मोनिक बहुपद

बीजगणित में, एक मोनिक बहुपद एक एकल-चर बहुपद है (अर्थात, एक अविभाज्य बहुपद) जिसमें अग्रणी गुणांक (उच्चतम अंश का अशून्य गुणांक) 1 के बराबर है। इसलिए, एक मोनिक बहुपद का रूप है:

$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$

अविभाजित बहुपद

यदि एक बहुपद में केवल एक अनिश्चित चर (अविभाजित बहुपद) है, तो शब्द सामान्यतः या तो उच्चतम अंश से निम्नतम अंश ("अवरोही शक्तियां") या निम्नतम अंश से उच्चतम अंश ("आरोही शक्तियां") में लिखे जाते हैं। x में एक अविभाज्य बहुपद अंश n के ऊपर प्रदर्शित सामान्य रूप लेता है, जहां

c_n ≠ 0, c_n−1, ....... , c₂, c₁ and c₀

स्थिरांक हैं, बहुपद के गुणांक हैं।

यहाँ पद c_nxⁿ अग्रणी पद कहलाता है, और इसका गुणांक c_n अग्रणी गुणांक है; यदि अग्रणी गुणांक 1 है, तो अविभाज्य बहुपद को मोनिक कहा जाता है।

गुण

गुणक रूप से सीमित

सभी मोनिक बहुपदों का समूह (किसी दिए गए (एकात्मक) वलय A पर और दिए गए चर x के लिए) गुणन के तहत सीमित है, क्योंकि दो मोनिक बहुपदों के अग्रणी शब्दों का गुणन उनके गुणन का अग्रणी शब्द है। इस प्रकार, मोनिक बहुपद का गुणक अर्धसमूह बहुपद वलय A[x] बनाते हैं। वस्तुतः, चूंकि निरंतर बहुपद 1 मोनिक है, इसलिए यह अर्धसमूह एक मोनोइड भी है।

आंशिक रूप से सुव्यवस्थित

सभी मोनिक बहुपदों (दिए गए वलय के ऊपर) के समुच्चय के विभाज्यता संबंध का प्रतिबंध एक आंशिक क्रम है, और इस प्रकार यह समूह एक पॉसेट बनाता है। इसका कारण यह है कि यदि p(x), q(x) को विभाजित करता है और q(x), p(x) को दो मोनिक बहुपदों p और q के लिए विभाजित करता है, तो p और q बराबर होने चाहिए। संबंधित गुणधर्म सामान्य रूप से बहुपदों के लिए सही नहीं है,यदि वलय में उलटे तत्व 1 के अतिरिक्त होते हैं।

बहुपद समीकरण हल

अन्य स्तिथियों में, मोनिक बहुपदों और उनके संबंधित मोनिक बहुपद समीकरणों के गुण महत्वपूर्ण रूप से गुणांक वलय A पर निर्भर करते हैं। यदि A एक क्षेत्र है, तो प्रत्येक अशून्य बहुपद p में पूर्णतः एक संबंधित मोनिक बहुपद q: p होता है जो इसके अग्रणी गुणांक से विभाजित होता है। इस प्रकार से, किसी भी गैर-नगण्य बहुपद समीकरण p(x) = 0 को एक समतुल्य मोनिक समीकरण q(x) = 0 द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्यतः वास्तविक दूसरी अंश समीकरण

$\ ax^{2}+bx+c=0$ (जहाँ $a\neq 0$)

द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

$\ x^{2}+px+q=0$,

 p = b/a  और  q = c/a को प्रतिस्थापित करके। इस प्रकार, समीकरण

$2x^{2}+3x+1=0$

मोनिक समीकरण के बराबर है

$x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.$

इस प्रकार सामान्य द्विघात हल सूत्र का अधिक सरलीकृत रूप है:

$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).$

अखंडता

दूसरी ओर, यदि गुणांक वलय एक क्षेत्र नहीं है, तो अधिक आवश्यक अंतर हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांक गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद समीकरण में परिमेय संख्या हल नहीं हो सकते हैं जो पूर्णांक नहीं हैं। इस प्रकार, समीकरण

$\ 2x^{2}+3x+1=0$

संभवतः कुछ परिमेय मूल हो सकते हैं, जो पूर्णांक नहीं है, (और संयोग से इसकी जड़ों में से एक -1/2 है); जबकि समीकरण

$\ x^{2}+5x+6=0$

तथा

$\ x^{2}+7x+8=0$

केवल पूर्णांक हल या अपरिमेय संख्या हल हो सकते हैं।

पूर्णांक गुणांक वाले मोनिक बहुपदों की जड़ें बीजगणितीय पूर्णांक कहलाती हैं।

एक अभिन्न डोमेन पर मोनिक बहुपद समीकरणों के हल अभिन्न विस्तार और अभिन्न रूप से सीमित डोमेन के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, और इसलिए बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के लिए। सामान्य तौर पर, मान लें कि A एक अभिन्न डोमेन है, और अभिन्न डोमेन B का एक उपसमूह भी है। B के सबसमूह C पर विचार करें, जिसमें B तत्व शामिल हैं, जो A पर मोनिक बहुपद समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:

$C:=\{b\in B:\exists \,p(x)\in A[x]\,,{\hbox{ which is monic and such that }}p(b)=0\}\,.$

समुच्चय C में A है, चूँकि कोई भी a ∈ A समीकरण x − a = 0 को संतुष्ट करता है। इसअतिरिक्त, यह सिद्ध करना संभव है कि C जोड़ और गुणा के तहत सीमित है। इस प्रकार, C, B का एक उप-वलय है। वलय C को B में A का अभिन्न संवरण कहा जाता है; या केवल ए का अभिन्न समापन, यदि बी ए का अंश क्षेत्र है; और C के तत्वों को A के ऊपर अभिन्न तत्व कहा जाता है। यदि यहाँ $A=\mathbb {Z}$ (पूर्णांकों का वलय) और $B=\mathbb {C}$ (जटिल संख्याओं का क्षेत्र), तो C बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय है।

इर्रिड्यूसिबल

यदि p एक अग्रणी संख्या है, अंश के मोनिक इरेड्यूसबल बहुपदों की संख्या n एक परिमित क्षेत्र पर $\mathrm {GF} (p)$ साथ p तत्व हार के बराबर है (संयोजन) $N_{p}(n)$. यदि कोई राक्षसी होने की बाध्यता को हटा देता है, तो यह संख्या बन जाती है $(p-1)N_{p}(n)$.

इन मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों की जड़ों की कुल संख्या है $nN_{p}(n)$. यह क्षेत्र के तत्वों की संख्या है $\mathrm {GF} (p^{n})$ (साथ $p^{n}$ तत्व) जो किसी छोटे क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं।

के लिये p = 2, ऐसे बहुपद सामान्यतः छद्म आयामी बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

बहुभिन्नरूपी बहुपद

सामान्यतः, मोनिक शब्द का उपयोग कई चर वाले बहुपदों के लिए नहीं किया जाता है। हालाँकि, कई चर में एक बहुपद को केवल अंतिम चर में बहुपद के रूप में माना जा सकता है, लेकिन गुणांक अन्य में बहुपद होने के साथ। यह कई तरीकों से किया जा सकता है, इस पर निर्भर करता है कि किस चर को अंतिम के रूप में चुना गया है। जैसे, वास्तविक बहुपद

$\ p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8$

मोनिक है, जिसे R[y][x] में एक तत्व के रूप में माना जाता है, यानी, वेरिएबल x में एक अविभाजित बहुपद के रूप में, गुणांक के साथ जो स्वयं y में अविभाजित बहुपद हैं :

$p(x,y)=1\cdot x^{2}+(2y^{2}+3)\cdot x+(-y^{2}+5y-8)$;

लेकिन पी (एक्स, वाई) 'आर' [एक्स] [वाई] में एक तत्व के रूप में मोनिक नहीं है, तब से उच्चतम अंश गुणांक (यानी, वाई² गुणांक) 2x − 1 है।

एक वैकल्पिक सम्मेलन है, जो उपयोगी हो सकता है उदा। ग्रोबनेर आधार संदर्भों में: एक बहुपद को मोनिक कहा जाता है, यदि इसका अग्रणी गुणांक (एक बहुभिन्नरूपी बहुपद के रूप में) 1 है। दूसरे शब्दों में, मान लें कि p = p(x)₁,...,एक्स_n) n चरों में एक गैर-शून्य बहुपद है, और यह कि इन चरों में सभी (मोनिक) मोनोमियल्स के समूह पर एक दिया गया मोनोमियल ऑर्डर है, अर्थात, x द्वारा उत्पन्न मुक्त कम्यूटेटिव मोनोइड का कुल क्रम₁,...,एक्स_n, इकाई के साथ निम्नतम तत्व के रूप में, और गुणन का सम्मान करते हुए। उस मामले में, यह आदेश पी में उच्चतम गैर-लुप्त होने वाली अवधि को परिभाषित करता है, और पी को मोनिक कहा जा सकता है, यदि उस शब्द का गुणांक एक है।

किसी भी परिभाषा के अनुसार मोनिक बहुभिन्नरूपी बहुपद साधारण (अविभाजित) मोनिक बहुपदों के साथ कुछ गुणों को साझा करते हैं। विशेष रूप से, मोनिक बहुपदों का उत्पाद फिर से मोनिक है।

यह भी देखें

• जटिल द्विघात बहुपद

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• नेतृत्व गुणांक
• अंगूठी (गणित)
• बहुपद की अंगूठी
• विभाज्यता (अंगूठी सिद्धांत)
• आंशिक आदेश
• उलटा तत्व
• अभिन्न सीमित
• अलघुकरणीय बहुपद
• अभाज्य संख्या
• हार (संयोजन)
• छद्म आयामी द्विआधारी अनुक्रम

संदर्भ

• Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Pearson Education. ISBN 9780201763904.