अर्ध-भिन्नता

गणना में, एक वास्तविक चर के वास्तविक संख्या-मूल्यवान फलन f की एक तरफा भिन्नता और अर्ध-भिन्नता की धारणा अवकलनीयता से कमजोर होती है। विशेष रूप से, फलन f को बिंदु a पर सही विभेदक कहा जाता है, यदि मोटे तौर पर बोलना, व्युत्पन्न (गणित) को फलन के तर्क x के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, a दाएं से, और ए पर अलग-अलग छोड़ दिया जाता है, अगर व्युत्पन्न को एक्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, तो बाईं ओर से ए तक जाता है।

एक आयामी मामला

इस फलनका चिह्नित बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि फलनवहां निरंतर कार्य नहीं करता है। हालाँकि, इसका सभी बिंदुओं पर एक सही व्युत्पन्न है $\partial _{+}f(a)$ लगातार 0 के बराबर।

गणित में, एक बाएं व्युत्पन्न और एक सही व्युत्पन्न एक फलनके तर्क द्वारा केवल एक दिशा में (बाएं या दाएं; यानी, कम या उच्च मूल्यों के लिए) गति के लिए परिभाषित यौगिक (एक फलनके परिवर्तन की दर) हैं।

परिभाषाएं

मान लीजिए f वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय I पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फलन को निरूपित करता है।

यदि a ∈ I का सीमा बिंदु है I ∩ [a,∞) और एक तरफा सीमा

$\partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

एक वास्तविक संख्या के रूप में मौजूद है, तो f को a और सीमा ∂ पर 'सही अवकलनीय' कहा जाता है₊f(a) को a पर f का 'सही अवकलज' कहा जाता है।

यदि a ∈ I का सीमा बिंदु है I ∩ (–∞,a] और एक तरफा सीमा

$\partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

एक वास्तविक संख्या के रूप में मौजूद है, तो f को a और सीमा ∂ पर 'बायाँ अवकलनीय' कहा जाता है_–f(a) को a पर f का 'वाम अवकलज' कहा जाता है।

यदि a ∈ I का सीमा बिंदु है I ∩ [a,∞) तथा I ∩ (–∞,a] और यदि f, a पर बाएँ और दाएँ अवकलनीय है, तो f को a पर 'अर्द्ध अवकलनीय' कहा जाता है।

यदि बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव समान हैं, तो उनका मान सामान्य (द्विदिश) डेरिवेटिव के समान है। कोई एक सममित व्युत्पन्न को भी परिभाषित कर सकता है, जो बाएं और दाएं डेरिवेटिव के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है (जब वे दोनों मौजूद होते हैं), इसलिए सामान्य व्युत्पन्न नहीं होने पर सममित व्युत्पन्न मौजूद हो सकता है।

टिप्पणी और उदाहरण

• कोई फलन किसी फलन के अपने प्रांत के आंतरिक बिंदु a पर व्युत्पन्न होता है यदि और केवल यदि यह a पर अर्ध-विभेद्य हो और बायाँ अवकलज दाएँ अवकलज के बराबर हो।
• एक अर्ध-विभेदक फलन का एक उदाहरण, जो अवकलनीय नहीं है, निरपेक्ष मान फलन है $f(x)=|x|$, a = 0 पर। हम आसानी से खोज लेते हैं $\partial _{-}f(0)=-1,\partial _{+}f(0)=1.$
• यदि कोई फलन बिंदु a पर अर्धविभेदनीय है, तो इसका तात्पर्य है कि यह a पर सतत है।
• सूचक समारोह 1_[0,∞) प्रत्येक वास्तविक पर अलग-अलग होने योग्य है, लेकिन शून्य पर बंद है (ध्यान दें कि यह संकेतक फलनशून्य पर अलग-अलग नहीं छोड़ा गया है)।

आवेदन

यदि एक वास्तविक-मूल्यवान, अवकलनीय फलन f, जो वास्तविक रेखा के एक अंतराल I पर परिभाषित है, का हर जगह शून्य व्युत्पन्न है, तो यह स्थिर है, जैसा कि माध्य मान प्रमेय के एक अनुप्रयोग से पता चलता है। भिन्नता की धारणा निरंतरता और एफ की एकतरफा भिन्नता के लिए कमजोर हो सकती है। दाएं अलग-अलग कार्यों के लिए संस्करण नीचे दिया गया है, बाएं अलग-अलग कार्यों के संस्करण समान हैं।

Theorem —  Let f be a real-valued, continuous function, defined on an arbitrary interval I of the real line. If f is right differentiable at every point a ∈ I, which is not the supremum of the interval, and if this right derivative is always zero, then f is constant.

Proof

For a proof by contradiction, assume there exist a < b in I such that f(a) ≠ f(b). Then

$\varepsilon :={\frac {|f(b)-f(a)|}{2(b-a)}}>0.$

Define c as the infimum of all those x in the interval (a,b] for which the difference quotient of f exceeds ε in absolute value, i.e.

$c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (x-a)\,\}.$

Due to the continuity of f, it follows that c < b and |f(c) – f(a)| = ε(c – a). At c the right derivative of f is zero by assumption, hence there exists d in the interval (c,b] with |f(x) – f(c)| ≤ ε(x – c) for all x in (c,d]. Hence, by the triangle inequality,

$|f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (x-a)$

for all x in [c,d), which contradicts the definition of c.

बाएँ या दाएँ कार्य करने वाले विभेदक ऑपरेटर्स

एक अन्य सामान्य उपयोग इंफिक्स नोटेशन में बाइनरी ऑपरेटरों के रूप में व्यवहार किए गए डेरिवेटिव का वर्णन करना है, जिसमें डेरिवेटिव को या तो बाएं या दाएं ओपेरंड पर लागू किया जाना है। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए, पॉइसन ब्रैकेट के सामान्यीकरण को परिभाषित करते समय। कार्यों की एक जोड़ी f और g के लिए, बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव क्रमशः परिभाषित किए गए हैं

$f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g$

$f{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.$

ब्रा-केट नोटेशन में, डेरिवेटिव ऑपरेटर सही ऑपरेंड पर रेगुलर डेरिवेटिव के रूप में या बाईं ओर नेगेटिव डेरिवेटिव के रूप में कार्य कर सकता है।

उच्च-आयामी मामला

इस उपरोक्त परिभाषा को 'आर' के सबसेट पर परिभाषित वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।ⁿ दिशात्मक डेरिवेटिव के कमज़ोर संस्करण का उपयोग करके। मान लीजिए a, f के प्रांत का एक आंतरिक बिंदु है। फिर बिंदु a पर f को सेमी-डिफ़रेंशिएबल कहा जाता है यदि हर दिशा के लिए u ∈ 'R'ⁿ सीमा

$\partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}$

साथ $h\in$ R एक वास्तविक संख्या के रूप में मौजूद है।

अर्ध-भिन्नता इस प्रकार व्युत्पन्न केक की तुलना में कमजोर है, जिसके लिए कोई भी एच → 0 से ऊपर की सीमा में 'एच को केवल सकारात्मक मूल्यों तक सीमित किए बिना लेता है।

उदाहरण के लिए, समारोह $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ पर अर्द्धविभेद्य है $(0,0)$, लेकिन वहाँ गैटॉक्स अलग-अलग नहीं है। वास्तव में,

$f(hx,hy)=|h|f(x,y){\text{ and for }}h\geq 0,f(hx,hy)=hf(x,y),f(hx,hy)/h=f(x,y),$ साथ $a=0,u=(x,y),\partial _{u}f(0)=f(x,y)$

(ध्यान दें कि यह सामान्यीकरण n = 1 की मूल परिभाषा के समतुल्य नहीं है क्योंकि एक तरफा सीमा बिंदुओं की अवधारणा को आंतरिक बिंदुओं की मजबूत अवधारणा से बदल दिया गया है।)

गुण

• आर के उत्तल खुले सेट पर कोई उत्तल कार्यⁿ सेमी-डिफ़रेंशिएबल है।
• जबकि एक चर का प्रत्येक अर्ध-अवकलनीय फलन सतत होता है; यह अब कई चरों के लिए सत्य नहीं है।

सामान्यीकरण

वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के बजाय, आर में मान लेने वाले कार्यों पर विचार किया जा सकता हैⁿ या बनच स्थान में।

यह भी देखें

• व्युत्पन्न
• दिशात्मक व्युत्पन्न
• आंशिक व्युत्पन्न
• ढाल
• गेटॉक्स व्युत्पन्न
• फ्रेचेट व्युत्पन्न
• व्युत्पन्न (सामान्यीकरण)
• फेज स्पेस फॉर्मूलेशन # स्टार उत्पाद
• दीनी व्युत्पन्न

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• समारोह (गणित)
• अंकगणित औसत
• निरपेक्ष मूल्य
• किसी फलनका डोमेन
• औसत मूल्य प्रमेय
• दिशात्मक व्युत्पन्न
• उत्तल समारोह
• खुला सेट

संदर्भ

• Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). "On Constraint Qualification in Multiobjective Optimization Problems: Semidifferentiable Case". J. Optim. Theory Appl. 100 (2): 417–433. doi:10.1023/A:1021794505701. S2CID 119868047.