व्युत्क्रम वितरण

Not to be confused with व्युत्क्रम वितरण फलन.

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एक व्युत्क्रम वितरण एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का वितरण है। उलटा वितरण विशेष रूप से पूर्व वितरण के बायेसियन संदर्भ में और पैमाने के मापदंडों के लिए पश्च वितरण में उत्पन्न होता है। यादृच्छिक चर के बीजगणित में, व्युत्क्रम वितरण अनुपात वितरण के वर्ग के विशेष मामले हैं, जिसमें अंश यादृच्छिक चर का एक पतित वितरण होता है।

मूल वितरण से संबंध

सामान्य तौर पर, कड़ाई से सकारात्मक समर्थन के साथ यादृच्छिक चर एक्स की संभावना वितरण को देखते हुए, पारस्परिक, वाई = 1 / एक्स के वितरण को ढूंढना संभव है। यदि एक्स का वितरण घनत्व समारोह एफ (एक्स) और संचयी के साथ निरंतर है बंटन फलन F(x), तो व्युत्क्रम का संचयी बंटन फलन, G(y), यह देखते हुए पाया जाता है कि

$G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).$

फिर वाई का घनत्व समारोह संचयी वितरण समारोह के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है:

$g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).$

उदाहरण

व्युत्क्रम वितरण

व्युत्क्रम वितरण में प्रपत्र का घनत्व कार्य होता है।

$f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,$

कहाँ $\propto \!\,$ मतलब आनुपातिकता (गणित) | के लिए आनुपातिक है । यह इस प्रकार है कि इस मामले में उलटा वितरण रूप का है

$g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},$

जो फिर से एक पारस्परिक वितरण है।

उलटा समान वितरण

व्युत्क्रम समान वितरण

Parameters	$0<a<b,\quad a,b\in \mathbb {R}$
Support	$[b^{-1},a^{-1}]$
PDF	$y^{-2}{\frac {1}{b-a}}$
CDF	${\frac {b-y^{-1}}{b-a}}$
Mean	${\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}$
Median	${\frac {2}{a+b}}$
Variance	${\frac {1}{a\cdot b}}-\left({\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}\right)^{2}$

यदि मूल यादृच्छिक चर X समान रूप से अंतराल (a,b) पर वितरित किया जाता है, जहां a>0, तो पारस्परिक चर Y = 1 / X में पारस्परिक वितरण होता है जो श्रेणी (b⁻¹ ,a⁻¹) में मान लेता है ), और इस श्रेणी में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है

$g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},$

और कहीं शून्य है।

व्युत्क्रम का संचयी बंटन फलन, एक ही श्रेणी के भीतर, है

$G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.$

उदाहरण के लिए, यदि X समान रूप से अंतराल (0,1) पर वितरित किया जाता है, तो Y = 1 / X में घनत्व होता है $g(y)=y^{-2}$ और संचयी वितरण समारोह $G(y)={1-y^{-1}}$ कब $y>1.$

व्युत्क्रम t वितरण

बता दें कि X स्वतंत्रता की k डिग्री के साथ t वितरित यादृच्छिक चर है। फिर इसका घनत्व कार्य है

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.$

Y का घनत्व = 1/X है

$g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.$

K = 1 के साथ, X और 1 / X के वितरण समान हैं (X तब कॉची वितरण (0,1) है)। यदि k > 1 तो 1 / X का बंटन द्विविध है।

पारस्परिक सामान्य वितरण

See also: अनिश्चितता का प्रचार § व्युत्क्रम और स्थानांतरित व्युत्क्रम

यदि चर X एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$, तो व्युत्क्रम Y=1/X एक पारस्परिक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है:

$f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.$

मानक प्रसामान्य वितरण के व्युत्क्रम का आलेख

यदि चर X एक मानक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है ${\mathcal {N}}(0,1)$, तो वाई = 1/एक्स एक पारस्परिक मानक सामान्य वितरण का पालन करता है,

भारी पूंछ वाला वितरण|हैवी-टेल्ड और बिमोडल वितरण, मोड के साथ $\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ और घनत्व

$f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}$

और पहले और उच्च क्रम के क्षण मौजूद नहीं हैं। ऐसे व्युत्क्रम वितरणों और अनुपात वितरणों के लिए, अभी भी अंतरालों के लिए परिभाषित संभावनाएँ हो सकती हैं, जिनकी गणना या तो मोंटे कार्लो सिमुलेशन द्वारा की जा सकती है या, कुछ मामलों में, गीरी-हिंकले परिवर्तन का उपयोग करके की जा सकती है।

हालांकि, स्थानांतरित पारस्परिक कार्य के अधिक सामान्य मामले में $1/(p-B)$, के लिए $B=N(\mu ,\sigma )$ एक सामान्य सामान्य वितरण के बाद, माध्य और विचरण आँकड़े एक प्रमुख मूल्य अर्थ में मौजूद होते हैं, यदि ध्रुव के बीच का अंतर $p$ और माध्य $\mu$ वास्तविक मूल्यवान है। इस परिवर्तित यादृच्छिक चर (पारस्परिक स्थानांतरित सामान्य वितरण) का मतलब वास्तव में डॉसन का कार्य है:

${\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$.

इसके विपरीत, यदि शिफ्ट $p-\mu$ विशुद्ध रूप से जटिल है, मतलब मौजूद है और एक स्केल्ड फदीवा समारोह है, जिसका सटीक अभिव्यक्ति काल्पनिक भाग के संकेत पर निर्भर करता है,$\operatorname {Im} (p-\mu )$. दोनों ही मामलों में, विचरण माध्य का एक साधारण कार्य है। इसलिए, भिन्नता को एक प्रमुख मूल्य अर्थ में माना जाना चाहिए $p-\mu$ वास्तविक है, जबकि यह काल्पनिक भाग मौजूद है $p-\mu$ शून्य नहीं है। ध्यान दें कि ये साधन और प्रसरण सटीक हैं, क्योंकि वे अनुपात के रेखीयकरण की पुनरावृत्ति नहीं करते हैं। विभिन्न ध्रुवों की एक जोड़ी के साथ दो अनुपातों का सटीक सहप्रसरण $p_{1}$ और $p_{2}$ समान रूप से उपलब्ध है। एक जटिल सामान्य चर के व्युत्क्रम का मामला $B$, स्थानांतरित या नहीं, विभिन्न विशेषताओं को प्रदर्शित करता है।

उलटा घातीय वितरण

अगर $X$ दर पैरामीटर के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर है $\lambda$, तब $Y=1/X$ निम्नलिखित संचयी वितरण समारोह है: $F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}$के लिए $y>0$. ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान मौजूद नहीं है। पारस्परिक घातीय वितरण लुप्त होती वायरलेस संचार प्रणालियों के विश्लेषण में उपयोग पाता है।

उलटा कॉची वितरण

यदि X एक कॉची वितरित (μ, σ) यादृच्छिक चर है, तो 1 / X एक कॉची (μ / C, σ / C ) यादृच्छिक चर है जहाँ C = μ² + σ² है।

उलटा एफ वितरण

यदि X एक F(ν₁, ν₂ ) वितरित यादृच्छिक चर है तो 1 / X एक F(ν₂, ν₁ ) यादृच्छिक चर है।

द्विपद बंटन का व्युत्क्रम

इस वितरण के लिए कोई बंद रूप ज्ञात नहीं है। माध्य के लिए एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन ज्ञात है।

$E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})$

जहां ई [] उम्मीद ऑपरेटर है, एक्स एक यादृच्छिक चर है, ओ () और ओ () बड़े और छोटे बिग ओ नोटेशन हैं, एन नमूना आकार है, पी सफलता की संभावना है और एक चर है जो हो सकता है धनात्मक या ऋणात्मक, पूर्णांक या भिन्नात्मक हो।

त्रिकोणीय बंटन का व्युत्क्रम

निचले सीमा a, ऊपरी सीमा b और मोड c के साथ त्रिकोणीय वितरण के लिए, जहां a < b और a ≤ c ≤ b, व्युत्क्रम का मतलब द्वारा दिया जाता है

$\mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}$ और द्वारा भिन्नता

$\sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}$.

व्युत्क्रम के दोनों क्षणों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब त्रिभुज शून्य को पार नहीं करता है, अर्थात जब a, b, और c या तो सभी धनात्मक या सभी ऋणात्मक होते हैं।

अन्य उलटा वितरण

अन्य उलटा वितरण में शामिल हैं

उलटा-चाई-वर्ग वितरण

उलटा-गामा वितरण

उलटा-विशार्ट वितरण

उलटा मैट्रिक्स गामा वितरण

अनुप्रयोग

पैमाने के मापदंडों के लिए बायेसियन अनुमान में पूर्व वितरण के रूप में व्युत्क्रम वितरण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• हरात्मक माध्य
• अनुपात वितरण
• स्व-व्युत्क्रम वितरण