लिपशिट्ज निरंतरता

लिपशित्ज़ निरंतर कार्य के लिए, एक डबल शंकु (सफेद) मौजूद है जिसका मूल ग्राफ के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है ताकि पूरा ग्राफ हमेशा डबल शंकु के बाहर रहे

गणितीय विश्लेषण में, जर्मनी के गणितज्ञ रुडोल्फ लिप्सचित्ज़ के नाम पर लिप्सचिट्ज़ निरंतरता, फ़ंक्शन (गणित) के लिए समान निरंतरता का एक मजबूत रूप है। सहज रूप से, एक लिपशिट्ज निरंतर कार्य सीमित है कि यह कितनी तेजी से बदल सकता है: एक वास्तविक संख्या मौजूद है, जैसे कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर प्रत्येक जोड़ी के लिए, उन्हें जोड़ने वाली रेखा के ढलान का पूर्ण मूल्य इससे अधिक नहीं है यह वास्तविक संख्या; इस तरह की सबसे छोटी सीमा को फ़ंक्शन (या निरंतरता का मापांक ) का लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कार्य जो पहले डेरिवेटिव को सीमित करता है, वह लिप्सचिट्ज़ निरंतर है।

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, लिपशिट्ज निरंतरता पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय की केंद्रीय स्थिति है जो प्रारंभिक मूल्य समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता की गारंटी देती है। एक विशेष प्रकार की लिप्सचिट्ज़ निरंतरता, जिसे संकुचन मानचित्रण कहा जाता है, का उपयोग बानाच फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय में किया जाता है। हमारे पास वास्तविक रेखा के कॉम्पैक्टनेस गैर-तुच्छ अंतराल पर कार्यों के लिए सख्त समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला है:

निरंतर अवकलनीय ⊂ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊂ $\alpha$-होल्डर निरंतर,

कहाँ पे $0<\alpha \leq 1$. हमारे पास भी है

लिपशिट्ज निरंतर ⊂ बिल्कुल निरंतर ⊂ समान रूप से निरंतर।

परिभाषाएँ

दो मीट्रिक रिक्त स्थान दिए गए हैं (एक्स, डी_X) और (वाई, डी_Y), जहां घ_X सेट एक्स और डी पर मीट्रिक (गणित) को दर्शाता है_Y सेट वाई पर मीट्रिक है, एक फ़ंक्शन एफ: एक्स → वाई को 'लिप्सचिट्ज़ निरंतर' कहा जाता है यदि वास्तविक निरंतर के ≥ 0 मौजूद है, तो सभी एक्स के लिए₁ और एक्स₂ एक्स में,

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).$

ऐसे किसी भी K को फलन f के लिए 'a Lipschitz स्थिरांक' कहा जाता है और f को 'K-Lipschitz' भी कहा जा सकता है। सबसे छोटे स्थिरांक को कभी-कभी '(सर्वश्रेष्ठ) लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक' कहा जाता है च या 'फैलाव' या 'फैलाव' की बंद। यदि K = 1 फ़ंक्शन को 'लघु मानचित्र' कहा जाता है, और यदि 0 ≤ K <1 और f स्वयं के लिए एक मीट्रिक स्थान मैप करता है, तो फ़ंक्शन को 'संकुचन मानचित्रण' कहा जाता है।

विशेष रूप से, एक वास्तविक-मूल्यवान फलन f : R → R को लिप्सचिट्ज़ निरंतर कहा जाता है यदि वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक K मौजूद है जैसे कि, सभी वास्तविक x के लिए₁ और एक्स₂,

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.$

इस मामले में, वाई मानक मीट्रिक डी के साथ वास्तविक संख्या 'आर' का सेट है_Y(वाई₁, वाई₂) = |वाई₁- और₂|, और X 'R' का उपसमुच्चय है।

सामान्य तौर पर, असमानता (तुच्छ रूप से) संतुष्ट होती है यदि x₁ = एक्स₂. अन्यथा, कोई समतुल्य रूप से एक फ़ंक्शन को लिप्सचिट्ज़ निरंतर होने के लिए परिभाषित कर सकता है यदि और केवल यदि एक स्थिर K ≥ 0 मौजूद है जैसे कि, सभी x के लिए₁ ≠ एक्स₂,

${\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.$

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, यह तभी और केवल तभी होता है जब सभी छेदक रेखाओं के ढलानों का निरपेक्ष मान K से घिरा हो। ढलान K की रेखाओं का सेट फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक बिंदु से होकर गुजरता है। गोलाकार शंकु, और एक फ़ंक्शन लिपशिट्ज है यदि और केवल अगर फ़ंक्शन का ग्राफ़ हर जगह इस शंकु के बाहर पूरी तरह से स्थित है (आंकड़ा देखें)।

एक फ़ंक्शन को 'स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर' कहा जाता है यदि एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए एक्स का पड़ोस (गणित) यू मौजूद है जैसे कि यू तक सीमित एफ लिप्सचिट्ज़ निरंतर है। समतुल्य रूप से, यदि X एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान है, तो f स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ है यदि और केवल यदि यह X के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर है। उन स्थानों में जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं, यह एक आवश्यक है लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं है।

अधिक आम तौर पर, एक्स पर परिभाषित एक फ़ंक्शन एफ को 'होल्डर निरंतर' कहा जाता है या एक्स पर ऑर्डर α > 0 की 'होल्डर स्थिति' को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि निरंतर एम ≥ 0 मौजूद है जैसे कि

$d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }$ X में सभी x और y के लिए। कभी-कभी ऑर्डर α की होल्डर कंडीशन को 'ऑर्डर की यूनिफॉर्म लिप्सचिट्ज़ कंडीशन' α> 0 भी कहा जाता है।

वास्तविक संख्या K ≥ 1 के लिए, यदि

${\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,$

तब f को 'K-bilipschitz' कहा जाता है ('K-bi-Lipschitz' भी लिखा जाता है)। हम कहते हैं कि f 'bilipschitz' या 'bi-Lipschitz' है, जिसका अर्थ है कि ऐसा K मौजूद है। एक bilipschitz मैपिंग इंजेक्शन फ़ंक्शन है, और वास्तव में इसकी छवि पर एक होमोमोर्फिज्म है। एक बाइलिप्सिट्ज़ फ़ंक्शन एक इंजेक्टिव लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन के समान है जिसका व्युत्क्रम फ़ंक्शन भी लिप्सचिट्ज़ है।

उदाहरण

Lipschitz निरंतर कार्य:

• The function $f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}$ defined for all real numbers is Lipschitz continuous with the Lipschitz constant K = 1, because it is everywhere differentiable and the absolute value of the derivative is bounded above by 1. See the first property listed below under "Properties".
• Likewise, the sine function is Lipschitz continuous because its derivative, the cosine function, is bounded above by 1 in absolute value.
• The function f(x) = |x| defined on the reals is Lipschitz continuous with the Lipschitz constant equal to 1, by the reverse triangle inequality. This is an example of a Lipschitz continuous function that is not differentiable. More generally, a norm on a vector space is Lipschitz continuous with respect to the associated metric, with the Lipschitz constant equal to 1.

लिप्सचिट्ज़ निरंतर कार्य जो हर जगह भिन्न नहीं होते हैं:

• The function $f(x)=|x|$

लिपशिट्ज निरंतर कार्य जो हर जगह अलग-अलग होते हैं लेकिन लगातार अलग-अलग नहीं होते हैं:

• The function $f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$, whose derivative exists but has an essential discontinuity at $x=0$.

निरंतर कार्य जो (विश्व स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हैं:

• The function f(x) = √x defined on [0, 1] is not Lipschitz continuous. This function becomes infinitely steep as x approaches 0 since its derivative becomes infinite. However, it is uniformly continuous, and both Hölder continuous of class C^{0, α} for α ≤ 1/2 and also absolutely continuous on [0, 1] (both of which imply the former).

अलग-अलग कार्य जो (स्थानीय रूप से) लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हैं:

• The function f defined by f(0) = 0 and f(x) = x^3/2sin(1/x) for 0<x≤1 gives an example of a function that is differentiable on a compact set while not locally Lipschitz because its derivative function is not bounded. See also the first property below.

विश्लेषणात्मक कार्य जो (विश्व स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हैं:

• The exponential function becomes arbitrarily steep as x → ∞, and therefore is not globally Lipschitz continuous, despite being an analytic function.
• The function f(x) = x² with domain all real numbers is not Lipschitz continuous. This function becomes arbitrarily steep as x approaches infinity. It is however locally Lipschitz continuous.

गुण

• एक हर जगह भिन्न होने वाला फ़ंक्शन g : 'R' → 'R' लिप्सचिट्ज़ निरंतर है (K = sup |g′(x)|) अगर और केवल अगर यह पहले डेरिवेटिव से घिरा हुआ है; माध्य मान प्रमेय से एक दिशा का अनुसरण होता है। विशेष रूप से, कोई भी लगातार भिन्न होने वाला कार्य स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ है, क्योंकि निरंतर कार्य स्थानीय रूप से बंधे हुए हैं, इसलिए इसकी ढाल स्थानीय रूप से भी बंधी हुई है।
• ए लिपशिट्ज फंक्शन g : 'R' →  'R' पूरी तरह से निरंतर है और इसलिए लगभग हर जगह डिफरेंशियल है, यानी, Lebesgue माप शून्य के सेट के बाहर हर बिंदु पर डिफरेंशियल है। इसका व्युत्पन्न अनिवार्य रूप से लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक द्वारा परिमाण में बंधा हुआ है, और a < b के लिए, अंतर g(b) − g(a) अंतराल [a, b] पर व्युत्पन्न g′ के अभिन्न के बराबर है।
  • इसके विपरीत, यदि f : I → 'R' बिल्कुल निरंतर है और इस प्रकार लगभग हर जगह अलग-अलग है, और संतुष्ट करता है |f′(x)| I में लगभग सभी x के लिए ≤ K, फिर f लिप्सचिट्ज़ निरंतर लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ अधिकांश K पर है।
  • आम तौर पर, रैडेमाकर का प्रमेय यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच लिप्सचिट्ज़ मैपिंग के लिए विभेदीकरण परिणाम का विस्तार करता है: एक लिपशिट्ज मानचित्र f : U → 'R'^m, जहां U 'R' में एक विवृत समुच्चय हैⁿ, लगभग हर जगह व्युत्पन्न है। इसके अलावा, अगर K f का सबसे अच्छा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक है, तो $\|Df(x)\|\leq K$ जब भी कुल व्युत्पन्न डीएफ मौजूद होता है।
• एक भिन्न लिप्सचिट्ज़ मानचित्र के लिए $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ असमानता $\|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K$ सबसे अच्छा लिपशिट्ज स्थिरांक रखता है $K$ का $f$. यदि डोमेन $U$ वास्तव में उत्तल है $\|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K$.
• मान लीजिए कि {एफ_n} दो मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच लिप्सचिट्ज़ निरंतर मैपिंग का अनुक्रम है, और यह कि सभी f_nLipschitz स्थिरांक कुछ K द्वारा परिबद्ध है। यदि f_nमैपिंग f एकसमान अभिसरण में अभिसरण करता है, फिर f भी लिप्सचिट्ज़ है, जिसमें लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक उसी K से घिरा होता है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के लिए एक विशेष सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट है निरंतर कार्यों के बनच स्थान का एक बंद और उत्तल उपसमुच्चय। हालाँकि, यह परिणाम उन अनुक्रमों के लिए नहीं है जिनमें फ़ंक्शंस में अनबाउंड लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक हो सकते हैं। वास्तव में, कॉम्पैक्ट मेट्रिक स्पेस पर सभी लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शंस का स्थान निरंतर कार्यों के बानाच स्पेस का एक सबलजेब्रा है, और इस प्रकार इसमें घना है, जो स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का एक प्रारंभिक परिणाम है (या वेइरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय के परिणामस्वरूप, क्योंकि हर बहुपद स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर है)।
• प्रत्येक लिपशित्ज़ निरंतर मानचित्र समान रूप से निरंतर है, और इसलिए एक फ़ोर्टियोरी निरंतर कार्य करता है। अधिक आम तौर पर, परिबद्ध लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक वाले कार्यों का एक सेट एक सम-सतत सेट बनाता है। अरज़ेला-एस्कोली प्रमेय का अर्थ है कि यदि {f_n} परिबद्ध लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ कार्यों का एक समान रूप से बंधा हुआ अनुक्रम है, तो इसका एक अभिसरण अनुवर्ती है। पिछले पैराग्राफ के परिणाम से, लिमिट फंक्शन भी लिप्सचिट्ज़ है, लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के लिए समान बाउंड के साथ। विशेष रूप से कॉम्पैक्ट मेट्रिक स्पेस एक्स पर लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक ≤ के  वाले सभी वास्तविक-मूल्यवान लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शंस का सेट बानाच स्पेस सी (एक्स) का स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस उत्तल सबसेट है।
• Lipschitz के एक परिवार के लिए निरंतर कार्य f_α सामान्य स्थिरांक के साथ, फ़ंक्शन $\sup _{\alpha }f_{\alpha }$ (तथा $\inf _{\alpha }f_{\alpha }$) लिप्सचिट्ज़ निरंतर भी है, समान लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ, बशर्ते कि यह कम से कम एक बिंदु पर एक परिमित मान ग्रहण करे।
• यदि U मीट्रिक स्पेस M का एक उपसमुच्चय है और f : U → 'R' एक लिप्सचिट्ज़ निरंतर कार्य है, तो हमेशा लिप्सचिट्ज़ निरंतर मानचित्र M → 'R' मौजूद होते हैं जो f का विस्तार करते हैं और f के समान लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक रखते हैं (यह भी देखें किर्स्ज़ब्रौन प्रमेय)। द्वारा एक विस्तार प्रदान किया जाता है

${\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},$ : जहाँ k, U पर f के लिए लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक है।

लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड्स

एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर एक लिप्सचिट्ज़ संरचना को एक एटलस (टोपोलॉजी) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जिसके संक्रमण मानचित्र बाइलिप्सचिट्ज़ हैं; यह संभव है क्योंकि बाइलिप्सचिट्ज़ मानचित्र एक स्यूडोग्रुप बनाते हैं। इस तरह की संरचना किसी को इस तरह के मैनिफोल्ड्स के बीच स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ मानचित्रों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, इसी तरह चिकनी मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शों को कैसे परिभाषित किया जाता है: यदि M तथा N लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड्स हैं, फिर एक फ़ंक्शन $f:M\to N$ स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ है अगर और केवल अगर समन्वय चार्ट के प्रत्येक जोड़े के लिए $\phi :U\to M$ तथा $\psi :V\to N$, कहाँ पे U तथा V इसी यूक्लिडियन रिक्त स्थान, संरचना में खुले सेट हैं

$$\psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to N$$

स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ है। यह परिभाषा किसी मीट्रिक को परिभाषित करने पर निर्भर नहीं करती है M या N. यह संरचना एक टुकड़ा-रेखीय कई गुना और एक स्थलीय कई गुना के बीच मध्यवर्ती है: एक पीएल संरचना एक अद्वितीय लिप्सचिट्ज़ संरचना को जन्म देती है। जबकि लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड्स टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स से निकटता से संबंधित हैं, रेडमाकर का प्रमेय किसी को विश्लेषण करने की अनुमति देता है, विभिन्न अनुप्रयोगों को उत्पन्न करता है।

एक तरफा लिपशिट्ज

चलो F(x) एक hemicontinuous|upper semi-continuous function of x हो, और यह कि F(x) सभी x के लिए एक बंद, उत्तल सेट है। तब F एक तरफा लिपशिट्ज है यदि

$(x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}$ कुछ सी के लिए और सभी एक्स के लिए₁ और एक्स₂.

यह संभव है कि फ़ंक्शन F में एक बहुत बड़ा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक हो सकता है, लेकिन एक मध्यम आकार का, या नकारात्मक, एक तरफा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, समारोह

${\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}$

लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक K = 50 और एक तरफा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक C = 0 है। एक उदाहरण जो एक तरफा लिप्सचिट्ज़ है लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है F(x) = e^−x, C = 0 के साथ।

यह भी देखें

• Contraction mapping
• दीनी निरंतरता
• निरंतरता का मापांक
• क्वासी-आइसोमेट्री
• जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा - किसी पूर्णांक n≥0 के लिए, कोई परिमित उपसमुच्चय X⊆'R'ⁿ, और कोई वास्तविक संख्या 0<ε<1, एक (1+ε)-bi-Lipschitz फ़ंक्शन मौजूद है $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},$ कहाँ पे $d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .$