चतुर्विम यूक्लिडीन समष्टि में घूर्णन

गणित में, चार-आयामी यूक्लिडीय स्थल में एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूर्णन के समूह (गणित) को SO(4) द्वारा निरूपित किया जाता है। नाम इस तथ्य से आता है कि यह क्रम 4 का विशेष आयतीय समूह है।

इस लेख में घूर्णन (गणित) का अर्थ है घूर्णी विस्थापन। विशिष्टता के लिए, घूर्णन कोणों को खंड [0, π] में माना जाता है सिवाय जहां उल्लेख किया गया हो या अन्यथा संदर्भ द्वारा स्पष्ट रूप से निहित हो।

स्थिर तल वह तल होता है जिसके लिए तल का प्रत्येक सदिश घूर्णन के बाद अपरिवर्तित रहता है। एक अपरिवर्तनीय तल एक तल है जिसके लिए तल में प्रत्येक सदिश घूर्णन के बाद तल में रहता है, हालांकि यह घूर्णन से प्रभावित हो सकता है।

4D घुमावों की ज्यामिति

चार आयामी घुमाव दो प्रकार के होते हैं: साधारण घुमाव और दोहरा घुमाव।

साधारण घुमाव

एक घूर्णन केंद्र O के चारों ओर एक साधारण घुमाव R एक पूरे तल A को O (अक्ष-तल) के माध्यम से तय करता है। प्रत्येक तल B जो पूरी तरह से आयतीय है [a] A को एक निश्चित बिंदु P पर काटता है। ऐसा प्रत्येक बिंदु P, B में R द्वारा प्रेरित 2D घुमाव का केंद्र है। इन सभी 2D घुमावों का घूर्णन कोण α समान है।

अक्ष-तल A में O से अर्ध-रेखाएँ विस्थापित नहीं होती हैं; O आयतीय से A तक की आधी-रेखाएँ α के माध्यम से विस्थापित होती हैं; अन्य सभी अर्ध-रेखाएँ α से कम कोण के माध्यम से विस्थापित होती हैं.

युग्म घूर्णन

Tesseract , त्रिविम प्रक्षेपण में, युग्म घूर्णन में

प्रत्येक घूर्णन के लिए R 4-स्थल (उत्पत्ति को ठीक करना) में, अचर 2-प्लेन की कम से कम एक जोड़ी है A और B जिनमें से प्रत्येक अपरिवर्तनीय है और जिसका प्रत्यक्ष योग A ⊕ B सभी 4-स्थलीय है। अतः इनमें से किसी भी तल R पर काम करने से उस तल का एक सामान्य घुमाव पैदा होता है। लगभग सभी R (3-आयामी सबसेट को छोड़कर घूर्णन के सभी 6-आयामी सम्मुच्चय) के लिए, घूर्णन कोण α तल में A और β तल में B - दोनों को अशून्य माना जाता है - अलग हैं। असमान घूर्णन कोण α और β संतुष्टि देने वाला −π < α, β < π लगभग R के द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया है। यह मानते हुए कि 4-स्थल उन्मुख है, फिर 2-तलों A और B का झुकाव इस अभिविन्यास के अनुरूप दो तरह से चुना जा सकता है। यदि घूर्णन कोण असमान (α ≠ β) हैं, R कभी-कभी युग्म घूर्णन कहा जाता है।

युग्म घूर्णन की उस स्थिति में, A और B अपरिवर्तनीय तलों की एकमात्र जोड़ी है, और मूल से आधी-रेखाएँ α और β क्रमशः हैं A, B माध्यम से विस्थापित होते हैं , और मूल से आधी-रेखाएँ जो A या B में नहीं हैं, उन्हें α और β के बीच के कोणों से विस्थापित किया जाता है.

समनमनी घुमाव

यदि एक दोहरे घुमाव के घूर्णन कोण बराबर हैं, तो केवल दो के स्थान पर असीम रूप से कई अपरिवर्तनीय (गणित) तल हैं, और सभी अर्ध-रेखाएँ O उसी कोण से विस्थापित होते हैं। इस तरह के घुमावों को समनमनी या समकोणीय घुमाव या क्लिफर्ड विस्थापन कहा जाता है। सावधान रहें कि सभी तलों के माध्यम से नहीं O समनमनी घुमावों के तहत अपरिवर्तनीय हैं; केवल वे समतल जो एक अर्ध-रेखा द्वारा फैलाए जाते हैं और संबंधित विस्थापित अर्ध-रेखा अपरिवर्तनीय होते हैं।

इसे देखने के लिए, एक समनमनी घूर्णन आर पर विचार करें, और OU, OX, OY, OZ पर पारस्परिक रूप से लंबवत अर्ध-रेखाओं के एक अभिविन्यास-संगत आदेशित सम्मुच्चय लें (OUXYZ के रूप में चिह्नित) जैसे कि OU और OX एक अपरिवर्तनीय तल फैलाते हैं, और इसलिए OA और OZ भी एक अपरिवर्तनीय तल का विस्तार करते हैं। अब मान लें कि केवल घूर्णन कोण α निर्दिष्ट है। फिर OUX और OYZ में घूर्णन इंद्रियों के आधार पर घूर्णन कोण α के साथ विमानों OUX और OYZ में सामान्य रूप से चार समनमनी घुमाव होते हैं।.

हम करार बनाते हैं कि OU से OX तक और OY से OZ तक घूर्णन इंद्रिय को सकारात्मक माना जाता है। फिर हमारे पास चार घुमाव R1 = (+α, +α), R2 = (−α, −α), R3 = (+α, −α) और R4 = (−α, +α) हैं। R1 और R2 एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं; इसी प्रकार R3 और R4 एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। जब तक α 0 और π के बीच होता है, तब तक ये चार घुमाव अलग-अलग होंगे।

समान चिह्नों वाले समनतिक घुमावों को बाएँ-समनत वक्र के रूप में निरूपित किया जाता है; जिनके विपरीत चिन्ह यथार्थ-समनमनी हैं। बाएँ- और दाएँ-समनमनी घुमावों को क्रमशः बाएँ और दाएँ-गुणन द्वारा इकाई चतुष्कोणों द्वारा दर्शाया जाता है; नीचे चतुष्कोणों से संबंधित अनुच्छेद देखें।

सिवाय इसके कि चार घुमाव जोड़ीदार अलग-अलग हैं α = 0 या α = π. कोण α = 0 अस्मिता घूर्णन से मेल खाती है; α = π अस्मिता आव्यूह के ऋणात्मक द्वारा दिए गए एक बिंदु में व्युत्क्रम से मेल खाती है। SO(4) के ये दो तत्व ही ऐसे हैं जो एक साथ बाएं और दाएं-समनमनी हैं।

उपरोक्त के रूप में परिभाषित बाएं और दाएं-समनमनी इस बात पर निर्भर करता है कि किस विशिष्ट समनमनी घूर्णन का चयन किया गया था।हालांकि, जब अन्य समनमनी घूर्णन R' अपने स्वयं के अक्षों OU', OX', OY', OZ' के साथ चुना जाता है, तो कोई हमेशा U', X', Y', Z' का क्रम चुन सकता है जैसे OUXYZ हो सकता है एक घूर्णन-परावर्तन के स्थान पर एक घूर्णन द्वारा OU′X′Y′Z′ में परिवर्तित (अर्थात, आदेशित आधार OU′, OX′, OY′, OZ′ भी अभिविन्यास के समान निश्चित विकल्प के अनुरूप है O, X, OY, OZ के रूप में)। इसलिए, एक बार एक अभिविन्यास (अर्थात, अक्षों की एक प्रणाली OUXYZ जिसे सार्वभौमिक रूप से दाएं हाथ के रूप में चिह्नित किया जाता है) का चयन किया जाता है, एक विशिष्ट समनमनी घूर्णन के बाएं या दाएं चरित्र को निर्धारित कर सकता है।

SO(4) की समूह संरचना

O(4) एक गैर-अनुक्रमणीय कॉम्पैक्ट जगह 6-डाइमेंशन#मैनिफ़ोल्ड्स झूठ समूह है।

घूर्णन केंद्र के माध्यम से प्रत्येक तल O SO(2) के क्रमविनिमेय उपसमूह समरूप ी का अक्ष-तल है। ये सभी उपसमूह SO(4) में यूक्लिडीय स्थल में आइसोमेट्रीज़ के परस्पर संयुग्मन हैं।

पूरी तरह से आयतीयिटी तलों की प्रत्येक जोड़ी के माध्यम से O एसओ (4) आइसोमोर्फिक के एक कम्यूटेटिव उपसमूह के अपरिवर्तनीय (गणित) तलों की जोड़ी है SO(2) × SO(2).

ये समूह SO(4) के अधिकतम टोरस हैं, जो सभी SO(4) में परस्पर संयुग्मी हैं। क्लिफोर्ड टोरस भी देखें।

सभी बाएं-समनमनीिक घुमाव एक गैर-अनुवर्ती उपसमूह बनाते हैं S³_L SO(4) का, जो गुणक समूह के लिए तुल्याकारी है S³ इकाई चतुष्कोणों की। इसी तरह सभी समकोणीय घूर्णन एक उपसमूह बनाते हैं S³_R SO(4) का समरूपी S³. दोनों S³_L और S³_R SO(4) के अधिकतम उपसमूह हैं।

प्रत्येक बाएँ-समनतिक घुमाव क्रमविनिमेय प्रत्येक दाएँ-समनतिक घूर्णन के साथ। इसका तात्पर्य है कि समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद है S³_L × S³_R सामान्य उपसमूह ों के साथ S³_L और S³_R; दोनों संबंधित कारक समूह प्रत्यक्ष उत्पाद के अन्य कारक के लिए आइसोमोर्फिक हैं, यानी आइसोमोर्फिक टू S³. (यह SO(4) या इसका उपसमूह नहीं है, क्योंकि S³_L और S³_R असंबद्ध नहीं हैं: पहचान I और केंद्रीय उलटा −I प्रत्येक दोनों का है S³_L और S³_R.)

प्रत्येक 4D घूर्णन A दो प्रकार से बाएँ और दाएँ समनतिक घुमावों का गुणनफल है A_L और A_R. A_L और A_R एक साथ केंद्रीय व्युत्क्रम तक निर्धारित होते हैं, अर्थात जब दोनों A_L और A_R उनके उत्पाद के केंद्रीय व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है A फिर।

यह बताता है कि S³_L × S³_R SO(4) का सार्वभौमिक आवरण समूह है - इसका अद्वितीय दोहरा आवरण समूह - और वह S³_L और S³_R SO(4) के सामान्य उपसमूह हैं। पहचान घूर्णन I और केंद्रीय उलटा −I एक समूह बनाओ C₂ क्रम 2 का, जो SO(4) और दोनों के समूह का केंद्र है S³_L और S³_R. किसी समूह का केंद्र उस समूह का एक सामान्य उपसमूह होता है। C का कारक समूह₂ SO(4) में SO(3) × SO(3) के लिए आइसोमॉर्फिक है। के कारक समूह S^{3</उप>_L सी द्वारा₂ और का S3</उप>_R सी द्वारा₂ SO(3) के लिए प्रत्येक तुल्याकारी हैं। इसी प्रकार, SO(4) के कारक समूह द्वारा S3</उप>_L और SO(4) द्वारा S3</उप>_R SO(3) के लिए प्रत्येक तुल्याकारी हैं।}

SO(4) की सांस्थिति वही है जो लाइ समूह की है SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2), अर्थात् स्थल $\mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}$ कहां $\mathbb {P} ^{3}$ आयाम 3 और का वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान है $\mathbb {S} ^{3}$ 3-क्षेत्र है। हालांकि, यह उल्लेखनीय है कि, एक झूठ समूह के रूप में, SO(4) झूठ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है, और इसलिए यह समरूप नहीं है SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2).

सामान्य रूप से घूर्णन समूहों के बीच SO(4) की विशेष संपत्ति

विषम-आयामी घूर्णन समूहों में केंद्रीय उलटा नहीं होता है और सरल समूह होते हैं।

सम-आयामी घूर्णन समूहों में केंद्रीय उलटा होता है −I और समूह है C₂ = {I, −I} एक समूह के उनके केंद्र के रूप में। यहां तक ​​कि n ≥ 6 के लिए, SO(n) लगभग सरल है क्योंकि कारक समूह SO(n)/C₂ इसके केंद्र द्वारा SO(n) का एक साधारण समूह है।

SO(4) अलग है: SO(4) के किसी भी तत्व द्वारा यूक्लिडीय स्थल में आइसोमेट्री का कोई संयुग्मन नहीं है जो बाएं और दाएं-समनमनी घुमाव को एक दूसरे में बदल देता है। परावर्तन (गणित) संयुग्मन द्वारा एक बाएं-समनमनी घुमाव को दाएं-समनमनी में बदल देता है, और इसके विपरीत। इसका तात्पर्य है कि निश्चित बिंदु वाले सभी आइसोमेट्री के समूह ओ (4) के तहत O अलग उपसमूह S³_L और S³_R एक दूसरे के संयुग्मी हैं, और इसलिए ओ (4) के सामान्य उपसमूह नहीं हो सकते। 5D घूर्णन समूह SO(5) और सभी उच्च घूर्णन समूहों में उपसमूह आइसोमॉर्फिक से O(4) होते हैं। एसओ (4) की तरह, सभी समान-आयामी घूर्णन समूहों में समनमनी घूर्णन होते हैं। लेकिन एसओ (4) के विपरीत, एसओ (6) और सभी उच्च सम-आयामी घूर्णन समूहों में एक ही कोण के माध्यम से किसी भी दो समनमनी घूर्णन संयुग्मित होते हैं। सभी समनमनी घुमावों का सेट SO (2) का एक उपसमूह भी नहीं हैN), अकेले एक सामान्य उपसमूह दें।

4D घुमावों का बीजगणित

एसओ (4) को आमतौर पर अभिविन्यास (सदिश स्थान) के समूह के साथ पहचाना जाता है - वास्तविक संख्या ओं पर आंतरिक उत्पाद के साथ 4 डी सदिश स्थल के आइसोमेट्री रैखिक मैपिंग को संरक्षित करना।

ऐसी जगह SO(4) में ऑर्थोनॉर्मल आधार (रैखिक बीजगणित) के संबंध में निर्धारक +1 के साथ वास्तविक 4-क्रम आयतीय मैट्रिक्स के समूह के रूप में दर्शाया गया है।

समनमनी अपघटन

इसके मैट्रिक्स द्वारा दिया गया एक 4D घूर्णन एक बाएं-समनमनी और एक राइट-समनमनी घूर्णन में विघटित होता है निम्नलिखित नुसार:

होने देना

$A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}$

मनमाने ढंग से ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में इसका मैट्रिक्स बनें।

इससे तथाकथित सहयोगी मैट्रिक्स की गणना करें

$M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}$

M रैंक (रैखिक बीजगणित) एक है और यूनिट यूक्लिडीय मानदंड का 16 डी सदिश के रूप में है अगर और केवल अगर A वास्तव में एक 4D घूर्णन मैट्रिक्स है। इस मामले में वास्तविक संख्याएं मौजूद हैं a, b, c, d और p, q, r, s ऐसा है कि

$M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}$

और

$(ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.$

के ठीक दो सेट हैं a, b, c, d और p, q, r, s ऐसा है कि a² + b² + c² + d² = 1 और p² + q² + r² + s² = 1. वे एक दूसरे के विपरीत हैं।

घूर्णन मैट्रिक्स तब बराबर होता है

यह सूत्र वान एल्फ्रिनखोफ (1897) के कारण है।

इस अपघटन में पहला कारक बाएं-समनमनी घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा कारक दाएं-समनमनी घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। कारकों को नकारात्मक चौथे क्रम की पहचान मैट्रिक्स, यानी केंद्रीय उलटा तक निर्धारित किया जाता है।

चतुष्कोणों से संबंध

कार्तीय निर्देशांक के साथ 4-आयामी स्थल में एक बिंदु (u, x, y, z) चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जा सकता है P = u + xi + yj + zk.

एक बाएं-समनमनीिक घुमाव को एक इकाई चतुष्कोण द्वारा बाएं-गुणन द्वारा दर्शाया जाता है Q_L = a + bi + cj + dk. मैट्रिक्स-सदिश भाषा में यह है

${\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

इसी तरह, एक राइट-समनमनी घूर्णन को यूनिट क्वाटरनियन द्वारा राइट-मल्टीप्लिकेशन द्वारा दर्शाया जाता है Q_R = p + qi + rj + sk, जो मैट्रिक्स-सदिश रूप में है

${\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.$

पिछले अनुभाग में (#Isoclinic अपघटन) यह दिखाया गया है कि कैसे एक सामान्य 4D घूर्णन बाएं और दाएं-समनमनी कारकों में विभाजित होता है।

Quaternion भाषा में Van Elfrinkhof का सूत्र पढ़ता है

$u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),$

या, प्रतीकात्मक रूप में,

$P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,$

जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन के अनुसार यह सूत्र 1854 में केली को पहले से ही ज्ञात था.

Quaternion गुणन साहचर्य है। इसलिए,

$P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,$

जो दर्शाता है कि बाएँ-समनतिक और दाएँ-समनतिक घुमाव चलते हैं।

4डी घूर्णन मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू

एक 4D घूर्णन मैट्रिक्स के चार eigenvalue s ​​आम तौर पर यूनिट परिमाण के जटिल संख्याओं के दो संयुग्म जोड़े के रूप में होते हैं। यदि एक ईगेनवेल्यू वास्तविक है, तो यह ±1 होना चाहिए, क्योंकि घूर्णन एक सदिश के परिमाण को अपरिवर्तित छोड़ देता है। उस eigenvalue का संयुग्म भी एकता है, जो eigenvectors की एक जोड़ी प्रदान करता है जो एक निश्चित तल को परिभाषित करता है, और इसलिए घूर्णन सरल है। क्वाटरनियन नोटेशन में, एसओ (4) में एक उचित (यानी, गैर-इनवर्टिंग) घूर्णन एक उचित सरल घूर्णन है अगर और केवल अगर यूनिट क्वाटरनियंस के असली हिस्से Q_L और Q_R परिमाण में समान हैं और समान चिन्ह हैं। यदि वे दोनों शून्य हैं, तो घूर्णन के सभी eigenvalues ​​​​एकता हैं, और घूर्णन अशक्त घुमाव है। अगर के असली हिस्से Q_L और Q_R समान नहीं हैं तो सभी ईगेनवेल्यूज जटिल हैं, और घूर्णन एक दोहरा घूर्णन है।

3डी घूर्णन के लिए यूलर-रोड्रिग्स सूत्र

हमारे साधारण 3डी स्थल को समन्वय प्रणाली UXYZ के साथ 4डी स्थल के समन्वय प्रणाली 0XYZ के साथ आसानी से उप-स्थान के रूप में माना जाता है। इसके घूर्णन समूह SO(3) की पहचान SO(4) के उपसमूह से की जाती है जिसमें मैट्रिसेस होते हैं

${\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.$

पूर्ववर्ती उपखंड में वान एल्फ्रिन्खोफ के सूत्र में तीन आयामों के लिए यह प्रतिबंध होता है p = a, q = −b, r = −c, s = −d, या चतुष्कोणीय प्रतिनिधित्व में: Q_R = Q_L′ = Q_L⁻¹. 3डी घूर्णन मैट्रिक्स तब 3डी घूर्णन के लिए यूलर-रॉड्रिक्स फॉर्मूला बन जाता है

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},$

जो इसके यूलर-रोड्रिग्स पैरामीटर द्वारा 3डी घूर्णन का प्रतिनिधित्व है: a, b, c, d.

इसी चतुर्धातुक सूत्र P′ = QPQ⁻¹, कहां Q = Q_L, या, विस्तारित रूप में:

$x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)$

विलियम रोवन हैमिल्टन -आर्थर केली सूत्र के रूप में जाना जाता है।

हॉपफ निर्देशांक

हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक के उपयोग से 3डी स्थल में घूर्णन को गणितीय रूप से अधिक सुगम बनाया जाता है। 3डी में किसी भी घुमाव को घूर्णन के एक निश्चित अक्ष और उस अक्ष के लम्बवत् एक अपरिवर्तनीय तल द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है। सामान्यता के नुकसान के बिना, हम ले सकते हैं xy-प्लेन इनवेरिएंट प्लेन के रूप में और z-अक्ष स्थिर अक्ष के रूप में। चूंकि रेडियल दूरियां घूर्णन से प्रभावित नहीं होती हैं, हम निश्चित अक्ष और अपरिवर्तनीय तल को संदर्भित गोलाकार निर्देशांक द्वारा इकाई क्षेत्र (2-गोले) पर इसके प्रभाव से एक घूर्णन को चिह्नित कर सकते हैं:

${\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}$

चूंकि x² + y² + z² = 1, बिंदु 2-गोले पर स्थित हैं। पर एक बिंदु {θ₀, φ₀} एक कोण से घुमाया गया φ बारे में z-अक्ष बस द्वारा निर्दिष्ट किया गया है {θ₀, φ₀ + φ}. जबकि हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक 4D घुमावों से निपटने में भी उपयोगी होते हैं, 4D के लिए और भी अधिक उपयोगी समन्वय प्रणाली 3-क्षेत्र #Hopf निर्देशांक द्वारा प्रदान की जाती है {ξ₁, η, ξ₂}, जो 3-गोले पर स्थिति निर्दिष्ट करने वाले तीन कोणीय निर्देशांक का एक सेट है। उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}$

चूंकि u² + x² + y² + z² = 1, बिंदु 3-गोले पर स्थित हैं।

4डी स्थल में, उत्पत्ति के बारे में प्रत्येक घुमाव में दो अपरिवर्तनीय तल होते हैं जो एक दूसरे के लिए पूरी तरह से आयतीय होते हैं और मूल पर प्रतिच्छेद करते हैं, और दो स्वतंत्र कोणों द्वारा घुमाए जाते हैं ξ₁ और ξ₂. व्यापकता के नुकसान के बिना, हम क्रमशः चुन सकते हैं uz- और xy-तल इन अपरिवर्तनीय तलों के रूप में। एक बिंदु के 4D में घूर्णन {ξ₁₀, η₀, ξ₂₀} कोणों के माध्यम से ξ₁ और ξ₂ तब बस हॉफ निर्देशांक में व्यक्त किया जाता है {ξ₁₀ + ξ₁, η₀, ξ₂₀ + ξ₂}.

4D घुमावों का दृश्य

क्लिफर्ड टोरस पर एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र:
चित्र 1: सरल घुमाव (काला) और बाएँ और दाएँ समनमनी घुमाव (लाल और नीला)
चित्र 2: 1:5 के अनुपात में कोणीय विस्थापन के साथ एक सामान्य घुमाव
चित्र 3: 5:1 के अनुपात में कोणीय विस्थापन के साथ एक सामान्य घुमाव
सभी छवियां स्टीरियोग्राफिक अनुमान हैं।

3डी स्थल में हर घुमाव में घूर्णन द्वारा अपरिवर्तित एक निश्चित अक्ष होता है। घूर्णन की धुरी और उस अक्ष के बारे में घूर्णन के कोण को निर्दिष्ट करके घूर्णन पूरी तरह से निर्दिष्ट किया गया है। व्यापकता के नुकसान के बिना, इस अक्ष को चुना जा सकता है z-एक कार्तीय समन्वय प्रणाली का अक्ष, घूर्णन के एक सरल दृश्य की अनुमति देता है।

3डी स्थल में, गोलाकार निर्देशांक {θ, φ} 2-क्षेत्र की पैरामीट्रिक अभिव्यक्ति के रूप में देखा जा सकता है। निश्चित के लिए θ वे 2-गोले पर मंडलियों का वर्णन करते हैं जो लंबवत हैं z-अक्ष और इन वृत्तों को गोले पर एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र के रूप में देखा जा सकता है। एक बिंदु {θ₀, φ₀} गोले पर, के बारे में एक घूर्णन के तहत z-अक्ष, एक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करेगा {θ₀, φ₀ + φ} कोण के रूप में φ भिन्न होता है। प्रक्षेपवक्र को समय में घूर्णन पैरामीट्रिक के रूप में देखा जा सकता है, जहां घूर्णन का कोण समय में रैखिक होता है: φ = ωt, साथ ω कोणीय वेग होना।

3डी मामले के अनुरूप, 4डी स्थल में प्रत्येक घूर्णन में कम से कम दो अपरिवर्तनीय धुरी-तल होते हैं जो घूर्णन द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिए जाते हैं और पूरी तरह से आयतीय होते हैं (यानी वे एक बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं)। घूर्णन पूरी तरह से धुरी तलों और उनके बारे में घूर्णन के कोणों को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया गया है। व्यापकता के नुकसान के बिना, इन धुरी तलों को चुना जा सकता है uz- और xy-एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के तल, घूर्णन के एक सरल दृश्य की अनुमति देते हैं।

4D स्थल में, हॉफ कोण {ξ₁, η, ξ₂} 3-गोले को पैरामीटराइज़ करें। निश्चित के लिए η वे द्वारा परिचालित एक टोरस का वर्णन करते हैं ξ₁ और ξ₂, साथ η = π/4 क्लिफर्ड टोरस का विशेष मामला होने के नाते xy- और uz-तल। ये तोरी 3डी-स्पेस में पाई जाने वाली सामान्य तोरी नहीं हैं। जबकि वे अभी भी 2D सतह हैं, वे 3-गोले में सन्निहित हैं। 3-गोले को पूरे यूक्लिडीय 3डी-स्पेस पर प्रक्षेपित स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन हो सकता है, और इन तोरी को फिर क्रांति की सामान्य टोरी के रूप में देखा जाता है। यह देखा जा सकता है कि एक बिंदु द्वारा निर्दिष्ट {ξ₁₀, η₀, ξ₂₀} के साथ परिक्रमा कर रहा है uz- और xy-प्लेन इनवेरिएंट द्वारा निर्दिष्ट टोरस पर रहेगा η₀. एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र को समय के कार्य के रूप में लिखा जा सकता है {ξ₁₀ + ω₁t, η₀, ξ₂₀ + ω₂t} और इसके संबंधित टोरस पर स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित किया गया है, जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़ों में है। इन आंकड़ों में, प्रारंभिक बिंदु लिया जाता है {0, π/4, 0}, यानी क्लिफर्ड टोरस पर। चित्र 1 में, दो सरल घूर्णन प्रक्षेपवक्र काले रंग में दिखाए गए हैं, जबकि एक बाएँ और दाएँ समनमनी प्रक्षेपवक्र क्रमशः लाल और नीले रंग में दिखाए गए हैं। चित्र 2 में, एक सामान्य घुमाव जिसमें ω₁ = 1 और ω₂ = 5 दिखाया गया है, जबकि चित्र 3 में, एक सामान्य घुमाव जिसमें ω₁ = 5 और ω₂ = 1 दिखाई जा रही है।

4D घूर्णन मेट्रिसेस उत्पन्न करना

रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र और केली सूत्र से चार आयामी घुमाव प्राप्त किए जा सकते हैं। होने देना A एक 4 × 4 तिरछा-सममित मैट्रिक्स बनें। तिरछा-सममित मैट्रिक्स A के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है

$A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}$

दो तिरछा-सममित आव्यूहों में A₁ और A₂ गुणों को संतुष्ट करना A₁A₂ = 0, A₁³ = −A₁ और A₂³ = −A₂, कहां ∓θ₁i और ∓θ₂i के आइगेनवैल्यू हैं A. फिर, तिरछा-सममित आव्यूहों से 4डी घूर्णन आव्यूह प्राप्त किए जा सकते हैं A₁ और A₂ रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र और केली सूत्र द्वारा। होने देना A eigenvalues ​​​​के सेट के साथ एक 4 × 4 गैर-शून्य तिरछा-सममित मैट्रिक्स बनें

$\left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.$

फिर A के रूप में विघटित किया जा सकता है

$A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}$

कहां A₁ और A₂ विषम-सममित आव्यूह हैं जो गुणों को संतुष्ट करते हैं

$A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.$

इसके अलावा, तिरछा-सममित मैट्रिक्स A₁ और A₂ के रूप में विशिष्ट रूप से प्राप्त होते हैं

$A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}$

और

$A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.$

फिर,

$R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}$

में एक घूर्णन मैट्रिक्स है E⁴, जो रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र द्वारा ईगेनवैल्यू के सेट के साथ उत्पन्न होता है

$\left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.$

भी,

$R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}$

में एक घूर्णन मैट्रिक्स है E⁴, जो केली के घूर्णन सूत्र द्वारा उत्पन्न होता है, जैसे कि eigenvalues ​​​​का सेट R है,

$\left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.$

जनरेटिंग घूर्णन मैट्रिक्स को मूल्यों के संबंध में वर्गीकृत किया जा सकता है θ₁ और θ₂ निम्नलिखित नुसार:

1. यदि θ₁ = 0 और θ₂ ≠ 0 या इसके विपरीत, तब सूत्र सरल घुमाव उत्पन्न करते हैं;
2. यदि θ₁ और θ₂ अशून्य हैं और θ₁ ≠ θ₂, तब सूत्र दोहरा घुमाव उत्पन्न करते हैं;
3. यदि θ₁ और θ₂ अशून्य हैं और θ₁ = θ₂, तब सूत्र समनमनी घुमाव उत्पन्न करते हैं।

यह भी देखें

• लाप्लास-रेंज-लेन्ज़ सदिश
• लोरेंत्ज़ समूह
• आयतीय समूह
• आयतीय मैट्रिक्स
• घूर्णन का तल
• पोंकारे समूह
• चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन

ग्रन्थसूची

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