डेसीमल प्रतिनिधित्व

This article is about decimal expansion of real numbers. For finite decimal representation, see Decimal.

एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व r पारंपरिक रूप से एकल विभाजक के साथ लिखे गए दशमलव अंकों वाले प्रतीकों के अनुक्रम के रूप में इसकी अभिव्यक्ति है:

$$r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots$$

यहां . दशमलव विभाजक है, k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ अंक हैं, जो 0, ..., 9 की श्रेणी में पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीक हैं।

आम तौर पर, $b_{k}\neq 0$ यदि $k>1.$ का क्रम $a_{i}$—डॉट के बाद के अंक—आम तौर पर परिमित अनुक्रम होते हैं। यदि यह परिमित है, लापता अंक 0 माना जाता है। यदि सभी $a_{i}$ हैं 0विभाजक भी छोड़ दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंकों का एक परिमित अनुक्रम होता है, जो एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

दशमलव प्रतिनिधित्व श्रृंखला (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है:

$$r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.$$

प्रत्येक अऋणात्मक वास्तविक संख्या में कम से कम एक ऐसा निरूपण होता है; इसके दो ऐसे अभ्यावेदन हैं (के साथ $b_{k}\neq 0$ यदि $k>0$) अगर और केवल अगर किसी के पास अनुगामी अनंत अनुक्रम है 0, और दूसरे का अनुगामी अनंत क्रम है 9. गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं और दशमलव अभ्यावेदन के बीच एक-से-एक पत्राचार होने के लिए, एक अनुगामी अनंत अनुक्रम के साथ दशमलव निरूपण 9 कभी-कभी बहिष्कृत होते हैं।

पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग

प्राकृतिक संख्या ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$, का पूर्णांक भाग कहलाता है r, और द्वारा निरूपित किया जाता है a₀ इस लेख के शेष भाग में। का क्रम $a_{i}$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है

$$0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},$$

जो अंतराल (गणित) से संबंधित है $[0,1),$ और का भिन्नात्मक भाग कहा जाता है r (जब सभी को छोड़कर $a_{i}$ हैं 9).

परिमित दशमलव सन्निकटन

परिमित दशमलव निरूपण के साथ परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी वास्तविक संख्या को सटीकता की किसी भी वांछित डिग्री तक अनुमानित किया जा सकता है।

मान लेना $x\geq 0$. फिर हर पूर्णांक के लिए $n\geq 1$ एक परिमित दशमलव है $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ ऐसा है कि:

$$r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.$$

सबूत: होने देना $r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$, कहाँ पे $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$. फिर $p\leq 10^{n}x<p+1$, और परिणाम सभी पक्षों को द्वारा विभाजित करने के बाद आता है $10^{n}$. (यह तथ्य कि $r_{n}$ एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व आसानी से स्थापित होता है।)

दशमलव प्रतिनिधित्व और नोटेशनल कन्वेंशन की गैर-विशिष्टता

Main article: 0.999...

कुछ वास्तविक संख्याएँ $x$ दो अनंत दशमलव निरूपण हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1 को 1.000... द्वारा समान रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है, जैसा कि 0.999... (जहां अनुगामी 0 या 9 के अनंत अनुक्रमों को क्रमशः ... द्वारा दर्शाया जाता है)। परंपरागत रूप से, 9 के बाद के बिना दशमलव प्रतिनिधित्व को प्राथमिकता दी जाती है। इसके अलावा, के मानक दशमलव प्रतिनिधित्व में $x$, दशमलव चिह्न को छोड़े जाने के बाद आने वाले 0 के पीछे का एक अनंत अनुक्रम, दशमलव बिंदु के साथ ही यदि $x$ एक पूर्णांक है।

के दशमलव विस्तार के निर्माण के लिए कुछ प्रक्रियाएँ $x$ 9 के अनुगामी होने की समस्या से बचेंगे। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एल्गोरिथम प्रक्रिया मानक दशमलव प्रतिनिधित्व देगी: दिया गया $x\geq 0$, हम पहले परिभाषित करते हैं $a_{0}$ (पूर्णांक भाग $x$) ऐसा सबसे बड़ा पूर्णांक होना $a_{0}\leq x$ (अर्थात।, $a_{0}=\lfloor x\rfloor$). यदि $x=a_{0}$ प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। अन्यथा, के लिए ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ पहले ही मिल चुका है, हम परिभाषित करते हैं $a_{k}$ आगमनात्मक रूप से सबसे बड़ा पूर्णांक होना जैसे कि:

$$a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.$$

(*)

प्रक्रिया जब भी समाप्त होती है $a_{k}$ ऐसा पाया जाता है कि समानता धारण करती है (*); अन्यथा, यह दशमलव अंकों का अनंत क्रम देने के लिए अनिश्चित काल तक जारी रहता है। यह दिखाया जा सकता है ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$(पारंपरिक रूप से लिखा गया है $x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$), कहाँ पे $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},$ और अऋणात्मक पूर्णांक $a_{0}$ दशमलव संकेतन में दर्शाया गया है। इस निर्माण का विस्तार किया गया है $x<0$ उपरोक्त प्रक्रिया को लागू करके $-x>0$ और इसके द्वारा परिणामी दशमलव प्रसार को निरूपित करते हैं $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$.

प्रकार

परिमित

गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या x का दशमलव विस्तार शून्य (या नाइन) में समाप्त होगा यदि, और केवल यदि, x एक परिमेय संख्या है जिसका हर 2 के रूप का है^एन5^m, जहाँ m और n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

'सबूत':

यदि x का दशमलव विस्तार शून्य में समाप्त हो जाएगा, या ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$ किसी n के लिए, तो x का हर 10 के रूप का होता है^{एन </सुप> = 2एन5एन.}

इसके विपरीत, यदि x का हर 2 के रूप का है^एन5^मी, $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ कुछ पी के लिए जबकि x रूप का है $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$, $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ कुछ एन के लिए द्वारा $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$, x शून्य में समाप्त होगा।

अनंत

दोहराए जाने वाले दशमलव अभ्यावेदन

Main article: Repeating decimal

कुछ वास्तविक संख्याओं में दशमलव विस्तार होते हैं जो अंततः एक या अधिक अंकों के अनुक्रम को दोहराते हुए लूप में आते हैं:

¹/₃ = 0.33333...

¹/₇ = 0.142857142857...

¹³¹⁸/₁₈₅ = 7.1243243243...

हर बार ऐसा होने पर संख्या अभी भी एक परिमेय संख्या होती है (अर्थात वैकल्पिक रूप से पूर्णांक और धनात्मक पूर्णांक के अनुपात के रूप में प्रदर्शित की जा सकती है)। इसका विलोम भी सत्य है: एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो परिमित होता है, या अंतहीन रूप से आवर्ती होता है।

अंश में रूपांतरण

Further information: Fraction § Arithmetic with fractions

एक परिमेय संख्या के प्रत्येक दशमलव निरूपण को पूर्णांक, गैर-दोहराए जाने वाले और दोहराए जाने वाले भागों के योग में परिवर्तित करके और फिर उस योग को एक सामान्य भाजक के साथ एकल अंश में परिवर्तित करके एक अंश में परिवर्तित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए कनवर्ट करना ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ एक अंश के लिए लेम्मा नोट करता है:

$${\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}$$

इस प्रकार एक निम्नानुसार परिवर्तित होता है:

$${\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}$$

यदि कोई दोहराए जाने वाले अंक नहीं हैं, तो यह मान लिया जाता है कि हमेशा के लिए 0 दोहराया जाता है, उदा। $1.9=1.9{\overline {0}}$, हालांकि चूंकि यह दोहराए जाने वाले शब्द को शून्य बनाता है, योग दो शब्दों और एक सरल रूपांतरण के लिए सरल हो जाता है।

उदाहरण के लिए:

$${\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}$$

यह भी देखें

• दशमलव
• श्रृंखला (गणित)
• आईईईई 754
• साइमन स्टीविन#दशमलव अंश

अग्रिम पठन

• Apostol, Tom (1974). Mathematical analysis (Second ed.). Addison-Wesley.
• Savard, John J. G. (2018) [2006]. "Decimal Representations". quadibloc. Archived from the original on 2018-07-16. Retrieved 2018-07-16.