चतुर्विम यूक्लिडीन समष्टि में घूर्णन

गणित में, चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु के बारे में घूर्णन के समूह (गणित) को SO(4) द्वारा निरूपित किया जाता है। नाम इस तथ्य से आता है कि यह ऑर्डर 4 का विशेष ऑर्थोगोनल समूह है।

इस लेख में घूर्णन (गणित) का अर्थ है घूर्णी विस्थापन। विशिष्टता के लिए, रोटेशन कोणों को खंड में माना जाता है [0, π] सिवाय जहां उल्लेख किया गया हो या अन्यथा संदर्भ द्वारा स्पष्ट रूप से निहित हो।

स्थिर तल वह तल होता है जिसके लिए तल का प्रत्येक सदिश घूर्णन के बाद अपरिवर्तित रहता है। एक अपरिवर्तनीय विमान एक विमान है जिसके लिए विमान में प्रत्येक वेक्टर, हालांकि यह रोटेशन से प्रभावित हो सकता है, घूर्णन के बाद विमान में रहता है।

4D घुमावों की ज्यामिति

चार आयामी घुमाव दो प्रकार के होते हैं: साधारण घुमाव और दोहरा घुमाव।

सरल घुमाव

एक साधारण घुमाव R एक घूर्णन केंद्र के बारे में O एक पूरा विमान छोड़ देता है A के माध्यम से O (एक्सिस-प्लेन) फिक्स्ड। हर विमान B यह पूरी तरह से रूढ़िवादिता है को A काटती है A एक निश्चित बिंदु में P. ऐसा प्रत्येक बिंदु P द्वारा प्रेरित 2डी रोटेशन का केंद्र है R में B. इन सभी 2D घुमावों का घूर्णन कोण समान है α.

से आधी पंक्तियाँ O अक्ष-तल में A विस्थापित नहीं हैं; से आधी पंक्तियाँ O इसके लिए ऑर्थोगोनल A माध्यम से विस्थापित होते हैं α; अन्य सभी अर्ध-रेखाएँ इससे कम कोण से विस्थापित होती हैं α.

डबल रोटेशन

Tesseract , त्रिविम प्रक्षेपण में, डबल रोटेशन में

[[File:Torus vectors oblique.jpg|thumb|left|एक 4D [[ क्लिफर्ड टोरस्र्स ]] को त्रिविम रूप से 3D में प्रक्षेपित किया गया है जो एक टोरस की तरह दिखता है, और उस टोरस पर एक दोहरा घुमाव एक पेचदार पथ के रूप में देखा जा सकता है। एक ऐसे घुमाव के लिए जिसके दो घूर्णन कोणों का परिमेय अनुपात होता है, पथ अंतत: फिर से जुड़ जाएंगे; जबकि एक अपरिमेय अनुपात के लिए वे नहीं करेंगे। एक आइसोक्लिनिक घुमाव टोरस पर एक विलरसेउ सर्कल का निर्माण करेगा, जबकि एक साधारण घुमाव केंद्रीय अक्ष के समानांतर या लंबवत एक चक्र का निर्माण करेगा।]]प्रत्येक घुमाव के लिए R 4-स्पेस (उत्पत्ति को ठीक करना) में, ऑर्थोगोनलिटी 2-प्लेन की कम से कम एक जोड़ी है A और B जिनमें से प्रत्येक अपरिवर्तनीय है और जिसका प्रत्यक्ष योग है A ⊕ B सभी 4-स्पेस है। अत R इनमें से किसी भी विमान पर काम करने से उस विमान का एक सामान्य घुमाव पैदा होता है। लगभग सभी के लिए R (3-आयामी सबसेट को छोड़कर रोटेशन के सभी 6-आयामी सेट), रोटेशन कोण α विमान में A और β विमान में B - दोनों को अशून्य माना जाता है - अलग हैं। असमान रोटेशन कोण α और β संतुष्टि देने वाला −π < α, β < π लगभग हैं द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया है R. यह मानते हुए कि 4-स्थान उन्मुख है, फिर 2-विमानों का झुकाव A और B इस अभिविन्यास के अनुरूप दो तरह से चुना जा सकता है। यदि रोटेशन कोण असमान हैं (α ≠ β), R कभी-कभी दोहरा घूर्णन कहा जाता है।

डबल रोटेशन के उस मामले में, A और B अपरिवर्तनीय विमानों की एकमात्र जोड़ी है, और मूल से आधी-रेखाएँ हैं A, B माध्यम से विस्थापित होते हैं α और β क्रमशः, और मूल से आधी रेखाएँ अंदर नहीं हैं A या B के बीच सख्ती से कोणों के माध्यम से विस्थापित होते हैं α और β.

आइसोक्लिनिक घुमाव

यदि एक दोहरे घुमाव के घूर्णन कोण बराबर हैं, तो केवल दो के बजाय असीम रूप से कई अपरिवर्तनीय (गणित) विमान हैं, और सभी अर्ध-रेखाएँ O उसी कोण से विस्थापित होते हैं। इस तरह के घुमावों को आइसोक्लिनिक या समकोणीय घुमाव या क्लिफर्ड विस्थापन कहा जाता है। खबरदार: सभी विमानों के माध्यम से नहीं O आइसोक्लिनिक घुमावों के तहत अपरिवर्तनीय हैं; केवल वे समतल जो एक अर्ध-रेखा द्वारा फैलाए जाते हैं और संबंधित विस्थापित अर्ध-रेखा अपरिवर्तनीय होते हैं। यह मानते हुए कि 4-आयामी स्थान के लिए एक निश्चित अभिविन्यास चुना गया है, आइसोक्लिनिक 4D घुमावों को दो श्रेणियों में रखा जा सकता है। इसे देखने के लिए, एक आइसोक्लिनिक घुमाव पर विचार करें R, और एक अभिविन्यास-संगत आदेशित सेट लें OU, OX, OY, OZ परस्पर लंबवत अर्ध-रेखाओं का O (इस रूप में घोषित किया गया OUXYZ) ऐसा है कि OU और OX एक अपरिवर्तनीय विमान फैलाओ, और इसलिए OY और OZ एक अपरिवर्तनीय विमान भी फैला है। अब मान लीजिए कि केवल घूर्णन कोण है α अधिकृत है। फिर विमानों में सामान्य रूप से चार आइसोक्लिनिक घुमाव होते हैं OUX और OYZ घूर्णन कोण के साथ α, में रोटेशन सेंस के आधार पर OUX और OYZ.

हम यह परंपरा बनाते हैं कि रोटेशन से होश आता है OU को OX और यहां ये OY को OZ सकारात्मक माने जाते हैं। फिर हमारे पास चार चक्कर हैं R₁ = (+α, +α), R₂ = (−α, −α), R₃ = (+α, −α) और R₄ = (−α, +α). R₁ और R₂ एक दूसरे के व्युत्क्रम कार्य हैं; तो हैं R₃ और R₄. जब तक कि α 0 और के बीच स्थित है π, ये चार घुमाव अलग-अलग होंगे।

समान चिह्नों वाले समनतिक घुमावों को बाएँ-समनत वक्र के रूप में निरूपित किया जाता है; जिनके विपरीत चिन्ह राइट-आइसोक्लिनिक हैं। बाएँ- और दाएँ-आइसोक्लिनिक घुमावों को क्रमशः बाएँ और दाएँ-गुणन द्वारा इकाई चतुष्कोणों द्वारा दर्शाया जाता है; नीचे चतुष्कोणों से संबंधित अनुच्छेद देखें।

सिवाय इसके कि चार घुमाव जोड़ीदार अलग-अलग हैं α = 0 या α = π. कोण α = 0 पहचान रोटेशन से मेल खाती है; α = π पहचान मैट्रिक्स के ऋणात्मक द्वारा दिए गए एक बिंदु में व्युत्क्रम से मेल खाती है। SO(4) के ये दो तत्व ही ऐसे हैं जो एक साथ बाएं और दाएं-आइसोक्लिनिक हैं।

उपरोक्त के रूप में परिभाषित बाएं और दाएं-आइसोकलिन इस बात पर निर्भर करता है कि किस विशिष्ट आइसोक्लिनिक रोटेशन का चयन किया गया था। हालांकि, जब एक और आइसोक्लिनिक रोटेशन R′ अपनी ही कुल्हाड़ियों के साथ OU′, OX′, OY′, OZ′ चुना जाता है, तो कोई भी हमेशा का क्रमचय चुन सकता है U′, X′, Y′, Z′ ऐसा है कि OUXYZ में परिवर्तित किया जा सकता है OU′X′Y′Z′ एक रोटेशन-प्रतिबिंब के बजाय एक रोटेशन द्वारा (अर्थात, ताकि आदेशित आधार OU′, OX′, OY′, OZ′ अभिविन्यास के समान निश्चित विकल्प के अनुरूप भी है OU, OX, OY, OZ). इसलिए, एक बार किसी ने एक ओरिएंटेशन (यानी, एक system OUXYZ कुल्हाड़ियों की संख्या जिसे सार्वभौमिक रूप से दाएं हाथ के रूप में दर्शाया गया है), एक विशिष्ट आइसोक्लिनिक घुमाव के बाएं या दाएं चरित्र को निर्धारित कर सकता है।

===SO(4)=== की समूह संरचना SO(4) एक गैर-अनुक्रमणीय कॉम्पैक्ट जगह 6-डाइमेंशन#मैनिफ़ोल्ड्स झूठ समूह है।

रोटेशन केंद्र के माध्यम से प्रत्येक विमान O SO(2) के क्रमविनिमेय उपसमूह समरूप ी का अक्ष-तल है। ये सभी उपसमूह SO(4) में यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्रीज़ के परस्पर संयुग्मन हैं।

पूरी तरह से ऑर्थोगोनलिटी विमानों की प्रत्येक जोड़ी के माध्यम से O एसओ (4) आइसोमोर्फिक के एक कम्यूटेटिव उपसमूह के अपरिवर्तनीय (गणित) विमानों की जोड़ी है SO(2) × SO(2).

ये समूह SO(4) के अधिकतम टोरस हैं, जो सभी SO(4) में परस्पर संयुग्मी हैं। क्लिफोर्ड टोरस भी देखें।

सभी बाएं-आइसोकलिनिक घुमाव एक गैर-अनुवर्ती उपसमूह बनाते हैं S³_L SO(4) का, जो गुणक समूह के लिए तुल्याकारी है S³ इकाई चतुष्कोणों की। इसी तरह सभी समकोणीय घूर्णन एक उपसमूह बनाते हैं S³_R SO(4) का समरूपी S³. दोनों S³_L और S³_R SO(4) के अधिकतम उपसमूह हैं।

प्रत्येक बाएँ-समनतिक घुमाव क्रमविनिमेय प्रत्येक दाएँ-समनतिक घूर्णन के साथ। इसका तात्पर्य है कि समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद है S³_L × S³_R सामान्य उपसमूह ों के साथ S³_L और S³_R; दोनों संबंधित कारक समूह प्रत्यक्ष उत्पाद के अन्य कारक के लिए आइसोमोर्फिक हैं, यानी आइसोमोर्फिक टू S³. (यह SO(4) या इसका उपसमूह नहीं है, क्योंकि S³_L और S³_R असंबद्ध नहीं हैं: पहचान I और केंद्रीय उलटा −I प्रत्येक दोनों का है S³_L और S³_R.)

प्रत्येक 4D रोटेशन A दो प्रकार से बाएँ और दाएँ समनतिक घुमावों का गुणनफल है A_L और A_R. A_L और A_R एक साथ केंद्रीय व्युत्क्रम तक निर्धारित होते हैं, अर्थात जब दोनों A_L और A_R उनके उत्पाद के केंद्रीय व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है A फिर।

यह बताता है कि S³_L × S³_R SO(4) का सार्वभौमिक आवरण समूह है - इसका अद्वितीय दोहरा आवरण समूह - और वह S³_L और S³_R SO(4) के सामान्य उपसमूह हैं। पहचान रोटेशन I और केंद्रीय उलटा −I एक समूह बनाओ C₂ क्रम 2 का, जो SO(4) और दोनों के समूह का केंद्र है S³_L और S³_R. किसी समूह का केंद्र उस समूह का एक सामान्य उपसमूह होता है। C का कारक समूह₂ SO(4) में SO(3) × SO(3) के लिए आइसोमॉर्फिक है। के कारक समूह S^{3</उप>_L सी द्वारा₂ और का S3</उप>_R सी द्वारा₂ SO(3) के लिए प्रत्येक तुल्याकारी हैं। इसी प्रकार, SO(4) के कारक समूह द्वारा S3</उप>_L और SO(4) द्वारा S3</उप>_R SO(3) के लिए प्रत्येक तुल्याकारी हैं।}

SO(4) की सांस्थिति वही है जो लाइ समूह की है SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2), अर्थात् अंतरिक्ष $\mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}$ कहां $\mathbb {P} ^{3}$ आयाम 3 और का वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान है $\mathbb {S} ^{3}$ 3-क्षेत्र है। हालांकि, यह उल्लेखनीय है कि, एक झूठ समूह के रूप में, SO(4) झूठ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है, और इसलिए यह समरूप नहीं है SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2).

सामान्य रूप से रोटेशन समूहों के बीच SO(4) की विशेष संपत्ति

विषम-आयामी रोटेशन समूहों में केंद्रीय उलटा नहीं होता है और सरल समूह होते हैं।

सम-आयामी रोटेशन समूहों में केंद्रीय उलटा होता है −I और समूह है C₂ = {I, −I} एक समूह के उनके केंद्र के रूप में। यहां तक ​​कि n ≥ 6 के लिए, SO(n) लगभग सरल है क्योंकि कारक समूह SO(n)/C₂ इसके केंद्र द्वारा SO(n) का एक साधारण समूह है।

SO(4) अलग है: SO(4) के किसी भी तत्व द्वारा यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्री का कोई संयुग्मन नहीं है जो बाएं और दाएं-आइसोक्लिनिक घुमाव को एक दूसरे में बदल देता है। परावर्तन (गणित) संयुग्मन द्वारा एक बाएं-आइसोक्लिनिक घुमाव को दाएं-आइसोक्लिनिक में बदल देता है, और इसके विपरीत। इसका तात्पर्य है कि निश्चित बिंदु वाले सभी आइसोमेट्री के समूह ओ (4) के तहत O अलग उपसमूह S³_L और S³_R एक दूसरे के संयुग्मी हैं, और इसलिए ओ (4) के सामान्य उपसमूह नहीं हो सकते। 5D रोटेशन समूह SO(5) और सभी उच्च रोटेशन समूहों में उपसमूह आइसोमॉर्फिक से O(4) होते हैं। एसओ (4) की तरह, सभी समान-आयामी रोटेशन समूहों में आइसोक्लिनिक रोटेशन होते हैं। लेकिन एसओ (4) के विपरीत, एसओ (6) और सभी उच्च सम-आयामी रोटेशन समूहों में एक ही कोण के माध्यम से किसी भी दो आइसोक्लिनिक रोटेशन संयुग्मित होते हैं। सभी आइसोक्लिनिक घुमावों का सेट SO (2) का एक उपसमूह भी नहीं हैN), अकेले एक सामान्य उपसमूह दें।

4D घुमावों का बीजगणित

एसओ (4) को आमतौर पर अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) के समूह के साथ पहचाना जाता है - वास्तविक संख्या ओं पर आंतरिक उत्पाद के साथ 4 डी सदिश स्थल के आइसोमेट्री रैखिक मैपिंग को संरक्षित करना।

ऐसी जगह SO(4) में ऑर्थोनॉर्मल आधार (रैखिक बीजगणित) के संबंध में निर्धारक +1 के साथ वास्तविक 4-क्रम ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समूह के रूप में दर्शाया गया है।

आइसोक्लिनिक अपघटन

इसके मैट्रिक्स द्वारा दिया गया एक 4D रोटेशन एक बाएं-आइसोक्लिनिक और एक राइट-आइसोक्लिनिक रोटेशन में विघटित होता है निम्नलिखित नुसार:

होने देना

$A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}$

मनमाने ढंग से ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में इसका मैट्रिक्स बनें।

इससे तथाकथित सहयोगी मैट्रिक्स की गणना करें

$M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}$

M रैंक (रैखिक बीजगणित) एक है और यूनिट यूक्लिडियन मानदंड का 16 डी वेक्टर के रूप में है अगर और केवल अगर A वास्तव में एक 4D रोटेशन मैट्रिक्स है। इस मामले में वास्तविक संख्याएं मौजूद हैं a, b, c, d और p, q, r, s ऐसा है कि

$M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}$

और

$(ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.$

के ठीक दो सेट हैं a, b, c, d और p, q, r, s ऐसा है कि a² + b² + c² + d² = 1 और p² + q² + r² + s² = 1. वे एक दूसरे के विपरीत हैं।

रोटेशन मैट्रिक्स तब बराबर होता है

यह सूत्र वान एल्फ्रिनखोफ (1897) के कारण है।

इस अपघटन में पहला कारक बाएं-आइसोक्लिनिक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा कारक दाएं-आइसोक्लिनिक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है। कारकों को नकारात्मक चौथे क्रम की पहचान मैट्रिक्स, यानी केंद्रीय उलटा तक निर्धारित किया जाता है।

चतुष्कोणों से संबंध

कार्तीय निर्देशांक के साथ 4-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु (u, x, y, z) चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जा सकता है P = u + xi + yj + zk.

एक बाएं-आइसोकलिनिक घुमाव को एक इकाई चतुष्कोण द्वारा बाएं-गुणन द्वारा दर्शाया जाता है Q_L = a + bi + cj + dk. मैट्रिक्स-वेक्टर भाषा में यह है

${\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

इसी तरह, एक राइट-आइसोक्लिनिक रोटेशन को यूनिट क्वाटरनियन द्वारा राइट-मल्टीप्लिकेशन द्वारा दर्शाया जाता है Q_R = p + qi + rj + sk, जो मैट्रिक्स-वेक्टर रूप में है

${\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.$

पिछले अनुभाग में (#Isoclinic अपघटन) यह दिखाया गया है कि कैसे एक सामान्य 4D रोटेशन बाएं और दाएं-आइसोक्लिनिक कारकों में विभाजित होता है।

Quaternion भाषा में Van Elfrinkhof का सूत्र पढ़ता है

$u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),$

या, प्रतीकात्मक रूप में,

$P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,$

जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन के अनुसार यह सूत्र 1854 में केली को पहले से ही ज्ञात था.

Quaternion गुणन साहचर्य है। इसलिए,

$P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,$

जो दर्शाता है कि बाएँ-समनतिक और दाएँ-समनतिक घुमाव चलते हैं।

4डी रोटेशन मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू

एक 4D रोटेशन मैट्रिक्स के चार eigenvalue s ​​आम तौर पर यूनिट परिमाण के जटिल संख्याओं के दो संयुग्म जोड़े के रूप में होते हैं। यदि एक ईगेनवेल्यू वास्तविक है, तो यह ±1 होना चाहिए, क्योंकि रोटेशन एक सदिश के परिमाण को अपरिवर्तित छोड़ देता है। उस eigenvalue का संयुग्म भी एकता है, जो eigenvectors की एक जोड़ी प्रदान करता है जो एक निश्चित विमान को परिभाषित करता है, और इसलिए रोटेशन सरल है। क्वाटरनियन नोटेशन में, एसओ (4) में एक उचित (यानी, गैर-इनवर्टिंग) रोटेशन एक उचित सरल रोटेशन है अगर और केवल अगर यूनिट क्वाटरनियंस के असली हिस्से Q_L और Q_R परिमाण में समान हैं और समान चिन्ह हैं। यदि वे दोनों शून्य हैं, तो घूर्णन के सभी eigenvalues ​​​​एकता हैं, और घूर्णन अशक्त घुमाव है। अगर के असली हिस्से Q_L और Q_R समान नहीं हैं तो सभी ईगेनवेल्यूज जटिल हैं, और रोटेशन एक दोहरा रोटेशन है।

3डी घूर्णन के लिए यूलर-रोड्रिग्स सूत्र

हमारे साधारण 3डी अंतरिक्ष को समन्वय प्रणाली UXYZ के साथ 4डी अंतरिक्ष के समन्वय प्रणाली 0XYZ के साथ आसानी से उप-स्थान के रूप में माना जाता है। इसके घूर्णन समूह SO(3) की पहचान SO(4) के उपसमूह से की जाती है जिसमें मैट्रिसेस होते हैं

${\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.$

पूर्ववर्ती उपखंड में वान एल्फ्रिन्खोफ के सूत्र में तीन आयामों के लिए यह प्रतिबंध होता है p = a, q = −b, r = −c, s = −d, या चतुष्कोणीय प्रतिनिधित्व में: Q_R = Q_L′ = Q_L⁻¹. 3डी रोटेशन मैट्रिक्स तब 3डी रोटेशन के लिए यूलर-रॉड्रिक्स फॉर्मूला बन जाता है

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},$

जो इसके यूलर-रोड्रिग्स पैरामीटर द्वारा 3डी रोटेशन का प्रतिनिधित्व है: a, b, c, d.

इसी चतुर्धातुक सूत्र P′ = QPQ⁻¹, कहां Q = Q_L, या, विस्तारित रूप में:

$x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)$

विलियम रोवन हैमिल्टन -आर्थर केली सूत्र के रूप में जाना जाता है।

हॉपफ निर्देशांक

हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक के उपयोग से 3डी अंतरिक्ष में घूर्णन को गणितीय रूप से अधिक सुगम बनाया जाता है। 3डी में किसी भी घुमाव को घूर्णन के एक निश्चित अक्ष और उस अक्ष के लम्बवत् एक अपरिवर्तनीय तल द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है। सामान्यता के नुकसान के बिना, हम ले सकते हैं xy-प्लेन इनवेरिएंट प्लेन के रूप में और z-अक्ष स्थिर अक्ष के रूप में। चूंकि रेडियल दूरियां रोटेशन से प्रभावित नहीं होती हैं, हम निश्चित अक्ष और अपरिवर्तनीय विमान को संदर्भित गोलाकार निर्देशांक द्वारा इकाई क्षेत्र (2-गोले) पर इसके प्रभाव से एक रोटेशन को चिह्नित कर सकते हैं:

${\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}$

चूंकि x² + y² + z² = 1, बिंदु 2-गोले पर स्थित हैं। पर एक बिंदु {θ₀, φ₀} एक कोण से घुमाया गया φ बारे में z-अक्ष बस द्वारा निर्दिष्ट किया गया है {θ₀, φ₀ + φ}. जबकि हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक 4D घुमावों से निपटने में भी उपयोगी होते हैं, 4D के लिए और भी अधिक उपयोगी समन्वय प्रणाली 3-क्षेत्र #Hopf निर्देशांक द्वारा प्रदान की जाती है {ξ₁, η, ξ₂}, जो 3-गोले पर स्थिति निर्दिष्ट करने वाले तीन कोणीय निर्देशांक का एक सेट है। उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}$

चूंकि u² + x² + y² + z² = 1, बिंदु 3-गोले पर स्थित हैं।

4डी अंतरिक्ष में, उत्पत्ति के बारे में प्रत्येक घुमाव में दो अपरिवर्तनीय तल होते हैं जो एक दूसरे के लिए पूरी तरह से ऑर्थोगोनल होते हैं और मूल पर प्रतिच्छेद करते हैं, और दो स्वतंत्र कोणों द्वारा घुमाए जाते हैं ξ₁ और ξ₂. व्यापकता के नुकसान के बिना, हम क्रमशः चुन सकते हैं uz- और xy-विमान इन अपरिवर्तनीय विमानों के रूप में। एक बिंदु के 4D में घूर्णन {ξ₁₀, η₀, ξ₂₀} कोणों के माध्यम से ξ₁ और ξ₂ तब बस हॉफ निर्देशांक में व्यक्त किया जाता है {ξ₁₀ + ξ₁, η₀, ξ₂₀ + ξ₂}.

4D घुमावों का दृश्य

क्लिफर्ड टोरस पर एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र:
चित्र 1: सरल घुमाव (काला) और बाएँ और दाएँ आइसोक्लिनिक घुमाव (लाल और नीला)
चित्र 2: 1:5 के अनुपात में कोणीय विस्थापन के साथ एक सामान्य घुमाव
चित्र 3: 5:1 के अनुपात में कोणीय विस्थापन के साथ एक सामान्य घुमाव
सभी छवियां स्टीरियोग्राफिक अनुमान हैं।

3डी अंतरिक्ष में हर घुमाव में रोटेशन द्वारा अपरिवर्तित एक निश्चित अक्ष होता है। रोटेशन की धुरी और उस अक्ष के बारे में रोटेशन के कोण को निर्दिष्ट करके रोटेशन पूरी तरह से निर्दिष्ट किया गया है। व्यापकता के नुकसान के बिना, इस अक्ष को चुना जा सकता है z-एक कार्तीय समन्वय प्रणाली का अक्ष, रोटेशन के एक सरल दृश्य की अनुमति देता है।

3डी अंतरिक्ष में, गोलाकार निर्देशांक {θ, φ} 2-क्षेत्र की पैरामीट्रिक अभिव्यक्ति के रूप में देखा जा सकता है। निश्चित के लिए θ वे 2-गोले पर मंडलियों का वर्णन करते हैं जो लंबवत हैं z-अक्ष और इन वृत्तों को गोले पर एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र के रूप में देखा जा सकता है। एक बिंदु {θ₀, φ₀} गोले पर, के बारे में एक रोटेशन के तहत z-अक्ष, एक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करेगा {θ₀, φ₀ + φ} कोण के रूप में φ भिन्न होता है। प्रक्षेपवक्र को समय में रोटेशन पैरामीट्रिक के रूप में देखा जा सकता है, जहां रोटेशन का कोण समय में रैखिक होता है: φ = ωt, साथ ω कोणीय वेग होना।

3डी मामले के अनुरूप, 4डी अंतरिक्ष में प्रत्येक रोटेशन में कम से कम दो अपरिवर्तनीय धुरी-विमान होते हैं जो रोटेशन द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिए जाते हैं और पूरी तरह से ऑर्थोगोनल होते हैं (यानी वे एक बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं)। रोटेशन पूरी तरह से धुरी विमानों और उनके बारे में रोटेशन के कोणों को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया गया है। व्यापकता के नुकसान के बिना, इन धुरी विमानों को चुना जा सकता है uz- और xy-एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के विमान, रोटेशन के एक सरल दृश्य की अनुमति देते हैं।

4D अंतरिक्ष में, हॉफ कोण {ξ₁, η, ξ₂} 3-गोले को पैरामीटराइज़ करें। निश्चित के लिए η वे द्वारा परिचालित एक टोरस का वर्णन करते हैं ξ₁ और ξ₂, साथ η = π/4 क्लिफर्ड टोरस का विशेष मामला होने के नाते xy- और uz-विमान। ये तोरी 3डी-स्पेस में पाई जाने वाली सामान्य तोरी नहीं हैं। जबकि वे अभी भी 2D सतह हैं, वे 3-गोले में सन्निहित हैं। 3-गोले को पूरे यूक्लिडियन 3डी-स्पेस पर प्रक्षेपित स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन हो सकता है, और इन तोरी को फिर क्रांति की सामान्य टोरी के रूप में देखा जाता है। यह देखा जा सकता है कि एक बिंदु द्वारा निर्दिष्ट {ξ₁₀, η₀, ξ₂₀} के साथ परिक्रमा कर रहा है uz- और xy-प्लेन इनवेरिएंट द्वारा निर्दिष्ट टोरस पर रहेगा η₀. एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र को समय के कार्य के रूप में लिखा जा सकता है {ξ₁₀ + ω₁t, η₀, ξ₂₀ + ω₂t} और इसके संबंधित टोरस पर स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित किया गया है, जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़ों में है। इन आंकड़ों में, प्रारंभिक बिंदु लिया जाता है {0, π/4, 0}, यानी क्लिफर्ड टोरस पर। चित्र 1 में, दो सरल घूर्णन प्रक्षेपवक्र काले रंग में दिखाए गए हैं, जबकि एक बाएँ और दाएँ आइसोक्लिनिक प्रक्षेपवक्र क्रमशः लाल और नीले रंग में दिखाए गए हैं। चित्र 2 में, एक सामान्य घुमाव जिसमें ω₁ = 1 और ω₂ = 5 दिखाया गया है, जबकि चित्र 3 में, एक सामान्य घुमाव जिसमें ω₁ = 5 और ω₂ = 1 दिखाई जा रही है।

4D रोटेशन मेट्रिसेस उत्पन्न करना

रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र और केली सूत्र से चार आयामी घुमाव प्राप्त किए जा सकते हैं। होने देना A एक 4 × 4 तिरछा-सममित मैट्रिक्स बनें। तिरछा-सममित मैट्रिक्स A के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है

$A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}$

दो तिरछा-सममित आव्यूहों में A₁ और A₂ गुणों को संतुष्ट करना A₁A₂ = 0, A₁³ = −A₁ और A₂³ = −A₂, कहां ∓θ₁i और ∓θ₂i के आइगेनवैल्यू हैं A. फिर, तिरछा-सममित आव्यूहों से 4डी घूर्णन आव्यूह प्राप्त किए जा सकते हैं A₁ और A₂ रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र और केली सूत्र द्वारा। होने देना A eigenvalues ​​​​के सेट के साथ एक 4 × 4 गैर-शून्य तिरछा-सममित मैट्रिक्स बनें

$\left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.$

फिर A के रूप में विघटित किया जा सकता है

$A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}$

कहां A₁ और A₂ विषम-सममित आव्यूह हैं जो गुणों को संतुष्ट करते हैं

$A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.$

इसके अलावा, तिरछा-सममित मैट्रिक्स A₁ और A₂ के रूप में विशिष्ट रूप से प्राप्त होते हैं

$A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}$

और

$A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.$

फिर,

$R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}$

में एक रोटेशन मैट्रिक्स है E⁴, जो रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र द्वारा ईगेनवैल्यू के सेट के साथ उत्पन्न होता है

$\left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.$

भी,

$R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}$

में एक रोटेशन मैट्रिक्स है E⁴, जो केली के घूर्णन सूत्र द्वारा उत्पन्न होता है, जैसे कि eigenvalues ​​​​का सेट R है,

$\left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.$

जनरेटिंग रोटेशन मैट्रिक्स को मूल्यों के संबंध में वर्गीकृत किया जा सकता है θ₁ और θ₂ निम्नलिखित नुसार:

1. यदि θ₁ = 0 और θ₂ ≠ 0 या इसके विपरीत, तब सूत्र सरल घुमाव उत्पन्न करते हैं;
2. यदि θ₁ और θ₂ अशून्य हैं और θ₁ ≠ θ₂, तब सूत्र दोहरा घुमाव उत्पन्न करते हैं;
3. यदि θ₁ और θ₂ अशून्य हैं और θ₁ = θ₂, तब सूत्र आइसोक्लिनिक घुमाव उत्पन्न करते हैं।

यह भी देखें

• लाप्लास-रेंज-लेन्ज़ वेक्टर
• लोरेंत्ज़ समूह
• ऑर्थोगोनल समूह
• ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स
• रोटेशन का विमान
• पोंकारे समूह
• चतुर्भुज और स्थानिक रोटेशन

ग्रन्थसूची

• L. van Elfrinkhof: Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Delft, 1897.
• Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Translated by E.R. Hedrick and C.A. Noble. The Macmillan Company, New York, 1932.
• Henry Parker Manning: Geometry of four dimensions. The Macmillan Company, 1914. Republished unaltered and unabridged by Dover Publications in 1954. In this monograph four-dimensional geometry is developed from first principles in a synthetic axiomatic way. Manning's work can be considered as a direct extension of the works of Euclid and Hilbert to four dimensions.
• J. H. Conway and D. A. Smith: On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A. K. Peters, 2003.
• Hathaway, Arthur S. (1902). "Quaternion Space". Transactions of the American Mathematical Society. 3 (1): 46–59. doi:10.1090/S0002-9947-1902-1500586-2. JSTOR 1986315.
• Johan Ernest Mebius (2005). "A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations". arXiv:math/0501249.
• Johan Ernest Mebius (2007). "Derivation of the Euler-Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations". arXiv:math/0701759.
• P.H.Schoute: Mehrdimensionale Geometrie. Leipzig: G.J.Göschensche Verlagshandlung. Volume 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die linearen Räume, 1902. Volume 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
• Stringham, Irving (1901). "On the geometry of planes in a parabolic space of four dimensions". Transactions of the American Mathematical Society. 2 (2): 183–214. doi:10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2. JSTOR 1986218.
• Erdoğdu, Melek; Özdemi̇r, Mustafa (2020). "Simple, Double and Isoclinic Rotations with Applications". Mathematical Sciences and Applications E-Notes. doi:10.36753/mathenot.642208.
• Mortari, Daniele (July 2001). "On the Rigid Rotation Concept in n-Dimensional Spaces" (PDF). Journal of the Astronautical Sciences. 49 (3): 401–420. Bibcode:2001JAnSc..49..401M. doi:10.1007/BF03546230. S2CID 16952309. Archived from the original (PDF) on 17 February 2019.
• Kim, Heuna; Rote, G. (2016). "Congruence Testing of Point Sets in 4 Dimensions". arXiv:1603.07269 [cs.CG].
• Zamboj, Michal (8 January 2021). "Synthetic construction of the Hopf fibration in a double orthogonal projection of 4-space". Journal of Computational Design and Engineering. 8 (3): 836–854. arXiv:2003.09236. doi:10.1093/jcde/qwab018.