ट्रान्सेंडैंटल समीकरण

अनुप्रयुक्त गणित में, एक अनुवांशिक समीकरण वास्तविक (या जटिल) संख्याओं पर एक समीकरण है जो बीजगणितीय नहीं है, अर्थात यदि इसका कम से कम एक पक्ष एक अनुवांशिक कार्य का वर्णन करता है। उदाहरणों में शामिल हैं:

${\begin{aligned}x&=e^{-x}\\x&=\cos x\\2^{x}&=x^{2}\end{aligned}}$

एक पारलौकिक समीकरण को प्राथमिक कार्यों के बीच एक समीकरण होने की आवश्यकता नहीं है, हालांकि अधिकांश प्रकाशित उदाहरण हैं।

कुछ मामलों में, एक अनुभवातीत समीकरण को एक समतुल्य बीजीय समीकरण में बदलकर हल किया जा सकता है। ऐसे ही कुछ परिवर्तनों का रेखाचित्र नीचे दिया गया है; कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियां अधिक विस्तृत रूपांतर प्रदान कर सकती हैं।

हालांकि, सामान्य तौर पर, केवल अनुमानित समाधान ही खोजे जा सकते हैं।

एक बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तन

एक चर में पारलौकिक समीकरणों के कुछ वर्गों के लिए उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में बदलने के लिए तदर्थ विधियाँ मौजूद हैं, जिन्हें तब हल किया जा सकता है।

घातीय समीकरण

यदि अज्ञात, मान लीजिए x, केवल घातांकों में होता है:

• प्राकृतिक लघुगणक को दोनों पक्षों पर लागू करने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदा।

$4^{x}=3^{x^{2}-1}\cdot 2^{5x},$ $x\ln 4=(x^{2}-1)\ln 3+5x\ln 2$ में बदल जाता है, जो कि $x^{2}\ln 3+x(5\ln 2-\ln 4)-\ln 3=0$ में सरल हो जाता है, जिसका समाधान है

$x={\frac {-3\ln 2\pm {\sqrt {9(\ln 2)^{2}-4(\ln 3)^{2}}}}{2\ln 3}}.$

यह काम नहीं करेगा यदि जोड़ "आधार रेखा पर" होता है, जैसा कि $4^{x}=3^{x^{2}-1}+2^{5x}$ में है।

• यदि सभी "आधार स्थिरांक" को पूर्णांक या किसी संख्या q की तर्कसंगत शक्तियों के रूप में लिखा जा सकता है, तो y=qx को प्रतिस्थापित करना सफल हो सकता है, उदा।

$2^{x-1}+4^{x-2}-8^{x-2}=0$ y=2 का उपयोग करके रूपांतरित करता है^x, को ${\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{16}}y^{2}-{\frac {1}{64}}y^{3}=0$ जिसके समाधान हैं $y\in \{0,-4,8\}$, इसलिए $x=\log _{2}8=3$ ही वास्तविक समाधान है।

यह तब काम नहीं करेगा जब वर्ग या एक्स की उच्च शक्ति एक एक्सपोनेंट में होती है, या यदि "आधार स्थिरांक" एक सामान्य क्यू को "साझा" नहीं करते हैं।

• कभी-कभी, y=xex को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है; y के समाधान ज्ञात होने के बाद, x के लिए लैम्बर्ट W फ़ंक्शन को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

$x^{2}e^{2x}+2=3xe^{x}$ में बदल जाता है $y^{2}+2=3y,$ जिसके समाधान हैं $y\in \{1,2\},$ इसलिए $x\in \{W_{0}(1),W_{0}(2),W_{-1}(1),W_{-1}(2)\}$, कहां $W_{0}$ और $W_{-1}$ बहु-मूल्यवान की वास्तविक-मूल्यवान शाखाओं को दर्शाता है $W$ समारोह।

लघुगणकीय समीकरण

यदि अज्ञात x केवल लघुगणक फ़ंक्शन के तर्कों में होता है:

• दोनों पक्षों में घातांक लगाने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदा।

$2\log _{5}(3x-1)-\log _{5}(12x+1)=0$ घातांक का उपयोग करके $5.$ से ${\frac {(3x-1)^{2}}{12x+1}}=1,$ को आधार बनाता है, जिसका समाधान $x\in \{0,2\}$ है। यदि केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार किया जाए, तो $x=0$ एक समाधान नहीं है, क्योंकि यह दिए गए समीकरण में एक गैर-वास्तविक उप-अभिव्यक्ति $\log _{5}(-1)$ की ओर ले जाता है।

इसके लिए मूल समीकरण को लघुगणक w.r.t के पूर्णांक-गुणांक रैखिक संयोजनों को शामिल करने की आवश्यकता है। एक अद्वितीय आधार, और लघुगणक तर्क x में बहुपद होना चाहिए।

• यदि सभी "लघुगणक कॉल" का एक अनूठा आधार $b$ और एक अद्वितीय तर्क अभिव्यक्ति $f(x),$ है, तो $y=\log _{b}(f(x))$ को प्रतिस्थापित करने से एक सरल समीकरण हो सकता है, उदा।

$5\ln(\sin x^{2})+6=7{\sqrt {\ln(\sin x^{2})+8}}$ रूपांतरण, $y=\ln(\sin x^{2}),$ से $5y+6=7{\sqrt {y+8}},$ का उपयोग करते हुए जो बीजगणितीय है और इसे हल किया जा सकता है। उसके बाद, प्रतिस्थापन समीकरण के व्युत्क्रम संचालन को लागू करने से ${\sqrt {\arcsin \exp y}}=x$ प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण

यदि अज्ञात x अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के तर्कों के अंदर केवल रैखिक अभिव्यक्तियों में होता है,

• पायथागॉरियन पहचान और त्रिकोणमितीय योग और कई सूत्रों को लागू करते हुए, फॉर्म $\sin(nx+a),\cos(mx+b),\tan(lx+c),...$ के तर्कों को पूर्णांक 22$n,m,l,...$ के साथ फॉर्म के तर्कों में परिवर्तित किया जा सकता है, कहते हैं, $\sin x$ उसके बाद, $y=\sin(x)$ को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है, उदा।

$\sin(x+a)=(\cos ^{2}x)-1$ में बदल जाता है $(\sin x)(\cos a)+{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}(\sin a)=1-(\sin ^{2}x)-1$, और, प्रतिस्थापन के बाद, करने के लिए $y(\cos a)+{\sqrt {1-y^{2}}}(\sin a)=-y^{2}$ जो बीजगणितीय है और सुलझाया जा सकता है। इसके बाद अप्लाई कर रहे हैं $x=2k\pi +\arcsin y$ समाधान प्राप्त करता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण

यदि अज्ञात x अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के तर्कों के भीतर केवल रैखिक व्यंजकों में होता है,

• उनके परिभाषित घातीय व्यंजकों द्वारा उन्हें प्रकट करने और $y=exp(x)$ को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है, उदा.

$3\cosh x=4+\sinh(2x-6)$ प्रकट होता है ${\frac {3}{2}}(e^{x}+{\frac {1}{e^{x}}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(e^{x})^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{(e^{x})^{2}}}\right),$ जो समीकरण में बदल जाता है ${\frac {3}{2}}(y+{\frac {1}{y}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{y^{2}}}\right),$ जो बीजगणितीय है और सुलझाया जा सकता है। को लागू करने $x=\ln y$ मूल समीकरण का हल प्राप्त करता है।

अनुमानित समाधान

ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के अनुमानित संख्यात्मक समाधान संख्यात्मक, विश्लेषणात्मक सन्निकटन या ग्राफिकल विधियों का उपयोग करके पाए जा सकते हैं।

मनमाना समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों को रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम कहा जाता है।

कुछ मामलों में, शून्य के पास टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समीकरण को अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $k\approx 1$ के लिए, $\sin x=kx$ के समाधान लगभग $(1-k)x-x^{3}/6=0$ के समाधान हैं, अर्थात् $x=0$ और $x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}$।

एक ग्राफिकल समाधान के लिए, एक विधि है कि एक एकल चर अनुवांशिक समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक निर्भर चर के बराबर सेट करना और समाधान खोजने के लिए उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का उपयोग करके दो ग्राफ़ों को प्लॉट करना है (चित्र देखें)।

अन्य समाधान

• उच्च-क्रम समीकरणों की कुछ पारलौकिक प्रणालियों को अज्ञातों के "पृथक्करण" द्वारा हल किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में कम किया जा सकता है।
• ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों/असमानताओं को हल करते समय निम्नलिखित का भी उपयोग किया जा सकता है: यदि $x_{0}$ समीकरण $f(x)=g(x)$ और $f(x)\leq c\leq g(x)$ का हल है, तो इस समाधान को $f(x_{0})=g(x_{0})=c$ को संतुष्ट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम $\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$ को हल करना चाहते हैं। दिए गए समीकरण को $-1<x<3$ के लिए परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $f(x)=\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)$ और $g(x)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$ हैं। यह दिखाना आसान है कि $f(x)\leq 2$ और $g(x)\geq 2$ इसलिए यदि समीकरण का कोई समाधान है, तो उसे $f(x)=g(x)=2$ को संतुष्ट करना होगा। $f(x)=2$ से हमें $x=1\in (-1,3)$ मिलते हैं। वास्तव में, $f(1)=g(1)=2$ और इसलिए $x=1$ ही समीकरण का एकमात्र वास्तविक समाधान है।

यह भी देखें

• श्रीमती मिनिवर की समस्या

संदर्भ

• John P. Boyd (2014). Solving Transcendental Equations: The Chebyshev Polynomial Proxy and Other Numerical Rootfinders, Perturbation Series, and Oracles. Other Titles in Applied Mathematics. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). doi:10.1137/1.9781611973525. ISBN 978-1-61197-351-8.