विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा

गुरुत्वाकर्षण दो-पिंड समस्या में, विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा $\varepsilon$ (या विवा-विवा ऊर्जा) दो परिक्रमा करने वाले पिंडों की उनकी पारस्परिक संभावित ऊर्जा का निरंतर योग है ($\varepsilon _{p}$) और उनकी कुल गतिज ऊर्जा ($\varepsilon _{k}$), कम द्रव्यमान से विभाजित। विस-विवा समीकरण (जिसे विस-विवा समीकरण भी कहा जाता है) के अनुसार, यह समय के साथ बदलता नहीं है:

$${\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}$$

कहाँ पे

• $v$ सापेक्ष कक्षीय गति है;
• $r$ निकायों के बीच कक्षीय राज्य वैक्टर है;
• $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$ निकायों के मानक गुरुत्वाकर्षण मापदंडों का योग है;
• $h$ सापेक्ष कोणीय संवेग के अर्थ में विशिष्ट सापेक्ष कोणीय संवेग है जिसे कम द्रव्यमान से विभाजित किया जाता है;
• $e$ विलक्षणता (कक्षा) है;
• $a$ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।

इसे MJ/kg या में व्यक्त किया जाता है ${\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}$. एक दीर्घवृत्तीय कक्षा के लिए विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा वेग से बचने के लिए एक किलोग्राम के द्रव्यमान को गति देने के लिए आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा का ऋणात्मक है (परवलयिक प्रक्षेपवक्र)। एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र के लिए, यह परवलयिक कक्षा की तुलना में अतिरिक्त ऊर्जा के बराबर है। इस मामले में विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा को चारित्रिक ऊर्जा भी कहा जाता है।

विभिन्न कक्षाओं के लिए समीकरण रूप

एक अण्डाकार कक्षा के लिए, विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा समीकरण, जब कक्षा के किसी एक apse पर विशिष्ट सापेक्ष कोणीय गति के साथ संयुक्त हो जाता है, तो यह सरल हो जाता है:

$$\varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}$$

कहाँ पे

• $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है;
• $a$ कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी है।

Proof

For an elliptic orbit with specific angular momentum h given by

$$h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)$$

we use the general form of the specific orbital energy equation,

$$\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}$$

with the relation that the relative velocity at periapsis is

$$v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}$$

Thus our specific orbital energy equation becomes

$$\varepsilon ={\frac {\mu }{a}}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}$$

and finally with the last simplification we obtain:

$$\varepsilon =-{\mu \over 2a}$$

एक परवलयिक कक्षा के लिए यह समीकरण सरल हो जाता है

$$\varepsilon =0.$$

अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र के लिए यह विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा या तो द्वारा दी जाती है

$$\varepsilon ={\mu \over 2a}.$$

या दीर्घवृत्त के समान, a के चिह्न के लिए परिपाटी पर निर्भर करता है।

इस मामले में विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा को अभिलाक्षणिक ऊर्जा (या $C_{3}$) और एक परवलयिक कक्षा की तुलना में अतिरिक्त विशिष्ट ऊर्जा के बराबर है।

यह अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त वेग से संबंधित है $v_{\infty }$ (अनंत पर गतिज ऊर्जा) द्वारा

$$2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.$$

यह इंटरप्लेनेटरी मिशन के लिए प्रासंगिक है।

इस प्रकार, यदि कक्षीय स्थिति सदिश ($\mathbf {r}$) और कक्षीय वेग वेक्टर ($\mathbf {v}$) एक स्थान पर जाने जाते हैं, और $\mu$ ज्ञात है, तो ऊर्जा की गणना की जा सकती है और उससे, किसी अन्य स्थिति के लिए, कक्षीय गति।

परिवर्तन की दर

एक अण्डाकार कक्षा के लिए अर्ध-प्रमुख अक्ष में परिवर्तन के संबंध में विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा के परिवर्तन की दर है

$${\frac {\mu }{2a^{2}}}$$

कहाँ पे

• $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है;
• $a\,\!$ कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी है।

वृत्ताकार कक्षाओं के मामले में, यह दर कक्षा में गुरुत्वाकर्षण का आधा है। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि ऐसी कक्षाओं के लिए कुल ऊर्जा संभावित ऊर्जा का आधा है, क्योंकि गतिज ऊर्जा संभावित ऊर्जा का आधा घटा है।

अतिरिक्त ऊर्जा

यदि केंद्रीय निकाय की त्रिज्या R है, तो सतह पर स्थिर होने की तुलना में एक अण्डाकार कक्षा की अतिरिक्त विशिष्ट ऊर्जा है

$$-{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}$$

मात्रा $2a-R$ वह ऊँचाई है जो दीर्घवृत्त सतह के ऊपर फैली हुई है, साथ ही पेरीप्सिस दूरी (दीर्घवृत्त पृथ्वी के केंद्र से परे फैली हुई दूरी)। पृथ्वी के लिए और $a$ से थोड़ा अधिक $R$ अतिरिक्त विशिष्ट ऊर्जा है $(gR/2)$; जो वेग के क्षैतिज घटक की गतिज ऊर्जा है, अर्थात ${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$, $V={\sqrt {gR}}$.

उदाहरण

आईएसएस

अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन की कक्षीय अवधि 91.74 मिनट (5504 s), इसलिए केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों द्वारा | केप्लर का तीसरा नियम इसकी कक्षा का अर्ध-प्रमुख अक्ष 6,738 है किमी। ऊर्जा -29.6 है एमजे/किग्रा: संभावित ऊर्जा -59.2 है एमजे/किग्रा, और गतिज ऊर्जा 29.6 एमजे / किग्रा। सतह पर स्थितिज ऊर्जा से तुलना करें, जो -62.6 है एमजे / किग्रा। अतिरिक्त संभावित ऊर्जा 3.4 है एमजे/किग्रा, कुल अतिरिक्त ऊर्जा 33.0 है एमजे / किग्रा। औसत गति 7.7 है किमी/सेकेंड, इस कक्षा तक पहुंचने के लिए नेट डेल्टा-सीी 8.1 है किमी/सेकंड (वास्तविक डेल्टा-वी आमतौर पर 1.5-2.0 है वायुमंडलीय ड्रैग और गुरुत्वाकर्षण खींचें के लिए किमी/सेकंड अधिक)।

प्रति मीटर वृद्धि 4.4 होगी जे / किग्रा; यह दर 8.8 के स्थानीय गुरुत्व के आधे से मेल खाती है एमएस^{2</उप>।}

100 की ऊँचाई के लिए किमी (त्रिज्या 6471 है किमी):

ऊर्जा -30.8 है एमजे/किग्रा: संभावित ऊर्जा -61.6 है एमजे/किग्रा, और गतिज ऊर्जा 30.8 एमजे / किग्रा। सतह पर स्थितिज ऊर्जा से तुलना करें, जो -62.6 है एमजे / किग्रा। अतिरिक्त संभावित ऊर्जा 1.0 है एमजे/किग्रा, कुल अतिरिक्त ऊर्जा 31.8 है एमजे / किग्रा।

प्रति मीटर वृद्धि 4.8 होगी जे / किग्रा; यह दर 9.5 के स्थानीय गुरुत्वाकर्षण के आधे से मेल खाती है एमएस^{2</उप>। स्पीड 7.8 है किमी/सेकेंड, इस कक्षा तक पहुंचने के लिए नेट डेल्टा-वी 8.0 है किमी/से.}

पृथ्वी के घूर्णन को ध्यान में रखते हुए डेल्टा-वी 0.46 तक है किमी/सेकंड कम (भूमध्य रेखा से शुरू होकर पूर्व की ओर) या अधिक (यदि पश्चिम की ओर जा रहे हैं)।

मल्लाह 1

वायेजर 1 के लिए, सूर्य के संबंध में:

• $\mu =GM$ = 132,712,440,018 किमी³⋅s⁻² सूर्य का मानक गुरुत्वीय प्राचल है
• r = 17 1000000000 (संख्या) किलोमीटर
• v = 17.1 किमी/सेकंड

इस तरह:

$$\varepsilon =\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=\mathrm {146\,km^{2}s^{-2}} -\mathrm {8\,km^{2}s^{-2}} =\mathrm {138\,km^{2}s^{-2}}$$

इस प्रकार अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त वेग (अनंत पर सैद्धांतिक गतिज ऊर्जा) द्वारा दिया जाता है

$$v_{\infty }=\mathrm {16.6\,km/s}$$

हालांकि, वोयाजर 1 के पास आकाशगंगा को छोड़ने के लिए पर्याप्त वेग नहीं है। गणना की गई गति सूर्य से बहुत दूर लागू होती है, लेकिन ऐसी स्थिति में कि समग्र रूप से मिल्की वे के संबंध में संभावित ऊर्जा नगण्य रूप से बदल गई है, और केवल तभी जब सूर्य के अलावा आकाशीय पिंडों के साथ कोई मजबूत संपर्क न हो।

थ्रस्ट लगाना

मान लीजिए:

• ए जोर के कारण त्वरण है (समय-दर जिस पर डेल्टा-वी खर्च किया जाता है)
• g गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत है
• v रॉकेट का वेग है

तब रॉकेट की विशिष्ट ऊर्जा के परिवर्तन की समय-दर है $\mathbf {v} \cdot \mathbf {a}$: एक राशि $\mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )$ गतिज ऊर्जा और एक राशि के लिए $\mathbf {v} \cdot \mathbf {g}$ संभावित ऊर्जा के लिए।

डेल्टा-वी के प्रति इकाई परिवर्तन में रॉकेट की विशिष्ट ऊर्जा का परिवर्तन है

$${\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}$$

जो है |वी| v और a के बीच के कोण की कोज्या का गुना।

इस प्रकार, विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा को बढ़ाने के लिए डेल्टा-वी को लागू करते समय, यह सबसे अधिक कुशलता से किया जाता है यदि ए को वी की दिशा में लागू किया जाता है, और जब |v| बड़ी है। यदि v और g के बीच का कोण अधिक है, उदाहरण के लिए एक लॉन्च में और एक उच्च कक्षा में स्थानांतरण में, इसका मतलब डेल्टा-वी को जितनी जल्दी हो सके और पूरी क्षमता पर लागू करना है। ग्रेविटी ड्रैग भी देखें। किसी खगोलीय पिंड के पास से गुजरते समय इसका मतलब है कि पिंड के सबसे नजदीक होने पर जोर लगाना। जब धीरे-धीरे एक अण्डाकार कक्षा को बड़ा बनाते हैं, तो इसका मतलब है कि हर बार पेरीएप्सिस के पास जोर लगाना।

विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा को 'घटाने' के लिए डेल्टा-वी लागू करते समय, यह सबसे कुशलता से किया जाता है यदि ए को वी के विपरीत दिशा में लागू किया जाता है, और फिर जब |v| बड़ी है। यदि v और g के बीच का कोण तीव्र है, उदाहरण के लिए एक लैंडिंग में (वायुमंडल के बिना एक आकाशीय पिंड पर) और बाहर से आने पर एक खगोलीय पिंड के चारों ओर एक गोलाकार कक्षा में स्थानांतरण में, इसका मतलब डेल्टा-v को जितनी देर से लगाना है मुमकिन। किसी ग्रह के पास से गुजरते समय इसका मतलब है कि ग्रह के सबसे नजदीक होने पर जोर लगाना। जब धीरे-धीरे एक दीर्घवृत्तीय कक्षा को छोटा करते हैं, तो इसका मतलब है कि पेरीएप्सिस के पास हर बार थ्रस्ट लगाना।

यदि a v की दिशा में है:

$$\Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt$$

Tangential velocities at altitude

Orbit	Center-to-center distance	Altitude above the Earth's surface	Speed	Orbital period	Specific orbital energy
Earth's own rotation at surface (for comparison— not an orbit)	6,378 km	0 km	465.1 m/s (1,674 km/h or 1,040 mph)	23 h 56 min 4.09 sec	−62.6 MJ/kg
Orbiting at Earth's surface (equator) theoretical	6,378 km	0 km	7.9 km/s (28,440 km/h or 17,672 mph)	1 h 24 min 18 sec	−31.2 MJ/kg
Low Earth orbit	6,600–8,400 km	200–2,000 km	Circular orbit: 6.9–7.8 km/s (24,840–28,080 km/h or 14,430–17,450 mph) respectively Elliptic orbit: 6.5–8.2 km/s respectively	1 h 29 min – 2 h 8 min	−29.8 MJ/kg
Molniya orbit	6,900–46,300 km	500–39,900 km	1.5–10.0 km/s (5,400–36,000 km/h or 3,335–22,370 mph) respectively	11 h 58 min	−4.7 MJ/kg
Geostationary	42,000 km	35,786 km	3.1 km/s (11,600 km/h or 6,935 mph)	23 h 56 min 4.09 sec	−4.6 MJ/kg
Orbit of the Moon	363,000–406,000 km	357,000–399,000 km	0.97–1.08 km/s (3,492–3,888 km/h or 2,170–2,416 mph) respectively	27.27 days	−0.5 MJ/kg

The lower axis gives orbital speeds of some orbits

यह भी देखें

• Tsiolkovsky रॉकेट समीकरण#ऊर्जा
• अभिलाक्षणिक ऊर्जा C3 (विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा का दुगुना)