन के रूप में खाली फ़ंक्शन के साथ खाली अर्धसमूह बनाता है।
एक तत्व के साथ सेमिग्रुप: ऑपरेशन के साथ अनिवार्य रूप से केवल एक (विशेष रूप से, केवल एक समाकृतिकता तक), सिंगलटन {ए} है a · a = a.
दो तत्वों के साथ अर्धसमूह: पाँच हैं जो अनिवार्य रूप से भिन्न हैं।
फ्लिप-फ्लॉप मोनोइड: तीन तत्वों वाला एक सेमीग्रुप एक स्विच पर तीन ऑपरेशनों का प्रतिनिधित्व करता है - सेट करें, रीसेट करें और कुछ न करें।
जोड़ के साथ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय। (0 सहित, यह एक मोनोइड बन जाता है।)
न्यूनतम या अधिकतम के साथ पूर्णांकों का सेट। (सकारात्मक/नकारात्मक अनंत शामिल होने के साथ, यह एक मोनोइड बन जाता है।)
मैट्रिक्स गुणन के साथ दिए गए आकार का स्क्वायर गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स
वलय के गुणन के साथ वलय (बीजगणित) का कोई वलय आदर्श।

मुक्त अर्धसमूह ऑपरेशन के रूप में स्ट्रिंग्स के संयोजन के साथ एक निश्चित वर्णमाला Σ पर सभी परिमित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का सेट - Σ पर तथाकथित मुक्त सेमीग्रुप। खाली स्ट्रिंग शामिल होने के साथ, यह सेमीग्रुप Σ पर मुक्त मोनोइड बन जाता है।

ऑपरेशन के रूप में कनवल्शन के साथ F की सभी कनवल्शन शक्तियों के साथ एक संभाव्यता वितरण F। इसे कनवल्शन सेमीग्रुप कहा जाता है।
परिवर्तन अर्धसमूह और परिवर्तन मोनोइड।
कार्यों की संरचना के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस से निरंतर कार्यों का सेट पहचान के रूप में कार्य करने वाले पहचान समारोह के साथ एक मोनोइड बनाता है। अधिक आम तौर पर, किसी श्रेणी (गणित) की किसी भी वस्तु का एंडोमोर्फिज्म रचना के तहत एक मोनोइड बनाता है।
हाइपरप्लेन की व्यवस्था के चेहरों का उत्पाद।

बुनियादी अवधारणाएँ

पहचान और शून्य

सेमीग्रुप $S$ (या अधिक सामान्यतः, मैग्मा) की बाईं पहचान एक तत्व $e$ है, जो सभी $x$ में $S$ , $ex=x$ . इसी तरह, एक सही पहचान एक तत्व $f$ है, जो सभी $x$ in $xf=x$ के लिए है। बाएँ और दाएँ की पहचान दोनों को एक तरफा पहचान कहा जाता है। एक अर्धसमूह में एक या अधिक बायीं पहचान हो सकती है लेकिन कोई सही पहचान नहीं है, और इसके विपरीत।

एक दो तरफा पहचान (या सिर्फ पहचान) एक ऐसा तत्व है जो बाएं और दाएं दोनों पहचान है। दो तरफा पहचान वाले सेमिग्रुप्स को मोनोइड्स कहा जाता है। एक अर्धसमूह में अधिकतम एक दो तरफा पहचान हो सकती है। यदि एक अर्धसमूह की दो तरफा पहचान है, तो दो तरफा पहचान अर्धसमूह में केवल एक तरफा पहचान है। यदि एक अर्धसमूह के पास बायीं पहचान और सही पहचान दोनों हैं, तो इसकी दो तरफा पहचान है (जो कि अद्वितीय एक तरफा पहचान है)।

बिना पहचान के एक सेमीग्रुप $S$ को $e\notin S$ और परिभाषित $e\cdot s=s\cdot e=s$ सबके लिए $s\in S\cup \{e\}$ ^[2]^[3] संकेतन $S^{1}$ से प्राप्त एक मोनॉइड को एम्बेडिंग दर्शाता है, यदि आवश्यक हो तो एक पहचान से जुड़ा हुआ है ( $S^{1}=S$ एक मोनोइड के लिए)।^[3]

इसी तरह, प्रत्येक मेग्मा में अधिक से अधिक एक अव होता है, जिसे अर्धसमूह सिद्धांत में शून्य कहा जाता है। उपरोक्त निर्माण के अनुरूप, प्रत्येक अर्धसमूह के लिए $S$ , कोई परिभाषित कर सकता है , 0 के साथ एक सेमीग्रुप जो एम्बेड करता है .

इसी तरह, प्रत्येक मेग्मा में अधिक से अधिक एक अवशोषक तत्व होता है, जिसे अर्धसमूह सिद्धांत में शून्य कहा जाता है। उपरोक्त निर्माण के अनुरूप, प्रत्येक सेमीग्रुप {\displaystyle S}S के लिए, $S^{0}$ को परिभाषित किया जा सकता है, जो 0 के साथ एक सेमीग्रुप है जो $S$ को एम्बेड करता है।

उपसमूह और आदर्श

सेमीग्रुप ऑपरेशन अपने सबसेट के संग्रह पर एक ऑपरेशन को प्रेरित करता है: सेमीग्रुप एस के दिए गए सबसेट ए और बी, उनके उत्पाद A · B, जिसे आमतौर पर AB के रूप में लिखा जाता है, सेट { ab | a in A and b in B }.। (इस धारणा को समूहों के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है।) इस संक्रिया के संदर्भ में, एक उपसमुच्चय A कहलाता है

एक 'उपअर्द्धसमूह' यदि AA, A का एक उपसमुच्चय है,
एक 'दक्षिण आदर्श' यदि AS, A का उपसमुच्चय है, और
एक 'वाम आदर्श' यदि SA, A का उपसमुच्चय है।

यदि A एक बाएं आदर्श और सही आदर्श दोनों है तो इसे एक आदर्श (या द्वि-पक्षीय आदर्श) कहा जाता है।

यदि S एक अर्धसमूह है, तो S के उपसमूहों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन भी S का एक उपसमूह है। इसलिए S के उपसमूह एक पूर्ण जाली बनाते हैं।

बिना न्यूनतम आदर्श वाले सेमीग्रुप का एक उदाहरण योग के तहत सकारात्मक पूर्णांकों का समूह है। क्रमविनिमेय सेमीग्रुप का न्यूनतम आदर्श, जब यह मौजूद होता है, एक समूह होता है।

ग्रीन के संबंध, पांच समतुल्य संबंधों का एक सेट जो तत्वों को उनके द्वारा उत्पन्न किए गए प्रमुख आदर्शों के संदर्भ में चिह्नित करते हैं, एक अर्धसमूह के आदर्शों और संरचना के संबंधित विचारों का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं।

संपत्ति के साथ उपसमुच्चय जो प्रत्येक तत्व सेमीग्रुप के किसी अन्य तत्व के साथ संचार करता है, सेमीग्रुप का केंद्र कहलाता है।^[4] एक अर्धसमूह का केंद्र वास्तव में एक उपसमूह है।^[5]

समरूपता और सर्वांगसमता

एक सेमीग्रुप एस 'सर्वांगसमता पर अधिकतम स्थिति' को संतुष्ट करता है, यदि समावेशन द्वारा आदेशित एस पर सर्वांगसमता के किसी भी परिवार में एक अधिकतम तत्व है। ज़ोर्न के लेम्मा द्वारा, यह कहने के बराबर है कि आरोही श्रृंखला की स्थिति धारण करती है: S पर सर्वांगसमता की कोई अनंत आरोही श्रृंखला नहीं है।^[6] सेमीग्रुप का हर आदर्श I एक कारक सेमीग्रुप, रीस फैक्टर सेमीग्रुप को प्रेरित करता है, जो सर्वांगसमता ρ द्वारा परिभाषित होता है x ρ y या तो x = y, या x और y दोनों I में हैं।

भागफल और भाग

निम्नलिखित धारणाएँ^[7] इस विचार का परिचय देती हैं कि एक अर्धसमूह दूसरे में समाहित है।

एक सेमीग्रुप T एक सेमीग्रुप S का भागफल है यदि S से T तक विशेषण सेमीग्रुप मोर्फिज़्म है। उदाहरण के लिए, $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,+)$ $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,+)$ का भागफल है, एक पूर्णांक के शेष मॉड्यूल 2 को लेने वाले आकारिकी का उपयोग करते हुए।

एक सेमीग्रुप T एक सेमीग्रुप S को विभाजित करता है, नोट किया गया $T\preceq S$ यदि T एक सबसेमिग्रुप S का भागफल है। विशेष रूप से, S के सबसेमिग्रुप T को विभाजित करते हैं, जबकि यह जरूरी नहीं है मामला है कि S के भागफल हैं।

वे दोनों संबंध संक्रामक हैं।

सेमीग्रुप्स की संरचना

S के किसी उपसमुच्चय A के लिए S का सबसे छोटा उपसमूह T है जिसमें A शामिल है, और हम कहते हैं कि A, T उत्पन्न करता है। S का एक एकल तत्व x उपसमूह {xⁿ | n ∈ Z⁺ }. यदि यह परिमित है, तो x को परिमित क्रम का कहा जाता है, अन्यथा यह अनंत क्रम का है। एक अर्धसमूह को आवधिक कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व परिमित क्रम के हों। एकल तत्व द्वारा उत्पन्न एक अर्धसमूह को मोनोजेनिक (या चक्रीय) कहा जाता है। यदि एक मोनोजेनिक सेमीग्रुप अनंत है तो यह योग के संचालन के साथ सकारात्मक पूर्णांकों के सेमीग्रुप के लिए आइसोमॉर्फिक है। यदि यह परिमित और गैर-खाली है, तो इसमें कम से कम एक बेवकूफ होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-खाली आवधिक अर्धसमूह में कम से कम एक बेवकूफ है।

एक उपसमूह जो एक समूह भी है, उपसमूह कहलाता है। एक अर्धसमूह के उपसमूहों और उसके आदर्शों के बीच घनिष्ठ संबंध होता है। प्रत्येक उपसमूह में बिल्कुल एक आदर्श होता है, अर्थात् उपसमूह का पहचान तत्व। सेमीग्रुप के प्रत्येक idempotent e के लिए एक अद्वितीय अधिकतम उपसमूह होता है जिसमें e होता है। प्रत्येक अधिकतम उपसमूह इस तरह से उत्पन्न होता है, इसलिए आदर्श और अधिकतम उपसमूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। यहाँ अधिकतम उपसमूह शब्द समूह सिद्धांत में इसके मानक उपयोग से भिन्न है।

आदेश परिमित होने पर अक्सर अधिक कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक गैर-खाली परिमित अर्धसमूह आवधिक होता है, और इसमें न्यूनतम आदर्श और कम से कम एक आदर्श होता है। किसी दिए गए आकार (1 से अधिक) के परिमित अर्धसमूहों की संख्या (स्पष्ट रूप से) समान आकार के समूहों की संख्या से अधिक है। उदाहरण के लिए, दो तत्वों {a, b}, आठ फार्म सेमीग्रुप^{[note 2]} के एक सेट के लिए सोलह संभावित "गुणन सारणी" में, जबकि इनमें से केवल चार मोनोइड हैं और केवल दो फॉर्म समूह हैं। परिमित अर्धसमूहों की संरचना के बारे में अधिक जानने के लिए, क्रोहन-रोड्स सिद्धांत देखें।

सेमीग्रुप्स की विशेष कक्षाएं

एक मोनोइड एक पहचान तत्व वाला एक अर्धसमूह है।
एक समूह (गणित) एक मोनोइड है जिसमें प्रत्येक तत्व में एक व्युत्क्रम तत्व होता है।
एक उपसमूह एक अर्धसमूह का एक उपसमुच्चय है जो अर्धसमूह संचालन के तहत बंद है।
रद्द करने वाला अर्धसमूह वह होता है जिसके पास रद्द करने की संपत्ति होती है:^[8] a · b = a · c तात्पर्य b = c और इसी तरह के लिए b · a = c · a. प्रत्येक समूह एक रद्दीकरण अर्धसमूह है, और प्रत्येक परिमित रद्दीकरण अर्धसमूह एक समूह है।
एक बैंड (बीजगणित) एक अर्धसमूह है जिसका संचालन निष्क्रिय है।
एक सेमिलेटिस एक सेमीग्रुप है जिसका ऑपरेशन बेवकूफ और कम्यूटेटिविटी है।
0-साधारण अर्धसमूह।
परिवर्तन सेमीग्रुप: किसी भी परिमित सेमीग्रुप एस को एक (राज्य-) सेट क्यू के परिवर्तनों द्वारा सबसे अधिक प्रतिनिधित्व किया जा सकता है |S| + 1 राज्यों। S का प्रत्येक तत्व x तब Q को अपने आप में मैप करता है x: Q → Q और अनुक्रम xy द्वारा परिभाषित किया गया है q(xy) = (qx)y क्यू में प्रत्येक क्यू के लिए। अनुक्रम स्पष्ट रूप से एक सहयोगी ऑपरेशन है, यहां फ़ंक्शन संरचना के बराबर है। यह प्रतिनिधित्व किसी भी automaton या परिमित-राज्य मशीन (FSM) के लिए बुनियादी है।
बाइसिकल सेमीग्रुप वास्तव में एक मोनोइड है, जिसे संबंध के तहत दो जेनरेटर पी और क्यू पर मुक्त सेमीग्रुप के रूप में वर्णित किया जा सकता है pq = 1.
सी0-सेमीग्रुप|सी₀-अर्धसमूह।
नियमित अर्धसमूह। प्रत्येक अवयव x में कम से कम एक व्युत्क्रम y संतोषजनक होता है xyx=x तथा yxy=y; तत्व x और y को कभी-कभी परस्पर व्युत्क्रम कहा जाता है।
प्रतिलोम अर्धसमूह नियमित अर्धसमूह होते हैं जहां प्रत्येक तत्व का ठीक एक व्युत्क्रम होता है। वैकल्पिक रूप से, एक नियमित सेमिग्रुप उलटा होता है अगर और केवल अगर कोई दो बेवकूफ कम्यूट करते हैं।
एफाइन सेमीग्रुप: एक सेमीग्रुप जो जेड के एक अंतिम रूप से उत्पन्न उपसमूह के लिए आइसोमॉर्फिक है^घ. इन सेमीग्रुप्स में क्रमविनिमेय बीजगणित के अनुप्रयोग हैं।

क्रमविनिमेय अर्धसमूहों के लिए संरचना प्रमेय

सेमीलैटिस के संदर्भ में क्रमविनिमेय अर्धसमूहों के लिए एक संरचना प्रमेय है।^[9] एक सेमिलैटिस (या अधिक सटीक रूप से एक मीट-सेमिलैटिस) $(L,\leq )$ एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है जहां तत्वों की हर जोड़ी $a,b\in L$ की सबसे बड़ी निचली सीमा है, जिसे $a\wedge b$ के रूप में दर्शाया गया है। ऑपरेशन $\wedge$ बनाता है $L$ एक सेमीग्रुप में अतिरिक्त idempotence नियम को संतुष्ट करता है $a\wedge a=a$ ।

एक समरूपता $f:S\to L$ एक मनमाना अर्धसमूह से एक अर्धजाल तक दिया गया है, प्रत्येक प्रतिलोम छवि $S_{a}=f^{-1}\{a\}$ एक (संभवतः खाली) अर्धसमूह है। इसके अलावा, $S$ , $L$ द्वारा ग्रेडेड हो जाता है, इस अर्थ में

S_{a}S_{b}\subseteq S_{a\wedge b}.

यदि $f$ आच्छादक है, तो अर्द्धजाल $L$ तुल्यता संबंध $\sim$ द्वारा $S$ के भागफल के लिए समरूपी है, जैसे कि $x\sim y$ यदि और केवल यदि $f(x)=f(y)$ । जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, यह तुल्यता संबंध एक अर्धसमूह सर्वांगसमता है।

जब भी हम किसी क्रमविनिमेय अर्धसमूह के भागफल को सर्वांगसमता से लेते हैं, तो हमें एक अन्य क्रमविनिमेय अर्धसमूह प्राप्त होता है। संरचना प्रमेय कहता है कि किसी भी क्रमविनिमेय अर्धसमूह $S$ के लिए, एक बेहतरीन सर्वांगसमता $\sim$ है जैसे कि इस तुल्यता संबंध द्वारा $S$ का भागफल एक अर्धजालक है। $L$ द्वारा इस अर्धजाल को नकारते हुए, हमें $S$ से $L$ पर एक समरूपता $f$ मिलती है। जैसा कि उल्लेख किया गया है, $S$ इस अर्धजाल द्वारा वर्गीकृत हो जाता है।

इसके अलावा, घटक $S_{a}$ सभी आर्किमिडीज़ सेमीग्रुप हैं। एक आर्किमिडीयन सेमीग्रुप वह है जहां $x,y$ तत्वों की कोई भी जोड़ी दी गई है, वहां एक तत्व $z$ और $n>0$ मौजूद है जैसे कि $x^{n}=yz$ ।

आर्किमिडीयन संपत्ति अर्ध-जाल $L$ में आदेश देने के तुरंत बाद आती है, क्योंकि इस आदेश के साथ हमारे पास $f(x)\leq f(y)$ अगर और केवल अगर $x^{n}=yz$ कुछ $z$ और $n>0$ के लिए।

अंशों का समूह

अंशों का समूह या सेमीग्रुप एस का समूह समापन समूह G = G(S) है जो एस के तत्वों द्वारा जेनरेटर के रूप में उत्पन्न होता है और सभी समीकरण xy = z जो एक समूह की प्रस्तुति के रूप में S में सही होते हैं।^[10] एक स्पष्ट अर्धसमूह समरूपता j : S → G(S) है जो S के प्रत्येक तत्व को संबंधित जनरेटर को भेजता है। इसमें S से एक समूह के आकारिकी के लिए एक सार्वभौमिक संपत्ति है:^[11] किसी भी समूह H और किसी भी अर्धसमूह समरूपता k : S → H को देखते हुए, एक अद्वितीय समूह समरूपता f : G → H के साथ मौजूद है। हम G को "सबसे सामान्य" समूह के रूप में सोच सकते हैं जिसमें S की समरूप छवि होती है।

एक महत्वपूर्ण प्रश्न उन अर्धसमूहों को चिह्नित करना है जिनके लिए यह नक्शा एक एम्बेडिंग है। यह हमेशा मामला नहीं होना चाहिए: उदाहरण के लिए, एस को बाइनरी ऑपरेशन के रूप में सेट-सैद्धांतिक चौराहे के साथ कुछ सेट एक्स के सबसेट के सेमीग्रुप के रूप में लें (यह एक सेमिलेटिस का एक उदाहरण है)। चूंकि A.A = A एस के सभी तत्वों के लिए है, यह G(S) के सभी जनरेटर के लिए भी सही होना चाहिए: जो कि तुच्छ समूह है। एम्बेड करने की क्षमता के लिए यह स्पष्ट रूप से आवश्यक है कि S के पास रद्द करने की संपत्ति हो। जब S क्रमविनिमेय होता है तो यह स्थिति भी पर्याप्त होती है^[12] और सेमीग्रुप का ग्रोथेंडिक समूह अंशों के समूह का निर्माण प्रदान करता है। गैर-कम्यूटेटिव सेमीग्रुप्स के लिए समस्या का पता सेमीग्रुप्स पर पहले पर्याप्त पेपर में लगाया जा सकता है।^[13]^[14] अनातोली माल्टसेव ने 1937 में एम्बेडिंग के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें दी थीं।^[15]

आंशिक अंतर समीकरणों में सेमीग्रुप तरीके

आंशिक अंतर समीकरणों के क्षेत्र में कुछ समस्याओं का अध्ययन करने के लिए सेमिग्रुप सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। मोटे तौर पर बोलते हुए, सेमीग्रुप दृष्टिकोण एक समय-निर्भर आंशिक अंतर समीकरण को फ़ंक्शन स्पेस पर सामान्य अंतर समीकरण के रूप में मानना है। उदाहरण के लिए, स्थानिक अंतराल (0, 1) ⊂ R और समय t ≥ 0 पर ऊष्मा समीकरण के लिए निम्न आरंभिक/सीमा मान समस्या पर विचार करें:

{\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}

X = L²((0, 1) R) डोमेन अंतराल (0, 1) के साथ स्क्वायर-इंटीग्रेबल रीयल-वैल्यू फ़ंक्शंस का L^p स्पेस बनें और A को डोमेन के साथ दूसरा व्युत्पन्न ऑपरेटर बनें

D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},

जहाँ H² एक सोबोलेव स्पेस है। फिर उपरोक्त प्रारंभिक/सीमा मूल्य समस्या को स्थान X पर एक साधारण अंतर समीकरण के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या के रूप में व्याख्या किया जा सकता है:

{\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}

अनुमानी स्तर पर, इस समस्या का समाधान "चाहिए" u(t) = exp(tA)u₀ होना चाहिए। हालांकि, एक कठोर उपचार के लिए, tA के घातांक को एक अर्थ दिया जाना चाहिए। टी के एक समारोह के रूप में, exp(tA) X से ऑपरेटरों का एक अर्धसमूह है, समय t = 0 पर प्रारंभिक स्थिति यू 0 को राज्य u(t) = exp(tA)u₀ समय t पर ले जाता है। संकारक A को अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म जनित्र कहा जाता है।

इतिहास

सेमीग्रुप्स का अध्ययन अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के पीछे अधिक जटिल स्वयंसिद्धों जैसे समूहों या रिंगों के साथ होता है। कई स्रोत ^[16]^[17] इस शब्द के पहले प्रयोग (फ्रेंच में) का श्रेय जे.-ए को देते हैं। 1904 में Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (सार समूहों के सिद्धांत के तत्व) में de Séguier। इस शब्द का प्रयोग अंग्रेजी में 1908 में Harold Hinton's Theory of Groups of Finite Order में किया गया है।

एंटन सुशकेविच ने सेमीग्रुप के बारे में पहला गैर-तुच्छ परिणाम प्राप्त किया। उनका 1928 का पेपर "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("ऑन फाइनाइट ग्रुप्स विदाउट द रूल ऑफ यूनीक इन्वर्टिबिलिटी") ने फाइन सिंपल सेमीग्रुप्स की संरचना निर्धारित की और दिखाया कि न्यूनतम आदर्श (या ग्रीन के संबंध जे-क्लास) एक परिमित अर्धसमूह सरल है।^[17] उस समय से, सेमीग्रुप सिद्धांत की नींव आगे डेविड रीस (गणितज्ञ), जेम्स अलेक्जेंडर ग्रीन, एवगेनी सर्गेइविच लायपिन, अल्फ्रेड एच। क्लिफर्ड और गॉर्डन प्रेस्टन द्वारा रखी गई थी। बाद के दो ने क्रमशः 1961 और 1967 में सेमीग्रुप थ्योरी पर दो-वॉल्यूम मोनोग्राफ प्रकाशित किया। 1970 में, सेमीग्रुप फोरम (वर्तमान में स्प्रिंगर वरलैग द्वारा संपादित) नामक एक नई पत्रिका पूरी तरह से सेमीग्रुप सिद्धांत के लिए समर्पित कुछ गणितीय पत्रिकाओं में से एक बन गई।

सेमिग्रुप्स का प्रतिनिधित्व सिद्धांत 1963 में बोरिस शेन द्वारा विकसित किया गया था, जिसमें सेट ए पर बाइनरी संबंधों और सेमीग्रुप उत्पाद के लिए संबंधों की संरचना का उपयोग किया गया था।^[18] 1972 में एक बीजगणितीय सम्मेलन में स्कीन ने B_A पर साहित्य का सर्वेक्षण किया, A पर संबंधों का अर्धसमूह।^[19] 1997 में शेन और राल्फ मैकेंजी ने साबित किया कि प्रत्येक अर्धसमूह द्विआधारी संबंधों के एक सकर्मक अर्धसमूह के लिए समरूप है।^[20]

हाल के वर्षों में क्षेत्र के शोधकर्ता सेमीग्रुप्स के महत्वपूर्ण वर्गों, जैसे व्युत्क्रम सेमीग्रुप्स, साथ ही बीजगणितीय ऑटोमेटा सिद्धांत में अनुप्रयोगों पर ध्यान केंद्रित करने वाले मोनोग्राफ, विशेष रूप से परिमित ऑटोमेटा के लिए, और कार्यात्मक विश्लेषण में भी समर्पित मोनोग्राफ के साथ अधिक विशिष्ट हो गए हैं।

सामान्यीकरण

यदि एक सेमीग्रुप की साहचर्यता अभिगृहीत को छोड़ दिया जाता है, तो परिणाम एक मैग्मा होता है, जो एक सेट M से अधिक कुछ नहीं होता है जो बाइनरी ऑपरेशन से लैस होता है जो $M \times M \to M$ बंद होता है।

एक अलग दिशा में सामान्यीकरण, एक एन-आरी सेमीग्रुप (एन-सेमीग्रुप, पॉलीएडिक सेमीग्रुप या मल्टीएरी सेमीग्रुप भी) बाइनरी ऑपरेशन के बजाय एन-आरी ऑपरेशन के साथ एक सेट जी के सेमीग्रुप का सामान्यीकरण है।^[21] साहचर्य कानून को इस प्रकार सामान्यीकृत किया जाता है: त्रैमासिक साहचर्य $(abc) de = a (bcd) e = ab (cde)$ , यानी स्ट्रिंग abcde जिसमें किन्हीं तीन आसन्न तत्वों को कोष्ठक में रखा गया हो। एन-एरी सहयोगीता लंबाई $n + (n - 1)$ की एक स्ट्रिंग है जिसमें किसी भी एन आसन्न तत्वों को ब्रैकेट किया गया है। एक 2-एरी सेमीग्रुप सिर्फ एक सेमीग्रुप है। आगे के अभिगृहीत एक n-आरी समूह की ओर ले जाते हैं।

एक तीसरा सामान्यीकरण सेमीग्रुपॉइड है, जिसमें बाइनरी रिलेशन के कुल होने की आवश्यकता को हटा दिया जाता है। चूंकि श्रेणियां मोनोइड्स को उसी तरह सामान्यीकृत करती हैं, एक सेमिग्रुपोइड एक श्रेणी की तरह व्यवहार करता है लेकिन पहचान की कमी होती है।

क्रमविनिमेय अर्धसमूहों के अनंत सामान्यीकरणों पर कभी-कभी विभिन्न लेखकों द्वारा विचार किया गया है।^{[note 3]}

यह भी देखें

शोषक तत्व
बायोआर्डर सेट
खाली अर्धसमूह
सामान्यीकृत उलटा
पहचान तत्व
प्रकाश की साहचर्यता परीक्षण
क्वांटम डायनेमिक सेमीग्रुप
सेमीग्रुप रिंग
कमजोर उलटा

↑ The closure axiom is implied by the definition of a binary operation on a set. Some authors thus omit it and specify three axioms for a group and only one axiom (associativity) for a semigroup.
↑ Namely: the trivial semigroup in which (for all x and y) xy = a and its counterpart in which xy = b, the semigroups based on multiplication modulo 2 (choosing a or b as the identity element 1), the groups equivalent to addition modulo 2 (choosing a or b to be the identity element 0), and the semigroups in which the elements are either both left identities or both right identities.
↑ See references in Udo Hebisch and Hanns Joachim Weinert, Semirings and Semifields, in particular, Section 10, Semirings with infinite sums, in M. Hazewinkel, Handbook of Algebra, Vol. 1, Elsevier, 1996. Notice that in this context the authors use the term semimodule in place of semigroup.

उद्धरण

↑ Feller (1971)
↑ Jacobson (2009, p. 30, ex. 5)
↑ ^3.0 ^3.1 Lawson (1998, p. 20)
↑ Kilp, Mati; Knauer, U.; Mikhalev, Aleksandr V. (2000). मोनोइड्स, अधिनियम और श्रेणियां: पुष्पांजलि उत्पादों और ग्राफ के अनुप्रयोगों के साथ: छात्रों और शोधकर्ताओं के लिए एक पुस्तिका. Walter de Gruyter. p. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036.
↑ Li͡apin, E. S. (1968). सेमिग्रुप्स. American Mathematical Soc. p. 96. ISBN 978-0-8218-8641-0.</रेफरी>
समरूपता और सर्वांगसमताएं

एक सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म एक ऐसा कार्य है जो सेमीग्रुप संरचना को संरक्षित करता है। एक समारोह f: S → T यदि समीकरण दो अर्धसमूहों के बीच एक समरूपता है

f(ab) = f(a)f(b).

एस में सभी तत्वों ए, बी के लिए होल्ड करता है, यानी परिणाम वही होता है जब नक्शा एफ लागू करने के बाद या उससे पहले सेमीग्रुप ऑपरेशन करते हैं।
मोनॉइड्स के बीच एक सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म पहचान को बरकरार रखता है यदि यह एक मोनॉइड होमोमोर्फिज्म है। लेकिन ऐसे सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म हैं जो मोनोइड समरूपता नहीं हैं, उदा। एक सेमीग्रुप का विहित एम्बेडिंग $S$ में पहचान के बिना $S^{1}$ . मोनोइड समरूपता की विशेषता वाली स्थितियों पर आगे चर्चा की गई है। होने देना $f:S_{0}\to S_{1}$ एक अर्धसमूह समरूपता हो। की छवि $f$ एक अर्धसमूह भी है। यदि $S_{0}$ एक पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड है $e_{0}$ , फिर $f(e_{0})$ की छवि में पहचान तत्व है $f$ . यदि $S_{1}$ एक पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड भी है $e_{1}$ तथा $e_{1}$ की छवि के अंतर्गत आता है $f$ , फिर $f(e_{0})=e_{1}$ , अर्थात। $f$ एक मोनोइड समरूपता है। खासकर अगर $f$ आच्छादक है, तो यह एक मोनोइड समरूपता है।
दो अर्धसमूहों एस और टी को 'समरूपता' कहा जाता है यदि एक विशेषण अर्धसमूह समाकारिता मौजूद है f : S → T. आइसोमॉर्फिक सेमीग्रुप की संरचना समान होती है।
एक अर्धसमूह समरूपता $\sim$ एक तुल्यता संबंध है जो सेमीग्रुप ऑपरेशन के अनुकूल है। यानी एक उपसमुच्चय $\sim \;\subseteq S\times S$ यह एक तुल्यता संबंध है और $x\sim y\,$ तथा $u\sim v\,$ तात्पर्य $xu\sim yv\,$ हरएक के लिए $x,y,u,v$ एस में। किसी भी तुल्यता संबंध की तरह, एक अर्धसमूह सर्वांगसमता $\sim$ तुल्यता वर्गों को प्रेरित करता है

$[a]_{\sim }=\{x\in S\mid x\sim a\}$

और सेमीग्रुप ऑपरेशन एक बाइनरी ऑपरेशन को प्रेरित करता है $\circ$ सर्वांगसमता वर्गों पर:

$[u]_{\sim }\circ [v]_{\sim }=[uv]_{\sim }$

इसलिये $\sim$ एक सर्वांगसमता है, के सभी सर्वांगसमता वर्गों का समुच्चय $\sim$ के साथ एक अर्धसमूह बनाता है $\circ$ भागफल अर्धसमूह या कारक अर्धसमूह कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है $S/\!\!\sim$ . मानचित्रण $x\mapsto [x]_{\sim }$ एक अर्धसमूह समरूपता है, जिसे भागफल मानचित्र, विहित अनुमान या प्रक्षेपण कहा जाता है; यदि S एक मोनॉइड है तो भागफल सेमीग्रुप पहचान के साथ एक मोनोइड है $[1]_{\sim }$ . इसके विपरीत, किसी भी अर्धसमूह समरूपता का कर्नेल (सेट सिद्धांत) एक अर्धसमूह सर्वांगसमता है। ये परिणाम समरूपता प्रमेय #प्रथम समरूपता प्रमेय 4 के एक विशेषीकरण से ज्यादा कुछ नहीं हैं। स्ट्रिंग पुनर्लेखन प्रणालियों में सर्वांगसमता वर्ग और कारक मोनोइड्स अध्ययन की वस्तुएं हैं।
S पर एक नाभिकीय सर्वांगसमता वह है जो S के एंडोमोर्फिज्म का मूल है।<ref name=LotII463>Lothaire (2011, p. 463)
↑ Lothaire (2011, p. 465)
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↑ "गणित के कुछ शब्दों के सबसे पुराने ज्ञात उपयोग".
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↑ B. M. Schein & R. McKenzie (1997) "Every semigroup is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations", Transactions of the American Mathematical Society 349(1): 271–85 MR1370647
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संदर्भ

सामान्य संदर्भ

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Grillet, Pierre Antoine (1995). सेमिग्रुप्स: एन इंट्रोडक्शन टू द स्ट्रक्चर थ्योरी. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-9662-4. Zbl 0830.20079.
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विशिष्ट संदर्भ

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Jacobson, Nathan (2009). मूल बीजगणित. Vol. 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
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श्रेणी:अर्धसमूह सिद्धांत श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं

[1] The closure axiom is implied by the definition of a binary operation on a set. Some authors thus omit it and specify three axioms for a group and only one axiom (associativity) for a semigroup.

[9] Namely: the trivial semigroup in which (for all x and y) xy = a and its counterpart in which xy = b, the semigroups based on multiplication modulo 2 (choosing a or b as the identity element 1), the groups equivalent to addition modulo 2 (choosing a or b to be the identity element 0), and the semigroups in which the elements are either both left identities or both right identities.

[24] See references in Udo Hebisch and Hanns Joachim Weinert, Semirings and Semifields, in particular, Section 10, Semirings with infinite sums, in M. Hazewinkel, Handbook of Algebra, Vol. 1, Elsevier, 1996. Notice that in this context the authors use the term semimodule in place of semigroup.

[2] Feller (1971)

[3] Jacobson (2009, p. 30, ex. 5)

[lawson98-4] 3.0 ^3.1 Lawson (1998, p. 20)

[KilpKilʹp2000-5] Kilp, Mati; Knauer, U.; Mikhalev, Aleksandr V. (2000). मोनोइड्स, अधिनियम और श्रेणियां: पुष्पांजलि उत्पादों और ग्राफ के अनुप्रयोगों के साथ: छात्रों और शोधकर्ताओं के लिए एक पुस्तिका. Walter de Gruyter. p. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036.

[Li͡apin1968-6] Li͡apin, E. S. (1968). सेमिग्रुप्स. American Mathematical Soc. p. 96. ISBN 978-0-8218-8641-0.</रेफरी>
समरूपता और सर्वांगसमताएं

एक सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म एक ऐसा कार्य है जो सेमीग्रुप संरचना को संरक्षित करता है। एक समारोह f: S → T यदि समीकरण दो अर्धसमूहों के बीच एक समरूपता है

f(ab) = f(a)f(b).

एस में सभी तत्वों ए, बी के लिए होल्ड करता है, यानी परिणाम वही होता है जब नक्शा एफ लागू करने के बाद या उससे पहले सेमीग्रुप ऑपरेशन करते हैं।
मोनॉइड्स के बीच एक सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म पहचान को बरकरार रखता है यदि यह एक मोनॉइड होमोमोर्फिज्म है। लेकिन ऐसे सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म हैं जो मोनोइड समरूपता नहीं हैं, उदा। एक सेमीग्रुप का विहित एम्बेडिंग $S$ में पहचान के बिना $S^{1}$ . मोनोइड समरूपता की विशेषता वाली स्थितियों पर आगे चर्चा की गई है। होने देना $f:S_{0}\to S_{1}$ एक अर्धसमूह समरूपता हो। की छवि $f$ एक अर्धसमूह भी है। यदि $S_{0}$ एक पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड है $e_{0}$ , फिर $f(e_{0})$ की छवि में पहचान तत्व है $f$ . यदि $S_{1}$ एक पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड भी है $e_{1}$ तथा $e_{1}$ की छवि के अंतर्गत आता है $f$ , फिर $f(e_{0})=e_{1}$ , अर्थात। $f$ एक मोनोइड समरूपता है। खासकर अगर $f$ आच्छादक है, तो यह एक मोनोइड समरूपता है।
दो अर्धसमूहों एस और टी को 'समरूपता' कहा जाता है यदि एक विशेषण अर्धसमूह समाकारिता मौजूद है f : S → T. आइसोमॉर्फिक सेमीग्रुप की संरचना समान होती है।
एक अर्धसमूह समरूपता $\sim$ एक तुल्यता संबंध है जो सेमीग्रुप ऑपरेशन के अनुकूल है। यानी एक उपसमुच्चय $\sim \;\subseteq S\times S$ यह एक तुल्यता संबंध है और $x\sim y\,$ तथा $u\sim v\,$ तात्पर्य $xu\sim yv\,$ हरएक के लिए $x,y,u,v$ एस में। किसी भी तुल्यता संबंध की तरह, एक अर्धसमूह सर्वांगसमता $\sim$ तुल्यता वर्गों को प्रेरित करता है

$[a]_{\sim }=\{x\in S\mid x\sim a\}$

और सेमीग्रुप ऑपरेशन एक बाइनरी ऑपरेशन को प्रेरित करता है $\circ$ सर्वांगसमता वर्गों पर:

$[u]_{\sim }\circ [v]_{\sim }=[uv]_{\sim }$

इसलिये $\sim$ एक सर्वांगसमता है, के सभी सर्वांगसमता वर्गों का समुच्चय $\sim$ के साथ एक अर्धसमूह बनाता है $\circ$ भागफल अर्धसमूह या कारक अर्धसमूह कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है $S/\!\!\sim$ . मानचित्रण $x\mapsto [x]_{\sim }$ एक अर्धसमूह समरूपता है, जिसे भागफल मानचित्र, विहित अनुमान या प्रक्षेपण कहा जाता है; यदि S एक मोनॉइड है तो भागफल सेमीग्रुप पहचान के साथ एक मोनोइड है $[1]_{\sim }$ . इसके विपरीत, किसी भी अर्धसमूह समरूपता का कर्नेल (सेट सिद्धांत) एक अर्धसमूह सर्वांगसमता है। ये परिणाम समरूपता प्रमेय #प्रथम समरूपता प्रमेय 4 के एक विशेषीकरण से ज्यादा कुछ नहीं हैं। स्ट्रिंग पुनर्लेखन प्रणालियों में सर्वांगसमता वर्ग और कारक मोनोइड्स अध्ययन की वस्तुएं हैं।
S पर एक नाभिकीय सर्वांगसमता वह है जो S के एंडोमोर्फिज्म का मूल है।<ref name=LotII463>Lothaire (2011, p. 463)

[LotII465-7] Lothaire (2011, p. 465)

[8] Pin, Jean-Éric (November 30, 2016). ऑटोमेटा थ्योरी की गणितीय नींव (PDF). p. 19.

[10] Clifford & Preston (1967, p. 3)

[11] Grillet (2001)

[12] Farb, B. (2006). वर्ग समूहों और संबंधित विषयों की मैपिंग में समस्याएँ. Amer. Math. Soc. p. 357. ISBN 978-0-8218-3838-9.

[13] Auslander, M.; Buchsbaum, D. A. (1974). समूह, अंगूठियां, मॉड्यूल. Harper & Row. p. 50. ISBN 978-0-06-040387-4.

[14] Clifford & Preston (1961, p. 34)

[15] Suschkewitsch (1928)

[16] Preston, G. B. (1990). सेमिग्रुप्स के प्रारंभिक इतिहास की व्यक्तिगत यादें. Archived from the original on 2009-01-09. Retrieved 2009-05-12.

[17] Maltsev, A. (1937). एक बीजगणितीय वलय के एक क्षेत्र में विसर्जन पर. pp. 686–691. doi:10.1007/BF01571659. {{cite book}}: |journal= ignored (help)CS1 maint: postscript (link)

[18] "गणित के कुछ शब्दों के सबसे पुराने ज्ञात उपयोग".

[Hollings-19] 17.0 ^17.1 "क्रिस्टोफ़र होलिंग्स द्वारा सुश्केविच के पेपर का लेखा-जोखा". Archived from the original (PDF) on 2009-10-25.

[20] B. M. Schein (1963) "Representations of semigroups by means of binary relations" (Russian), Matematicheskii Sbornik 60: 292–303 MR0153760

[21] B. M. Schein (1972) Miniconference on semigroup Theory, MR0401970

[22] B. M. Schein & R. McKenzie (1997) "Every semigroup is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations", Transactions of the American Mathematical Society 349(1): 271–85 MR1370647

[23] Dudek, W.A. (2001). एन-आर्य समूहों में कुछ पुरानी समस्याओं पर. pp. 15–36. Archived from the original on 2009-07-14. {{cite book}}: |journal= ignored (help)

[note 1]

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[note 3]

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