सीमा मान समस्या

एक ऐसा क्षेत्र दिखाता है जहां एक अंतर समीकरण मान्य है और संबंधित सीमा मूल्य

गणित में, अंतर समीकरणों के क्षेत्र में, एक सीमा मूल्य समस्या एक अंतर समीकरण है जिसमें अतिरिक्त बाधाओं का एक समूह होता है, जिसे सीमा की स्थिति कहा जाता है। सीमा मूल्य समस्या का हल अंतर समीकरण का हल है जो सीमा प्रतिबंधों को भी संतुष्ट करता है।

भौतिक विज्ञान की कई शाखाओं में सीमा मूल्य की समस्याएँ उत्पन्न होती हैं क्योंकि किसी भी भौतिक अवकल समीकरण में ये समस्याएँ होंगी। तरंग समीकरण से जुड़ी समस्याएं, जैसे कि प्रसामान्य विधा का निर्धारण, प्रायः सीमा मूल्य समस्याओं के रूप में कहा जाता है। महत्वपूर्ण सीमा मूल्य समस्याओं का एक बड़ा वर्ग स्टर्म-लिउविल सिद्धांत है। इन समस्याओं के विश्लेषण में एक अवकल संकारक के आईगेन फलन सम्मिलित हैं।

अनुप्रयोगों में उपयोगी होने के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या अच्छी तरह से उत्पन्न समस्या होनी चाहिए। इसका मतलब यह है कि समस्या के निवेश दिए जाने पर एक विशिष्ट हल उपस्थित होता है, जो निरन्तर निवेश पर निर्भर करता है। आंशिक अंतर समीकरणों के क्षेत्र में बहुत से सैद्धांतिक कार्य यह सिद्ध करने के लिए समर्पित हैं कि विज्ञान संबंधी और अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों से उत्पन्न होने वाली सीमा मूल्य समस्याएं वस्तुत: अच्छी तरह से प्रस्तुत हैं।

अध्ययन की जाने वाली पूर्वतर सीमा मूल्य समस्याओं में हार्मोनिक कार्यों (लाप्लास के समीकरण के हल) को खोजने की डिरिचलेट समस्या है; हल डिरिक्लेट के सिद्धांत द्वारा दिया गया था।

स्पष्टीकरण

सीमा मूल्य समस्याएं प्रारंभिक मूल्य समस्या ओं के समान हैं। एक सीमा मूल्य समस्या के समीकरण में स्वतंत्र चर के चरम सीमाओं (सीमाओं) पर निर्दिष्ट स्थितियाँ होती हैं जबकि एक प्रारंभिक मूल्य समस्या में स्वतंत्र चर के समान मूल्य पर निर्दिष्ट सभी परिस्थितियाँ होती हैं (और वह मूल्य डोमेन की निचली सीमा पर है, इस प्रकार शब्द "प्रारंभिक" मूल्य )। एक सीमा मूल्य एक डेटा मान है जो किसी सिस्टम या घटक के लिए निर्दिष्ट न्यूनतम या अधिकतम निवेश , आंतरिक या आउटपुट मान से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, यदि स्वतंत्र चर डोमेन [0,1] पर समय है, तो एक सीमा मूल्य समस्या के लिए मान निर्दिष्ट करेगी $y(t)$ दोनों तरफ $t=0$ और $t=1$, जबकि प्रारंभिक मूल्य समस्या का मान निर्दिष्ट करेगी $y(t)$ और $y'(t)$ समय पर $t=0$.

एक लोहे की पट्टी के सभी बिंदुओं पर तापमान का पता लगाना, जिसके एक सिरे को पूर्ण शून्य पर रखा जाता है और दूसरे सिरे को पानी के हिमांक बिंदु पर रखा जाता है, यह एक सीमा मूल्य समस्या होगी।

यदि समस्या स्थान और समय दोनों पर निर्भर है, तो समस्या कामूल्य सभी समय के लिए दिए गए बिंदु पर या सभी स्थान के लिए दिए गए समय पर निर्दिष्ट किया जा सकता है।

ठोस रूप से, सीमा मूल्य समस्या (एक स्थानिक आयाम में) का एक उदाहरण है

$y''(x)+y(x)=0$

अज्ञात समारोह के लिए हल करने के लिए $y(x)$ सीमा प्रतिबंधों के साथ

$y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.$

सीमा प्रतिबंधों के बिना, इस समीकरण का सामान्य हल है

$y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).$

सीमा की स्थिति से $y(0)=0$ एक प्राप्त करता है

$0=A\cdot 0+B\cdot 1$

जिसका तात्पर्य है $B=0.$ सीमा की स्थिति से $y(\pi /2)=2$ एक पाता है

$2=A\cdot 1$

इसलिए $A=2.$ कोई यह देखता है कि सीमा प्रतिबंधों को लागू करने से एक अद्वितीय हल निर्धारित करने की अनुमति मिलती है, जो इस मामले में है

$y(x)=2\sin(x).$

सीमा मूल्य समस्याओं के प्रकार

सीमा मूल्य की स्थिति

इस आदर्श 2डी रॉड के तापमान का वर्णन करने के लिए एक फ़ंक्शन ढूँढना डिरिचलेट सीमा प्रतिबंधों के साथ एक सीमा मूल्य समस्या है। कोई भी हल फ़ंक्शन गर्मी समीकरण को हल करेगा, और बाईं सीमा पर 0 K के तापमान की सीमा प्रतिबंधों को पूरा करेगा और दाहिनी सीमा पर 273.15 K का तापमान होगा।

एक सीमा स्थिति जो फ़ंक्शन के मूल्य को ही निर्दिष्ट करती है, एक डिरिचलेट सीमा स्थिति या प्रथम प्रकार की सीमा शर्त है। उदाहरण के लिए, यदि किसी लोहे की छड़ का एक सिरा पूर्ण शून्य पर रखा जाता है, तो समस्या का मूल्य अंतरिक्ष में उस बिंदु पर ज्ञात होगा।

एक सीमा की स्थिति जो फ़ंक्शन के सामान्य व्युत्पन्न के मूल्य को निर्दिष्ट करती है, एक न्यूमैन सीमा की स्थिति या दूसरी प्रकार की सीमा की स्थिति है। उदाहरण के लिए, यदि लोहे की छड़ के एक सिरे पर हीटर लगा हो, तो ऊर्जा एक स्थिर दर से बढ़ेगी लेकिन वास्तविक तापमान ज्ञात नहीं होगा।

यदि सीमा में एक वक्र या सतह का रूप है जो सामान्य व्युत्पन्न और चर को ही मान देता है तो यह एक कॉची सीमा स्थिति है।

उदाहरण

अज्ञात फ़ंक्शन के लिए सीमा प्रतिबंधों का सारांश, $y$, स्थिरांक $c_{0}$ और $c_{1}$ सीमा स्थितियों और ज्ञात स्केलर कार्यों द्वारा निर्दिष्ट $f$ और $g$ सीमा प्रतिबंधों द्वारा निर्दिष्ट।

Name	Form on 1st part of boundary	Form on 2nd part of boundary
Dirichlet	$y=f$
Neumann	${\partial y \over \partial n}=f$
Robin	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
Mixed	$y=f$	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
Cauchy	both $y=f$ and $c_{0}{\partial y \over \partial n}=g$

विभेदक ऑपरेटर

सीमा की स्थिति के अलावा, सीमा मूल्य की समस्याओं को भी अंतर ऑपरेटर के प्रकार के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। एक अण्डाकार ऑपरेटर के लिए, एक अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं पर चर्चा करता है। एक अतिशयोक्तिपूर्ण ऑपरेटर के लिए, एक अतिशयोक्तिपूर्ण सीमा मूल्य समस्याओं पर चर्चा करता है। इन श्रेणियों को आगे रेखीय अवकल समीकरण और विभिन्न अरैखिक प्रकारों में विभाजित किया गया है।

अनुप्रयोग

विद्युत चुम्बकीय क्षमता

See also: Laplace's equation § Boundary conditions

इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में, एक सामान्य समस्या एक ऐसे फ़ंक्शन को ढूंढना है जो किसी दिए गए क्षेत्र की विद्युत क्षमता का वर्णन करता है। यदि क्षेत्र में आवेश नहीं है, तो संभावित रूप से लाप्लास के समीकरण (एक तथाकथित हार्मोनिक फ़ंक्शन) का हल होना चाहिए। इस मामले में सीमा की स्थिति विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए इंटरफ़ेस की स्थिति है। यदि क्षेत्र में कोई वर्तमान घनत्व नहीं है, तो इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग करके चुंबकीय स्केलर क्षमता को परिभाषित करना भी संभव है।

यह भी देखें

संबंधित गणित:

• प्रारंभिक मूल्य समस्या
• ग्रीन का कार्य
• स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं और सीमा मूल्य समस्याएं
• स्टर्म-लिउविल सिद्धांत
• सोमरफेल्ड विकिरण की स्थिति
• सही थर्मल संपर्क

भौतिक अनुप्रयोग:

• लहर की
• सामान्य स्थिति
• इलेक्ट्रोस्टैटिक्स
• संभावित सिद्धांत
• वातावरण में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना
• ब्लैक होल

संख्यात्मक एल्गोरिदम:

• शूटिंग विधि
• [[ डायरेक्ट मल्टीपल शूटिंग का तरीका ]]
• वॉक-ऑन-स्फेयर विधि
• परिमित अंतर विधि
• सीमा तत्व विधि

संदर्भ

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

बाहरी कड़ियाँ

• "Boundary value problems in potential theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Boundary value problem, complex-variable methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Linear Partial Differential Equations: Exact Solutions and Boundary Value Problems at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Boundary value problem". Scholarpedia.

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