घातीय ऑब्जेक्ट

"Power object" redirects here. For power objects in topos theory, see topos.

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, एक घातीय वस्तु या मानचित्र वस्तु सेट सिद्धांत में एक कार्य स्थान का श्रेणी सिद्धांत सामान्यीकरण है। श्रेणी (गणित) सभी उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) और घातीय वस्तुओं के साथ कार्टेशियन बंद श्रेणी कहलाती है। संबंधित उत्पादों के बिना श्रेणियां (जैसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी की उपश्रेणी) में अभी भी एक घातीय कानून हो सकता है।

परिभाषा

होने देना $\mathbf {C}$ एक श्रेणी हो, चलो $Z$ तथा $Y$ की वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) हो $\mathbf {C}$, और जाने $\mathbf {C}$ सभी उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के साथ हैं $Y$. एक वस्तु ${\textstyle Z^{Y}}$ एक साथ एक रूपवाद के साथ ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ किसी भी वस्तु के लिए एक घातीय वस्तु है $X$ और आकृतिवाद ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ एक अद्वितीय morphism है ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (का स्थानांतरण कहा जाता है $g$) ऐसा है कि निम्न आरेख क्रमविनिमेय आरेख:

एक अद्वितीय का यह कार्य $\lambda g$ प्रत्येक के लिए $g$ होम-सेट का एक समरूपता (आक्षेप) स्थापित करता है, ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

यदि ${\textstyle Z^{Y}}$सभी वस्तुओं के लिए मौजूद है $Z,Y$ में $\mathbf {C}$, फिर फ़ैक्टर $(-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ द्वारा वस्तुओं पर परिभाषित $Z\mapsto Z^{Y}$ और तीर पर $(f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})$, उत्पाद फ़ंक्टर के लिए एक सही आसन्न है $-\times Y$. इस कारण से, morphisms $\lambda g$ तथा $g$ कभी-कभी एक दूसरे के चरघातांकी संलग्नक कहलाते हैं।

समान परिभाषा

वैकल्पिक रूप से, घातीय वस्तु को समीकरणों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:

• मौजूदगी में $\lambda g$ ऑपरेशन के अस्तित्व की गारंटी है $\lambda -$.
• उपरोक्त आरेखों की क्रमविनिमेयता समानता द्वारा गारंटीकृत है $\forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g$.
• की विशिष्टता $\lambda g$ समानता की गारंटी है $\forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h$.

सार्वभौमिक संपत्ति

घातीय $Z^{Y}$ उत्पाद फ़ंक्टर से एक सार्वभौमिक आकारिकी द्वारा दिया गया है $-\times Y$ वस्तु को $Z$. इस सार्वभौमिक रूपवाद में एक वस्तु होती है $Z^{Y}$ और एक रूपवाद ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$.

उदाहरण

सेट की श्रेणी में, एक घातीय वस्तु $Z^{Y}$ सभी कार्यों (गणित) का सेट है $Y\to Z$. नक्शा $\mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z$ केवल वह लागू होता है, जो जोड़ी भेजता है $(f,y)$ प्रति $f(y)$. किसी भी नक्शे के लिए $g\colon X\times Y\to Z$ नक्शा $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ का करी रूप है $g$:

$\lambda g(x)(y)=g(x,y).\,$

एक हेटिंग बीजगणित $H$ केवल एक बंधी हुई जाली (क्रम) है जिसमें सभी घातीय वस्तुएँ हैं। हेटिंग निहितार्थ, $Y\Rightarrow Z$, के लिए एक वैकल्पिक संकेतन है $Z^{Y}$. उपरोक्त संयोजन परिणाम निहितार्थ में अनुवाद करते हैं ($\Rightarrow :H\times H\to H$) शामिल होने और मिलने के ठीक बगल में होना ($\wedge :H\times H\to H$). इस संयोजन को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)$, या अधिक पूरी तरह से:

$$(-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)$$

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में, एक्सपोनेंशियल ऑब्जेक्ट $Z^{Y}$ मौजूद है बशर्ते कि $Y$ एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस हौसडॉर्फ स्पेस है। ऐसे में स्पेस $Z^{Y}$ से सभी निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) का सेट है $Y$ प्रति $Z$ कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के साथ। मूल्यांकन मानचित्र सेट की श्रेणी के समान ही है; यह उपरोक्त टोपोलॉजी के साथ निरंतर है। यदि $Y$ हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है, घातीय वस्तु मौजूद नहीं हो सकती है (space $Z^{Y}$ अभी भी मौजूद है, लेकिन यह एक घातीय वस्तु होने में विफल हो सकता है क्योंकि मूल्यांकन कार्य निरंतर नहीं होना चाहिए)। इस कारण से टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी कार्तीय बंद होने में विफल रहती है। हालाँकि, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी कार्टेशियन बंद नहीं है, क्योंकि $Z^{Y}$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के लिए स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है $Z$ तथा $Y$. रिक्त स्थान की एक कार्टेशियन बंद श्रेणी, उदाहरण के लिए, उपश्रेणी#Formal_definition द्वारा दी गई है, जो सघन रूप से उत्पन्न स्थान हौसडॉर्फ रिक्त स्थान द्वारा फैली हुई है।

कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषाओं में, रूपवाद $\operatorname {eval}$ अक्सर होता है| बुलाया $\operatorname {apply}$, और वाक्य रचना $\lambda g$ अक्सर कार्य अनुप्रयोग # प्रतिनिधित्व | लिखा जाता है $\operatorname {curry} (g)$. रूपवाद $\operatorname {eval}$ यहाँ eval के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिएevalकुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में कार्य करता है, जो उद्धृत भावों का मूल्यांकन करता है।

यह भी देखें

• बंद मोनोइडल श्रेणी

संदर्भ

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006) [1990]. Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats). John Wiley & Sons.
• Awodey, Steve (2010). "Chapter 6: Exponentials". Category theory. Oxford New York: Oxford University Press. ISBN 978-0199237180.
• Mac Lane, Saunders (1998). "Chapter 4: Adjoints". Categories for the working mathematician. New York: Springer. ISBN 978-0387984032.

बाहरी संबंध

• Interactive Web page which generates examples of exponential objects and other categorical constructions. Written by Jocelyn Paine.