सुपरिभाषित अभिव्यंजना

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गणित में, एक अच्छी तरह से परिभाषित अभिव्यक्ति या स्पष्ट अभिव्यक्ति एक अभिव्यक्ति (गणित) है जिसकी परिभाषा इसे एक अद्वितीय व्याख्या या मूल्य प्रदान करती है। अन्यथा, अभिव्यक्ति को 'अच्छी तरह से परिभाषित नहीं', बीमार परिभाषित कहा जाता हैया अस्पष्ट। एक फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित होता है यदि इनपुट के मूल्य को बदले बिना इनपुट का प्रतिनिधित्व बदल दिया जाता है तो यह वही परिणाम देता है। उदाहरण के लिए, अगर $f$ वास्तविक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है, और यदि $f(0.5)$ बराबर नहीं करते $f(1/2)$ तब $f$ अच्छी तरह परिभाषित नहीं है (और इस प्रकार कोई फ़ंक्शन नहीं है)। अच्छी तरह से परिभाषित शब्द का उपयोग यह इंगित करने के लिए भी किया जा सकता है कि एक तार्किक अभिव्यक्ति असंदिग्ध या असंदिग्ध है।

एक फ़ंक्शन जो अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है वह एक ऐसे फ़ंक्शन के समान नहीं है जो अपरिभाषित (गणित) है। उदाहरण के लिए, यदि $f(x)={\frac {1}{x}}$, भले ही $f(0)$ अपरिभाषित होने का मतलब यह नहीं है कि फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है - लेकिन केवल यह कि 0 किसी फ़ंक्शन के डोमेन में नहीं है $f$.

उदाहरण

होने देना $A_{0},A_{1}$ सेट हो, चलो $A=A_{0}\cup A_{1}$ और परिभाषित करें $f:A\rightarrow \{0,1\}$ जैसा $f(a)=0$ अगर $a\in A_{0}$ और $f(a)=1$ अगर $a\in A_{1}$.

तब $f$ अगर अच्छी तरह परिभाषित है $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!$. उदाहरण के लिए, यदि $A_{0}:=\{2,4\}$ और $A_{1}:=\{3,5\}$, तब $f(a)$ अच्छी तरह से परिभाषित और मॉडुलो ऑपरेशन के बराबर होगा$\operatorname {mod} (a,2)$.

हालांकि, यदि $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$, तब $f$ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जाएगा क्योंकि $f(a)$ के लिए अस्पष्ट है $a\in A_{0}\cap A_{1}$. उदाहरण के लिए, यदि $A_{0}:=\{2\}$ और $A_{1}:=\{2\}$, तब $f(2)$ 0 और 1 दोनों होना चाहिए, जो इसे अस्पष्ट बनाता है। नतीजतन, बाद वाला$f$अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है और इस प्रकार यह एक कार्य नहीं है।

परिभाषा की प्रत्याशा के रूप में परिभाषा

चारों ओर उद्धरण चिह्नों से बचने के लिए पिछले सरल उदाहरण में परिभाषित करें, की परिभाषा $f$ दो सरल तार्किक चरणों में तोड़ा जा सकता है:

1. The definition of the binary relation: In the example

   $f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},$

   (which so far is nothing but a certain subset of the Cartesian product $A\times \{0,1\}$.)
2. The assertion: The binary relation $f$ is a function; in the example

   $f:A\rightarrow \{0,1\}.$

जबकि चरण 1 में परिभाषा किसी भी परिभाषा की स्वतंत्रता के साथ तैयार की गई है और निश्चित रूप से प्रभावी है (इसे अच्छी तरह से परिभाषित करने की आवश्यकता के बिना), चरण 2 में अभिकथन को सिद्ध करना होगा। वह है, $f$ एक समारोह है अगर और केवल अगर $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset$, किस स्थिति में $f$ – एक समारोह के रूप में – अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। वहीं दूसरी ओर अगर $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$, फिर एक के लिए $a\in A_{0}\cap A_{1}$, हमारे पास वह होगा $(a,0)\in f$ और $(a,1)\in f$, जो बाइनरी संबंध बनाता है $f$ कार्यात्मक नहीं (जैसा कि बाइनरी संबंध # विशेष प्रकार के बाइनरी संबंधों में परिभाषित किया गया है) और इस प्रकार एक फ़ंक्शन के रूप में अच्छी तरह परिभाषित नहीं है। बोलचाल की भाषा में, समारोह $f$ बिंदु पर अस्पष्ट भी कहा जाता है $a$ (हालांकि परिभाषा के अनुसार कभी भी अस्पष्ट कार्य नहीं होता है), और मूल परिभाषा व्यर्थ है। इन सूक्ष्म तार्किक समस्याओं के बावजूद, इस तरह की परिभाषाओं के लिए शब्द परिभाषा (एपोस्ट्रोफ के बिना) का अनुमान लगाना काफी सामान्य है - तीन कारणों से:

1. यह टू-स्टेप एप्रोच का आसान शॉर्टहैंड प्रदान करता है।
2. प्रासंगिक गणितीय तर्क (यानी, चरण 2) दोनों मामलों में समान है।
3. गणितीय ग्रंथों में, दावा 100% तक सत्य है।

प्रतिनिधि की स्वतंत्रता

किसी फ़ंक्शन की अच्छी तरह से परिभाषित होने का प्रश्न शास्त्रीय रूप से उठता है जब किसी फ़ंक्शन के परिभाषित समीकरण केवल तर्कों को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन (यह भी) प्रतिनिधि (गणित) के रूप में कार्य करने वाले तर्कों के तत्वों को संदर्भित करता है। यह कभी-कभी अपरिहार्य होता है जब तर्क सहसमुच्चय होते हैं और समीकरण सहसमुच्चय प्रतिनिधियों को संदर्भित करता है। फ़ंक्शन एप्लिकेशन का नतीजा तब प्रतिनिधि की पसंद पर निर्भर नहीं होना चाहिए।

एक तर्क के साथ कार्य

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित फ़ंक्शन पर विचार करें

${\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}$

कहाँ $n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}$ और $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ मॉड्यूलर अंकगणित हैं और ${\overline {n}}_{m}$ n mod m के मॉड्यूलर अंकगणित # सर्वांगसमता वर्ग को दर्शाता है।

ध्यान दें: ${\overline {n}}_{4}$ तत्व का संदर्भ है $n\in {\overline {n}}_{8}$, और ${\overline {n}}_{8}$ का तर्क है$f$.

कार्यक्रम$f$अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि

$n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.$

एक काउंटर उदाहरण के रूप में, विपरीत परिभाषा

${\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}$

एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य नहीं करता है, क्योंकि उदा। ${\overline {1}}_{4}$ के बराबर होती है ${\overline {5}}_{4}$ में $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, लेकिन पहले द्वारा मैप किया जाएगा $g$ को ${\overline {1}}_{8}$, जबकि दूसरे को मैप किया जाएगा ${\overline {5}}_{8}$, और ${\overline {1}}_{8}$ और ${\overline {5}}_{8}$ में असमान हैं $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$.

संचालन

विशेष रूप से, अच्छी तरह से परिभाषित शब्द कोसेट्स पर (बाइनरी) ऑपरेशन (गणित) के संबंध में प्रयोग किया जाता है। इस मामले में कोई ऑपरेशन को दो चर के कार्य के रूप में देख सकता है और अच्छी तरह से परिभाषित होने की संपत्ति एक समारोह के समान है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक मॉडुलो पर जोड़ कुछ n को पूर्णांक योग के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

$[a]\oplus [b]=[a+b]$

तथ्य यह है कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है इस तथ्य से कि हम किसी भी प्रतिनिधि को लिख सकते हैं $[a]$ जैसा $a+kn$, कहाँ $k$ एक पूर्णांक है। इसलिए,

$[a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];$

और इसी तरह के किसी भी प्रतिनिधि के लिए $[b]$, जिससे बना रहा है $[a+b]$ प्रतिनिधि की पसंद के बावजूद वही।

अच्छी तरह से परिभाषित अंकन

वास्तविक संख्या के लिए, उत्पाद $a\times b\times c$ असंदिग्ध है क्योंकि $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ (और इसलिए संकेतन को अच्छी तरह से परिभाषित कहा जाता है)।गुणन की साहचर्यता के रूप में भी जानी जाने वाली यह संपत्ति गारंटी देती है कि परिणाम गुणन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, ताकि अनुक्रम के एक विनिर्देश को छोड़ा जा सके।

दूसरी ओर घटाव संक्रिया साहचर्य नहीं है। हालाँकि, एक सम्मेलन है कि $a-b-c$ के लिए आशुलिपि है $(a-b)-c$, इस प्रकार यह अच्छी तरह से परिभाषित है।

विभाजन (गणित) भी असहयोगी है। हालाँकि, के मामले में $a/b/c$, कोष्ठक परिपाटी इतनी अच्छी तरह से स्थापित नहीं हैं, इसलिए इस अभिव्यक्ति को अक्सर खराब परिभाषित माना जाता है।

कार्यों के विपरीत, अतिरिक्त परिभाषाओं के माध्यम से नोटेशनल अस्पष्टताओं को कम या ज्यादा आसानी से दूर किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, ऑपरेटर प्राथमिकता के नियम, ऑपरेटर की सहयोगीता)। उदाहरण के लिए, प्रोग्रामिंग भाषा सी (प्रोग्रामिंग भाषा) ऑपरेटर में - घटाव के लिए बाएँ-से-दाएँ-सहयोगी है, जिसका अर्थ है कि a-b-c परिभाषित किया जाता है (a-b)-c, और ऑपरेटर = असाइनमेंट के लिए दाएँ-से-बाएँ-सहयोगी है, जिसका अर्थ है कि a=b=c परिभाषित किया जाता है a=(b=c). प्रोग्रामिंग लैंग्वेज APL (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में केवल एक नियम है: APL (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) #Design - लेकिन कोष्ठक पहले।

शब्द के अन्य उपयोग

एक आंशिक अंतर समीकरण के समाधान को अच्छी तरह से परिभाषित कहा जाता है यदि यह सीमा शर्तों द्वारा निरंतर तरीके से निर्धारित किया जाता है क्योंकि सीमा की स्थिति बदल जाती है।

यह भी देखें

• Equivalence relation § Well-definedness under an equivalence relation
• परिभाषावाद
• अस्तित्व
• अद्वितीयता
• [[विशिष्टता मात्रा का ठहराव]]
• अपरिभाषित (गणित)
• अच्छी तरह से गठित सूत्र

संदर्भ

स्रोत

• समसामयिक सार बीजगणित, जोसेफ ए गैलियन, 6वां संस्करण, हॉफलिन मिफ्लिन, 2006, ISBN 0-618-51471-6.
• बीजगणित: अध्याय 0, पाओलो अलफी, ISBN 978-0821847817. पृष्ठ 16।
• सार बीजगणित, डमिट और फूटे, तीसरा संस्करण, ISBN 978-0471433347. पृष्ठ 1।

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