असिम्प्टोटिक विश्लेषण

This article is about the behavior of functions as inputs approach infinity or some other limit value. For asymptotes in geometry, see Asymptote.

गणितीय विश्लेषण में, एसिम्प्टोटिक विश्लेषण, जिसे एसिम्प्टोटिक्स के रूप में भी जाना जाता है, लिमिट (गणित) व्यवहार का वर्णन करने की एक विधि है।

एक दृष्टांत के रूप में, मान लीजिए कि हम किसी फ़ंक्शन के गुणों में रुचि रखते हैं f (n) जैसा n बहुत बड़ा हो जाता है। अगर f(n) = n² + 3n, फिर ऐसे n बहुत बड़ा हो जाता है, शब्द 3n तुलना में नगण्य हो जाता है n². कार्यक्रम f(n) के बराबर कहा जाता है n², जैसा n → ∞. इसे अक्सर प्रतीकात्मक रूप से लिखा जाता है f (n) ~ n², जिसे पढ़ा जाता हैf(n) के लिए स्पर्शोन्मुख है n².

एक महत्वपूर्ण उपगामी परिणाम का एक उदाहरण अभाज्य संख्या प्रमेय है। होने देना π(x) प्राइम-काउंटिंग फंक्शन को निरूपित करें (जो सीधे स्थिर पाई से संबंधित नहीं है), अर्थात π(x) अभाज्य संख्याओं की संख्या है जो इससे कम या इसके बराबर हैं x. फिर प्रमेय कहता है कि

$$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.$$

एसिम्प्टोटिक विश्लेषण आमतौर पर कंप्यूटर विज्ञान में एल्गोरिदम के विश्लेषण के हिस्से के रूप में उपयोग किया जाता है और अक्सर बिग ओ नोटेशन के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, दिए गए कार्य f (x) और g(x), हम एक द्विआधारी संबंध को परिभाषित करते हैं

$$f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )$$

अगर और केवल अगर (de Bruijn 1981, §1.4)

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.$$

प्रतीक ~ टिल्ड है। संबंध के कार्यों के सेट पर एक समानता संबंध है x; कार्यों f और g विषम रूप से समतुल्य कहा जाता है। के एक समारोह का डोमेन f और g कोई भी सेट हो सकता है जिसके लिए सीमा परिभाषित है: उदा। वास्तविक संख्याएं, जटिल संख्याएं, सकारात्मक पूर्णांक।

इसी संकेतन का उपयोग किसी सीमा तक जाने के अन्य तरीकों के लिए भी किया जाता है: उदा. x → 0, x ↓ 0, |x| → 0. सीमा से गुजरने का तरीका अक्सर स्पष्ट रूप से नहीं बताया जाता है, अगर यह संदर्भ से स्पष्ट है।

यद्यपि उपरोक्त परिभाषा साहित्य में आम है, यह समस्याग्रस्त है यदि g(x) के रूप में अक्सर शून्य होता है x सीमित मूल्य पर जाता है। इस कारण से, कुछ लेखक वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग करते हैं। वैकल्पिक परिभाषा, छोटे-ओ अंकन में, वह है f ~ g अगर और केवल अगर

$$f(x)=g(x)(1+o(1)).$$

यह परिभाषा पूर्व परिभाषा के बराबर है यदि g(x) सीमित मूल्य के कुछ पड़ोस (गणित) में शून्य नहीं है।

गुण

अगर $f(x)\sim g(x)$ और $a(x)\sim b(x)$, जैसा $x\to \infty$, तो निम्नलिखित होल्ड करें:

• $f^{r}\sim g^{r}$, हर असली के लिए r
• $\log(f)\sim \log(g)$ अगर $\lim g\neq 1$
• $f\times a\sim g\times b$
• $f/a\sim g/b$

इस तरह के गुण कई बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में असीमित-समतुल्य कार्यों को स्वतंत्र रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति देते हैं।

ध्यान दें कि वे गुण केवल और केवल तभी सही हैं $x$ अनंत की ओर जाता है (दूसरे शब्दों में, वे गुण केवल पर्याप्त रूप से बड़े मूल्य के लिए लागू होते हैं $x$). अगर $x$ अनंत की ओर नहीं, बल्कि कुछ मनमाना परिमित स्थिरांकों की ओर $c$, तो उपरोक्त परिभाषा से निम्न सीमा:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ≠ 1, कुछ स्थिरांक के लिए $c$ इसी तरह:

$\lim _{x\to c}{\frac {a(x)}{b(x)}}$ ≠ 1, कुछ स्थिरांक के लिए $c$ इस प्रकार, वे संबंधित कार्य अब स्पर्शोन्मुख-समतुल्य नहीं हैं और गुणों के ऊपर लागू नहीं किए जा सकते हैं।

इसके लिए एक सरल उदाहरण, आइए $f(x)={x^{3}}+2x$ और $g(x)={x^{3}}$, हम देख सकते हैं कि:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {{x^{3}}+2x}{x^{3}}}=1$ हालाँकि:

$\lim _{x\to 0.5}{\frac {{x^{3}}+2x}{x^{3}}}=9$ इस तरह, $f(x)$ और $g(x)$ के रूप में असम्बद्ध रूप से समकक्ष नहीं हैं $x\to 0.5$.

स्पर्शोन्मुख सूत्रों के उदाहरण

• कारख़ाने का
  $$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$$
  —यह स्टर्लिंग का सन्निकटन है
• विभाजन (संख्या सिद्धांत) #विभाजन समारोह
  धनात्मक पूर्णांक n के लिए, विभाजन फलन, p(n), पूर्णांक n को धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या देता है, जहाँ योग के क्रम पर विचार नहीं किया जाता है।
  $$p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}$$
• हवादार समारोह
  ऐयरी फलन ऐ(x), अवकल समीकरण का एक हल है y″ − xy = 0; भौतिकी में इसके कई अनुप्रयोग हैं।
  $$\operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}$$
• हैंकेल कार्य करता है
  $${\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}$$

स्पर्शोन्मुख विस्तार

Main article: Asymptotic expansion

एक परिमित क्षेत्र का एक स्पर्शोन्मुख विस्तार f(x) अभ्यास में एक श्रृंखला (गणित) के संदर्भ में उस कार्य की अभिव्यक्ति है, जिसका आंशिक योग अनिवार्य रूप से अभिसरण नहीं करता है, लेकिन ऐसा है कि प्रारंभिक आंशिक योग लेने से एक विषम सूत्र मिलता है f. विचार यह है कि क्रमिक शब्द विकास के क्रम का एक तेजी से सटीक विवरण प्रदान करते हैं f.

प्रतीकों में, इसका मतलब है कि हमारे पास है $f\sim g_{1},$ लेकिन $f-g_{1}\sim g_{2}$ और $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ प्रत्येक निश्चित k के लिए। की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए $\sim$ प्रतीक, अंतिम समीकरण का अर्थ है $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ बिग ओ नोटेशन में # लिटिल-ओ नोटेशन, यानी, $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ से बहुत छोटा है $g_{k}.$ रिश्ता $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ इसका पूरा अर्थ लेता है अगर $g_{k+1}=o(g_{k})$ सभी k के लिए, जिसका अर्थ है $g_{k}$ एक स्पर्शोन्मुख पैमाने बनाएं। उस मामले में, कुछ लेखक नोटेशन लिखने का दुरुपयोग कर सकते हैं $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ कथन को निरूपित करने के लिए $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ हालांकि किसी को सावधान रहना चाहिए कि यह इसका मानक उपयोग नहीं है $\sim$ प्रतीक, और यह कि यह दी गई परिभाषा के अनुरूप नहीं है § Definition.

वर्तमान स्थिति में, यह संबंध $g_{k}=o(g_{k-1})$ वास्तव में चरण k और k−1 के संयोजन से अनुसरण करता है; घटाकर $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})$ से $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),$ एक मिलता है $g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),$ अर्थात। $g_{k}=o(g_{k-1}).$ यदि स्पर्शोन्मुख विस्तार अभिसरण नहीं करता है, तो तर्क के किसी विशेष मूल्य के लिए एक विशेष आंशिक योग होगा जो सर्वोत्तम सन्निकटन प्रदान करता है और अतिरिक्त शब्द जोड़ने से सटीकता कम हो जाएगी। इस इष्टतम आंशिक योग में आमतौर पर अधिक शर्तें होंगी क्योंकि तर्क सीमा मान तक पहुंचता है।

स्पर्शोन्मुख विस्तार के उदाहरण

• गामा समारोह
  $${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$$
• घातीय अभिन्न
  $$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )$$
• त्रुटि समारोह
  $${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$$
  कहाँ m!! डबल फैक्टोरियल है।

काम किया उदाहरण

स्पर्शोन्मुख विस्तार अक्सर तब होता है जब एक औपचारिक अभिव्यक्ति में एक साधारण श्रृंखला का उपयोग किया जाता है जो अभिसरण के अपने डोमेन के बाहर मूल्यों को लेने के लिए मजबूर करता है। उदाहरण के लिए, हम साधारण श्रृंखला से शुरुआत कर सकते हैं

$${\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}$$

बाईं ओर की अभिव्यक्ति पूरे जटिल तल पर मान्य है $w\neq 1$, जबकि दाहिनी ओर केवल के लिए अभिसरित होता है $|w|<1$. से गुणा करना $e^{-w/t}$ और दोनों पक्षों को एकीकृत करने से प्रतिफल प्राप्त होता है

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du$$

बाईं ओर के समाकल को चरघातांकी समाकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रतिस्थापन के बाद दाहिने हाथ की ओर अभिन्न $u=w/t$, को गामा फ़ंक्शन के रूप में पहचाना जा सकता है। दोनों का मूल्यांकन करने पर, व्यक्ति स्पर्शोन्मुख विस्तार प्राप्त करता है

$$e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}$$

यहाँ, t के किसी भी गैर-शून्य मान के लिए दाहिनी ओर स्पष्ट रूप से अभिसारी नहीं है। हालांकि, टी को छोटा रखते हुए, और शब्दों की एक सीमित संख्या के दाईं ओर श्रृंखला को छोटा करके, एक व्यक्ति के मूल्य के लिए काफी अच्छा सन्निकटन प्राप्त कर सकता है $\operatorname {Ei} (1/t)$. स्थानापन्न $x=-1/t$ और यह ध्यान में रखते हुए $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ परिणाम इस लेख में पहले दिए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार में हैं।

स्पर्शोन्मुख वितरण

Main article: Asymptotic distribution

गणितीय आँकड़ों में, एक स्पर्शोन्मुख वितरण एक काल्पनिक वितरण है जो एक अर्थ में वितरण के अनुक्रम का सीमित वितरण है। एक वितरण यादृच्छिक चर का एक क्रमबद्ध सेट है Z_i के लिए i = 1, …, n, किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए n. एक स्पर्शोन्मुख वितरण की अनुमति देता है i बिना सीमा के रेंज करने के लिए, यानी, n अनंत है।

स्पर्शोन्मुख वितरण का एक विशेष मामला तब होता है जब देर से प्रविष्टियाँ शून्य हो जाती हैं - अर्थात Z_i के रूप में 0 पर जाएं i अनंत तक जाता है। स्पर्शोन्मुख वितरण के कुछ उदाहरण केवल इस विशेष मामले को संदर्भित करते हैं।

यह एक asymptotic फ़ंक्शन की धारणा पर आधारित है जो एक स्थिर मान (अनंतस्पर्शी) तक पहुंचता है क्योंकि स्वतंत्र चर अनंत तक जाता है; इस अर्थ में स्वच्छ का अर्थ है कि किसी भी वांछित निकटता एप्सिलॉन के लिए स्वतंत्र चर का कुछ मान होता है जिसके बाद फ़ंक्शन स्थिरांक से कभी भी एप्सिलॉन से अधिक भिन्न नहीं होता है।

स्पर्शोन्मुख एक सीधी रेखा है जो एक वक्र तक पहुँचती है लेकिन कभी मिलती या पार नहीं करती है। अनौपचारिक रूप से, कोई अनंत पर स्पर्शोन्मुख से मिलने वाले वक्र की बात कर सकता है, हालांकि यह एक सटीक परिभाषा नहीं है। समीकरण में $y={\frac {1}{x}},$ x बढ़ने पर y परिमाण में मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है।

अनुप्रयोग

कई गणितीय विज्ञानों में स्पर्शोन्मुख विश्लेषण का उपयोग किया जाता है। आँकड़ों में, स्पर्शोन्मुख सिद्धांत नमूना आँकड़ों के संभाव्यता वितरण के सीमित अनुमान प्रदान करता है, जैसे कि संभावना-अनुपात परीक्षण आँकड़ा और विचलन (सांख्यिकी) का अपेक्षित मूल्य। हालांकि, स्पर्शोन्मुख सिद्धांत नमूना आँकड़ों के परिमित-नमूना वितरण के मूल्यांकन की एक विधि प्रदान नहीं करता है। सन्निकटन सिद्धांत के तरीकों द्वारा गैर-असिम्प्टोटिक सीमाएं प्रदान की जाती हैं।

अनुप्रयोगों के उदाहरण निम्नलिखित हैं।

• अनुप्रयुक्त गणित में, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण का उपयोग समीकरण समाधानों का अनुमान लगाने के लिए संख्यात्मक तरीकों का निर्माण करने के लिए किया जाता है।
• गणितीय आँकड़ों और संभाव्यता सिद्धांत में, स्पर्शोन्मुख का उपयोग यादृच्छिक चर और अनुमानकों के दीर्घकालिक या बड़े-नमूना व्यवहार के विश्लेषण में किया जाता है।
• एल्गोरिदम के विश्लेषण में कंप्यूटर विज्ञान में, एल्गोरिदम के प्रदर्शन पर विचार करना।
• भौतिक प्रणालियों का व्यवहार, एक उदाहरण [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] है।
• किसी दिए गए समय और स्थान में बड़ी संख्या में क्रैश काउंट के साथ काउंट मॉडलिंग के माध्यम से दुर्घटना के कारण की पहचान करते समय दुर्घटना विश्लेषण में।

स्पर्शोन्मुख विश्लेषण सामान्य अंतर समीकरण और आंशिक अंतर समीकरण अंतर समीकरणों की खोज के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है जो वास्तविक दुनिया की घटनाओं के गणितीय मॉडलिंग में उत्पन्न होता है। तरल प्रवाह को नियंत्रित करने वाले पूर्ण नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से सीमा परत # सीमा परत समीकरणों की व्युत्पत्ति एक उदाहरण है। कई मामलों में, स्पर्शोन्मुख विस्तार एक छोटे पैरामीटर की शक्ति में होता है, ε: सीमा परत मामले में, यह समस्या के विशिष्ट लंबाई पैमाने पर सीमा परत मोटाई का आयामी विश्लेषण अनुपात है। वास्तव में, गणितीय मॉडलिंग में अक्सर स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के अनुप्रयोगएक गैर-आयामी पैरामीटर के आसपास केंद्र जो समस्या के पैमाने पर विचार के माध्यम से दिखाया गया है, या छोटा होने के लिए माना जाता है।

स्पर्शोन्मुख विस्तार आम तौर पर कुछ इंटीग्रल (लाप्लास की विधि, सैडल-पॉइंट विधि, स्टीपेस्ट डिसेंट की विधि) या प्रायिकता वितरण (एडगेवर्थ श्रृंखला) के सन्निकटन में उत्पन्न होते हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फेनमैन रेखांकन स्पर्शोन्मुख विस्तार का एक और उदाहरण है जो अक्सर अभिसरण नहीं करते हैं।

यह भी देखें

• स्पर्शोन्मुख
• स्पर्शोन्मुख कम्प्यूटेशनल जटिलता
• स्पर्शोन्मुख घनत्व (संख्या सिद्धांत में)
• स्पर्शोन्मुख सिद्धांत (सांख्यिकी)
• स्पर्शोन्मुखता
• बिग ओ नोटेशन
• अग्रणी-आदेश अवधि
• प्रमुख संतुलन की विधि (ODEs के लिए)
• मिलान स्पर्शोन्मुख विस्तार की विधि
• वाटसन की लेम्मा

संदर्भ

• Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions, Springer-Verlag, ISBN 9783540485940
• de Bruijn, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, ISBN 9780486642215
• Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser, ISBN 9780817681302
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788
• Murray, J. D. (1984), Asymptotic Analysis, Springer, ISBN 9781461211228
• Paris, R. B.; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press

बाहरी संबंध

• Asymptotic Analysis  —home page of the journal, which is published by IOS Press
• A paper on time series analysis using asymptotic distribution