मोनिक बहुपद

बीजगणित में, एक मोनिक बहुपद एक एकल-चर बहुपद है (अर्थात, एक अविभाज्य बहुपद) जिसमें प्रमुख गुणांक (उच्चतम डिग्री का अशून्य गुणांक) 1 के बराबर है। इसलिए, एक मोनिक बहुपद का रूप है:

$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$

अविभाजित बहुपद

यदि एक बहुपद में केवल एक अनिश्चित (चर) (अविभाजित बहुपद) है, तो शब्द आमतौर पर या तो उच्चतम डिग्री से निम्नतम डिग्री (अवरोही शक्तियां) या निम्नतम डिग्री से उच्चतम डिग्री (आरोही शक्तियां) में लिखे जाते हैं। डिग्री n के x में एक अविभाजित बहुपद तब ऊपर प्रदर्शित सामान्य रूप लेता है, जहां

सी_n ≠ 0, सी_n−1, ..., सी₂, सी₁ और सी₀

स्थिरांक हैं, बहुपद के गुणांक हैं।

यहाँ शब्द सी_nxⁿ अग्रणी पद कहलाता है, और इसका गुणांक c_n अग्रणी गुणांक; यदि प्रमुख गुणांक is 1, अविभाज्य बहुपद को मोनिक कहा जाता है।

गुण

गुणक रूप से बंद

सभी मोनिक बहुपदों का सेट (एक दिए गए (एकात्मक) वलय (गणित) A और दिए गए चर x के लिए) गुणन के तहत बंद है, क्योंकि दो मोनिक बहुपदों के प्रमुख शब्दों का उत्पाद उनके उत्पाद का प्रमुख शब्द है। इस प्रकार, मोनिक बहुपद, बहुपद वलय A[x] का गुणक अर्धसमूह बनाते हैं। दरअसल, चूंकि निरंतर बहुपद 1 मोनिक है, इसलिए यह semigroup एक मोनोइड भी है।

आंशिक रूप से आदेशित

विभाज्यता (रिंग थ्योरी) का प्रतिबंध सभी मोनिक बहुपदों (दिए गए रिंग के ऊपर) के सेट के संबंध में एक आंशिक क्रम है, और इस तरह यह सेट एक poset बनाता है। इसका कारण यह है कि यदि p(x) q(x) को विभाजित करता है और q(x), p(x) को दो मोनिक बहुपदों p और q के लिए विभाजित करता है, तो p और q बराबर होने चाहिए। संबंधित संपत्ति सामान्य रूप से बहुपदों के लिए सही नहीं है, अगर रिंग में 1 के अलावा उलटे तत्व होते हैं।

बहुपद समीकरण समाधान

अन्य मामलों में, मोनिक बहुपदों और उनके संबंधित मोनिक बहुपद समीकरणों के गुण महत्वपूर्ण रूप से गुणांक वलय A पर निर्भर करते हैं। यदि A एक क्षेत्र (बीजगणित) है, तो प्रत्येक गैर-शून्य बहुपद p में ठीक एक संबद्ध तत्व मोनिक बहुपद q: p होता है। इसके प्रमुख गुणांक द्वारा विभाजित। इस तरीके से, फिर, किसी भी गैर-तुच्छ बहुपद समीकरण p(x) = 0 को एक समकक्ष मोनिक समीकरण q(x) = 0 द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वास्तविक दूसरी डिग्री समीकरण

$\ ax^{2}+bx+c=0$ (कहाँ पे $a\neq 0$)

द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

$\ x^{2}+px+q=0$,

 p = b/a  और  q = c/a को प्रतिस्थापित करके। इस प्रकार, समीकरण

$2x^{2}+3x+1=0$

मोनिक समीकरण के बराबर है

$x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.$

सामान्य द्विघात समाधान सूत्र तब थोड़ा अधिक सरलीकृत रूप है:

$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).$

अखंडता

दूसरी ओर, यदि गुणांक वलय एक क्षेत्र नहीं है, तो अधिक आवश्यक अंतर हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांक गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद समीकरण में परिमेय संख्या समाधान नहीं हो सकते हैं जो पूर्णांक नहीं हैं। इस प्रकार, समीकरण

$\ 2x^{2}+3x+1=0$

संभवतः कुछ परिमेय मूल हो सकते हैं, जो पूर्णांक नहीं है, (और संयोग से इसकी जड़ों में से एक -1/2 है); जबकि समीकरण

$\ x^{2}+5x+6=0$

तथा

$\ x^{2}+7x+8=0$

केवल पूर्णांक समाधान या अपरिमेय संख्या समाधान हो सकते हैं।

पूर्णांक गुणांक वाले मोनिक बहुपदों की जड़ें बीजगणितीय पूर्णांक कहलाती हैं।

एक अभिन्न डोमेन पर मोनिक बहुपद समीकरणों के समाधान अभिन्न विस्तार और अभिन्न रूप से बंद डोमेन के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, और इसलिए बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के लिए। सामान्य तौर पर, मान लें कि A एक अभिन्न डोमेन है, और अभिन्न डोमेन B का एक उपसमूह भी है। B के सबसेट C पर विचार करें, जिसमें B तत्व शामिल हैं, जो A पर मोनिक बहुपद समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:

$C:=\{b\in B:\exists \,p(x)\in A[x]\,,{\hbox{ which is monic and such that }}p(b)=0\}\,.$

समुच्चय C में A है, चूँकि कोई भी a ∈ A समीकरण x − a = 0 को संतुष्ट करता है। इसके अलावा, यह सिद्ध करना संभव है कि C जोड़ और गुणा के तहत बंद है। इस प्रकार, C, B का एक उप-वलय है। वलय C को B में A का अभिन्न संवरण कहा जाता है; या केवल ए का अभिन्न समापन, यदि बी ए का अंश क्षेत्र है; और C के तत्वों को A के ऊपर अभिन्न तत्व कहा जाता है। यदि यहाँ $A=\mathbb {Z}$ (पूर्णांकों का वलय) और $B=\mathbb {C}$ (जटिल संख्याओं का क्षेत्र), तो C बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय है।

इर्रिड्यूसिबल

यदि p एक प्रमुख संख्या है, डिग्री के मोनिक इरेड्यूसबल बहुपदों की संख्या n एक परिमित क्षेत्र पर $\mathrm {GF} (p)$ साथ p तत्व हार के बराबर है (संयोजन) $N_{p}(n)$. यदि कोई राक्षसी होने की बाध्यता को हटा देता है, तो यह संख्या बन जाती है $(p-1)N_{p}(n)$.

इन मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों की जड़ों की कुल संख्या है $nN_{p}(n)$. यह क्षेत्र के तत्वों की संख्या है $\mathrm {GF} (p^{n})$ (साथ $p^{n}$ तत्व) जो किसी छोटे क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं।

के लिये p = 2, ऐसे बहुपद आमतौर पर छद्म आयामी बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

बहुभिन्नरूपी बहुपद

आमतौर पर, मोनिक शब्द का उपयोग कई चर वाले बहुपदों के लिए नहीं किया जाता है। हालाँकि, कई चर में एक बहुपद को केवल अंतिम चर में बहुपद के रूप में माना जा सकता है, लेकिन गुणांक अन्य में बहुपद होने के साथ। यह कई तरीकों से किया जा सकता है, इस पर निर्भर करता है कि किस चर को अंतिम के रूप में चुना गया है। जैसे, वास्तविक बहुपद

$\ p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8$

मोनिक है, जिसे R[y][x] में एक तत्व के रूप में माना जाता है, यानी, वेरिएबल x में एक अविभाजित बहुपद के रूप में, गुणांक के साथ जो स्वयं y में अविभाजित बहुपद हैं :

$p(x,y)=1\cdot x^{2}+(2y^{2}+3)\cdot x+(-y^{2}+5y-8)$;

लेकिन पी (एक्स, वाई) 'आर' [एक्स] [वाई] में एक तत्व के रूप में मोनिक नहीं है, तब से उच्चतम डिग्री गुणांक (यानी, वाई² गुणांक) 2x − 1 है।

एक वैकल्पिक सम्मेलन है, जो उपयोगी हो सकता है उदा। ग्रोबनेर आधार संदर्भों में: एक बहुपद को मोनिक कहा जाता है, यदि इसका प्रमुख गुणांक (एक बहुभिन्नरूपी बहुपद के रूप में) 1 है। दूसरे शब्दों में, मान लें कि p = p(x)₁,...,एक्स_n) n चरों में एक गैर-शून्य बहुपद है, और यह कि इन चरों में सभी (मोनिक) मोनोमियल्स के सेट पर एक दिया गया मोनोमियल ऑर्डर है, अर्थात, x द्वारा उत्पन्न मुक्त कम्यूटेटिव मोनोइड का कुल क्रम₁,...,एक्स_n, इकाई के साथ निम्नतम तत्व के रूप में, और गुणन का सम्मान करते हुए। उस मामले में, यह आदेश पी में उच्चतम गैर-लुप्त होने वाली अवधि को परिभाषित करता है, और पी को मोनिक कहा जा सकता है, यदि उस शब्द का गुणांक एक है।

किसी भी परिभाषा के अनुसार मोनिक बहुभिन्नरूपी बहुपद साधारण (अविभाजित) मोनिक बहुपदों के साथ कुछ गुणों को साझा करते हैं। विशेष रूप से, मोनिक बहुपदों का उत्पाद फिर से मोनिक है।

यह भी देखें

• जटिल द्विघात बहुपद

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• नेतृत्व गुणांक
• अंगूठी (गणित)
• बहुपद की अंगूठी
• विभाज्यता (अंगूठी सिद्धांत)
• आंशिक आदेश
• उलटा तत्व
• अभिन्न बंद
• अलघुकरणीय बहुपद
• अभाज्य संख्या
• हार (संयोजन)
• छद्म आयामी द्विआधारी अनुक्रम

संदर्भ

• Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Pearson Education. ISBN 9780201763904.