संयोजन वलय

गणित में, एक रचना वलय, में पेश किया गया (Adler 1962), एक क्रमविनिमेय वलय (R, 0, +, -, ·) है, संभवतः एक पहचान 1 के बिना (गैर-इकाई वलय देखें), एक साथ एक ऑपरेशन के साथ

$\circ :R\times R\rightarrow R$

जैसे कि, किन्हीं तीन तत्वों के लिए $f,g,h\in R$ किसी के पास

1. $(f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h)$
2. $(f\cdot g)\circ h=(f\circ h)\cdot (g\circ h)$
3. $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

अमूमन ऐसा नहीं होता है $f\circ g=g\circ f$, और न ही आमतौर पर ऐसा होता है $f\circ (g+h)$ (या $f\circ (g\cdot h)$) से कोई बीजगणितीय संबंध है $f\circ g$ और $f\circ h$.

उदाहरण

कुछ भी नया पेश किए बिना एक कंपोजिशन रिंग में कम्यूटेटिव रिंग R बनाने के कुछ तरीके हैं।

• संरचना द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $f\circ g=0$ सभी के लिए एफ, जी। परिणामी रचना रिंग एक बल्कि निर्बाध है।
• संरचना द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $f\circ g=f$ सभी के लिए एफ, जी। यह स्थिर फलनों के लिए संघटन नियम है।
• यदि R एक बूलियन रिंग है, तो गुणन रचना के रूप में दोगुना हो सकता है: $f\circ g=fg$ सभी के लिए एफ, जी।

R से निर्मित एक अन्य वलय पर एक रचना को परिभाषित करके और अधिक रोचक उदाहरण बनाए जा सकते हैं।

• बहुपद वलय R [X] एक संयोजन वलय है जहाँ $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ सभी के लिए $f,g\in R$.
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला अंगूठी आर[[X]] एक प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी है, लेकिन यह केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब श्रृंखला जी को प्रतिस्थापित किया जा रहा है जिसमें शून्य स्थिर शब्द है (यदि नहीं, तो परिणाम की निरंतर अवधि मनमाना गुणांक के साथ एक अनंत श्रृंखला द्वारा दी जाएगी)। इसलिए, R का उपसमुच्चय[[X]] शून्य स्थिर गुणांक के साथ शक्ति श्रृंखला द्वारा बनाई गई संरचना को बहुपद के समान प्रतिस्थापन नियम द्वारा दी गई संरचना के साथ एक संरचना रिंग में बनाया जा सकता है। चूंकि अशून्य स्थिर श्रृंखला अनुपस्थित हैं, इसलिए इस रचना वलय में गुणक इकाई नहीं है।
• यदि R एक अभिन्न डोमेन है, तो परिमेय कार्यों के क्षेत्र R(X) में भी बहुपदों से व्युत्पन्न एक प्रतिस्थापन संक्रिया होती है: एक अंश g को प्रतिस्थापित करना₁/जी₂ X के लिए डिग्री n के बहुपद में भाजक के साथ एक परिमेय फलन देता है $g_{2}^{n}$, और एक अंश में प्रतिस्थापित करके दिया जाता है

${\frac {f_{1}}{f_{2}}}\circ g={\frac {f_{1}\circ g}{f_{2}\circ g}}.$

हालांकि, औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए, रचना को हमेशा परिभाषित नहीं किया जा सकता है जब सही संकार्य g एक स्थिरांक हो: दिए गए सूत्र में भाजक $f_{2}\circ g$ समान रूप से शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए एक अच्छी तरह से परिभाषित संरचना संचालन के लिए आर (एक्स) के एक सबरिंग तक सीमित होना चाहिए; एक उपयुक्त सबरिंग तर्कसंगत कार्यों द्वारा दिया जाता है जिसमें अंश के पास शून्य स्थिर शब्द होता है, लेकिन भाजक के पास शून्येतर स्थिर शब्द होता है। फिर से इस रचना वलय की कोई गुणात्मक इकाई नहीं है; यदि R एक क्षेत्र है, तो यह वास्तव में औपचारिक शक्ति श्रृंखला उदाहरण का उप-वलय है।

• बिंदुवार जोड़ और गुणा के तहत आर से आर तक सभी कार्यों का सेट, और साथ $\circ$ कार्यों की संरचना द्वारा दिया गया, एक रचना वलय है। इस विचार की कई भिन्नताएं हैं, जैसे निरंतर, चिकनी, होलोमोर्फिक, या बहुपद कार्यों की अंगूठी एक अंगूठी से स्वयं तक, जब ये अवधारणाएं समझ में आती हैं।

एक ठोस उदाहरण के लिए अंगूठी लें ${\mathbb {Z} }[x]$, को पूर्णांकों से स्वयं तक बहुपद मानचित्रों का वलय माना जाता है। एक रिंग एंडोमोर्फिज्म

$F:{\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]$

का ${\mathbb {Z} }[x]$ के तहत छवि द्वारा निर्धारित किया जाता है $F$ चर का $x$, जिसे हम निरूपित करते हैं

$f=F(x)$

और यह छवि $f$ का कोई भी तत्व हो सकता है ${\mathbb {Z} }[x]$. इसलिए, कोई तत्वों पर विचार कर सकता है $f\in {\mathbb {Z} }[x]$ एंडोमोर्फिज्म के रूप में और असाइन करें $\circ :{\mathbb {Z} }[x]\times {\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]$, इसलिए। कोई इसे आसानी से सत्यापित करता है ${\mathbb {Z} }[x]$ उपरोक्त सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, एक है

$(x^{2}+3x+5)\circ (x-2)=(x-2)^{2}+3(x-2)+5=x^{2}-x+3.$

यह उदाहरण आर [एक्स] के लिए आर के बराबर दिए गए उदाहरण के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {Z}$, और सभी कार्यों के सबरिंग के लिए भी $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ बहुपद कार्यों द्वारा गठित।

यह भी देखें

• रचना संचालक
• बहुपद अपघटन
• कार्लमैन मैट्रिक्स

संदर्भ

• Adler, Irving (1962), "Composition rings", Duke Mathematical Journal, 29 (4): 607–623, doi:10.1215/S0012-7094-62-02961-7, ISSN 0012-7094, MR 0142573