गुणनात्मक प्रतिलोम

"Reciprocal (mathematics)" redirects here. Not to be confused with reciprocation (geometry).

पारस्परिक कार्य: y = 1/x. 0 को छोड़कर प्रत्येक x के लिए, y इसके गुणात्मक व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है। ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय बनाता है।

गणित में, संख्या x के लिए गुणक व्युत्क्रम या व्युत्क्रम, जिसे 1/x या x द्वारा चिह्नित किया जाता है⁻¹, एक ऐसी संख्या है जिसे x से गुणा करने पर गुणक पहचान प्राप्त होती है, 1. परिमेय संख्या a/b का गुणक व्युत्क्रम b/a होता है। किसी वास्तविक संख्या के गुणक व्युत्क्रम के लिए, 1 को संख्या से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 5 का व्युत्क्रम एक पाँचवाँ भाग (1/5 या 0.2) है, और 0.25 का व्युत्क्रम 1 भाग 0.25 है, या 4 है। 'पारस्परिक फलन', फलन (गणित) f(x) जो x को मैप करता है 1/x तक, एक फ़ंक्शन के सबसे सरल उदाहरणों में से एक है जो इसका अपना व्युत्क्रम है (एक इन्वोल्यूशन (गणित))।

किसी संख्या से गुणा करना उसके व्युत्क्रम द्वारा विभाजन (गणित) के समान है और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, 4/5 (या 0.8) से गुणा करने पर वही परिणाम मिलेगा जो 5/4 (या 1.25) से भाग देने पर मिलता है। इसलिए, किसी संख्या से गुणा करने के बाद उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है (चूँकि संख्या का गुणनफल और उसका व्युत्क्रम 1 है)।

पारस्परिक शब्द कम से कम पहले एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका (1797) के तीसरे संस्करण के रूप में सामान्य उपयोग में था, जिसमें दो संख्याओं का वर्णन किया गया था जिसका उत्पाद 1 है; व्युत्क्रम अनुपात में ज्यामितीय मात्राएँ इस प्रकार वर्णित हैं reciprocall यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों के 1570 अनुवाद में। गुणात्मक व्युत्क्रम वाक्यांश में, क्वालीफायर गुणक को अक्सर छोड़ दिया जाता है और फिर मौन रूप से समझा जाता है (योगात्मक व्युत्क्रम के विपरीत)। गुणात्मक व्युत्क्रमों को कई गणितीय डोमेन के साथ-साथ संख्याओं पर भी परिभाषित किया जा सकता है। इन मामलों में ऐसा हो सकता है ab ≠ ba; फिर व्युत्क्रम का तात्पर्य आमतौर पर होता है कि एक तत्व बाएँ और दाएँ दोनों उलटा तत्व है।

संकेतन एफ ⁻¹ का उपयोग कभी-कभी फलन f के व्युत्क्रम फलन के लिए भी किया जाता है, जो बहुसंख्यक व्युत्क्रम के बराबर नहीं होने वाले अधिकांश कार्यों के लिए होता है। उदाहरण के लिए, गुणक व्युत्क्रम 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ x का व्युत्क्रमज्या है, न कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन जिन्हें इसके द्वारा निरूपित किया जाता है sin⁻¹ x या arcsin x. पारिभाषिक अंतर पारस्परिक बनाम व्युत्क्रम इस अंतर को बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि कई लेखक विपरीत नामकरण परंपरा को पसंद करते हैं, शायद ऐतिहासिक कारणों से (उदाहरण के लिए फ्रेंच भाषा में, व्युत्क्रम कार्य को अधिमानतः w:fr:Bijection réciproque|bijection réciproque कहा जाता है। ).

उदाहरण और प्रति उदाहरण

वास्तविक संख्याओं में, 0 (संख्या) को शून्य से विभाजित करें क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या 0 से गुणा करने पर 1 उत्पन्न नहीं होता है (शून्य के साथ किसी भी संख्या का गुणनफल शून्य होता है)। शून्य के अपवाद के साथ, प्रत्येक वास्तविक संख्या के व्युत्क्रम वास्तविक होते हैं, प्रत्येक परिमेय संख्या के व्युत्क्रम परिमेय होते हैं, और प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के व्युत्क्रम जटिल होते हैं। यह संपत्ति कि शून्य के अलावा हर तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, एक फील्ड (गणित) की परिभाषा का हिस्सा है, जिसके ये सभी उदाहरण हैं। दूसरी ओर, 1 और -1 के अलावा किसी भी पूर्णांक में पूर्णांक व्युत्क्रम नहीं होता है, और इसलिए पूर्णांक फ़ील्ड नहीं होते हैं।

मॉड्यूलर अंकगणित में, एक के मॉड्यूलर गुणात्मक व्युत्क्रम को भी परिभाषित किया गया है: यह संख्या x है जैसे कि ax ≡ 1 (mod n). यह गुणात्मक व्युत्क्रम मौजूद है यदि और केवल यदि a और n सहअभाज्य हैं। उदाहरण के लिए, 3 मॉड्यूल 11 का व्युत्क्रम 4 है क्योंकि 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11). इसकी गणना करने के लिए विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जा सकता है।

sedenion एक बीजगणित है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व का गुणक व्युत्क्रम होता है, लेकिन फिर भी शून्य के विभाजक होते हैं, अर्थात गैर-शून्य तत्व x, y जैसे कि xy = 0।

एक स्क्वायर मैट्रिक्स में एक व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि इसके निर्धारक में गुणांक रिंग (गणित) में व्युत्क्रम होता है। रैखिक नक्शा जिसमें मैट्रिक्स ए है⁻¹ कुछ आधार के संबंध में तब उसी आधार में मैट्रिक्स के रूप में A वाले मानचित्र का व्युत्क्रम कार्य होता है। इस प्रकार, इस मामले में फलन के व्युत्क्रम की दो अलग-अलग धारणाएँ दृढ़ता से संबंधित हैं, लेकिन वे अभी भी मेल नहीं खाते हैं, क्योंकि Ax का गुणात्मक व्युत्क्रम होगा (Ax)^-1, ए नहीं^-1x.

एक व्युत्क्रम फलन की ये दो धारणाएँ कभी-कभी मेल खाती हैं, उदाहरण के लिए फलन के लिए $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ कहाँ $\ln$ जटिल लघुगणक # परिभाषा है और $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$:

$((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x$.

त्रिकोणमितीय कार्य पारस्परिक पहचान से संबंधित हैं: कोटिस्पर्श स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम है; छेदक रेखा कोज्या का व्युत्क्रम है; व्युत्क्रम ज्या का व्युत्क्रम है।

एक वलय जिसमें प्रत्येक अशून्य तत्व का गुणक व्युत्क्रम होता है, एक विभाजन वलय होता है; इसी तरह एक बीजगणित (रिंग थ्योरी) जिसमें यह धारण करता है एक विभाजन बीजगणित है।

कॉम्प्लेक्स नंबर

जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम z = a + bi जटिल है। यह इसके जटिल संयुग्म द्वारा 1/z के ऊपर और नीचे दोनों को गुणा करके पाया जा सकता है ${\bar {z}}=a-bi$ और उस संपत्ति का उपयोग करना $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$, z वर्ग का निरपेक्ष मान, जो वास्तविक संख्या है a² + b²:

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.$

अंतर्ज्ञान वह है

${\frac {\bar {z}}{\|z\|}}$

हमें एक परिमाण (गणित) के साथ एक जटिल संयुग्म देता है जो कि एक मान तक कम हो जाता है $1$, इसलिए फिर से विभाजित करना $\|z\|$ यह सुनिश्चित करता है कि परिमाण अब मूल परिमाण के व्युत्क्रम के बराबर है, इसलिए:

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}$

विशेष रूप से, यदि ||z||=1 (z में इकाई परिमाण है), तो $1/z={\bar {z}}$. नतीजतन, काल्पनिक इकाइयां, ±i, गुणक व्युत्क्रम के बराबर योज्य व्युत्क्रम है, और इस संपत्ति के साथ केवल सम्मिश्र संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, के योगात्मक और गुणात्मक व्युत्क्रम i हैं −(i) = −i और 1/i = −i, क्रमश।

ध्रुवीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या के लिए z = r(cos φ + i sin φ), व्युत्क्रम केवल परिमाण के व्युत्क्रम और कोण के ऋणात्मक को लेता है:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).$

1/x के इंटीग्रल के लिए ज्यामितीय अंतर्ज्ञान। 1 से 2 तक, 2 से 4 तक, और 4 से 8 तक तीन समाकल समान हैं। प्रत्येक क्षेत्र पिछला क्षेत्र लंबवत रूप से आधा और क्षैतिज रूप से दोगुना होता है। इसे विस्तारित करते हुए, 1 से 2 तक समाकल^k 1 से 2 तक के समाकलन का k गुना है, बिलकुल ln 2 की तरह^{के </सुप> = के एलएन 2।}

पथरी

वास्तविक कलन में, का व्युत्पन्न 1/x = x⁻¹ शक्ति नियम द्वारा शक्ति -1 के साथ दिया जाता है:

${\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.$

इंटीग्रल के लिए पावर रूल (कैवलियरी का क्वाडरेचर फॉर्मूला) का उपयोग 1/x के इंटीग्रल की गणना के लिए नहीं किया जा सकता है, क्योंकि ऐसा करने से 0 से विभाजन होगा:

$$\int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C$$

इसके बजाय अभिन्न द्वारा दिया गया है:

$$\int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,$$

$$\int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.$$

जहां ln प्राकृतिक लघुगणक है। इसे दिखाने के लिए, ध्यान दें ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$, तो यदि $x=e^{y}$ और $y=\ln x$, अपने पास:

$${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}$$

एल्गोरिदम

व्युत्क्रम की गणना लंबे विभाजन के उपयोग से हाथ से की जा सकती है।

कई विभाजन एल्गोरिथ्म में व्युत्क्रम की गणना करना महत्वपूर्ण है, क्योंकि भागफल a/b की गणना पहले 1/b की गणना करके और फिर इसे a से गुणा करके की जा सकती है। नोट किया कि $f(x)=1/x-b$ x = 1/b पर एक फ़ंक्शन का शून्य है, न्यूटन की विधि उस शून्य को ढूंढ सकती है, जो अनुमान से शुरू होती है $x_{0}$ और नियम का उपयोग करते हुए पुनरावृति:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).$

यह तब तक जारी रहता है जब तक वांछित सटीकता प्राप्त नहीं हो जाती। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम सटीकता के 3 अंकों के साथ 1/17 ≈ 0.0588 की गणना करना चाहते हैं। एक्स ले रहा है₀ = 0.1, निम्न अनुक्रम उत्पन्न होता है:

एक्स₁ = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03

एक्स₂ = 0.03(2 − 17 × 0.03) = 0.0447

एक्स₃ = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554

एक्स₄ = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586

एक्स₅ = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588

एक विशिष्ट प्रारंभिक अनुमान को b को पास की 2 की शक्ति पर गोल करके पाया जा सकता है, फिर इसके पारस्परिक की गणना करने के लिए बिट शिफ्ट का उपयोग किया जा सकता है।

रचनात्मक गणित में, एक वास्तविक संख्या x के लिए एक व्युत्क्रम होना पर्याप्त नहीं है, यह पर्याप्त नहीं है कि x ≠ 0. इसके बजाय एक परिमेय संख्या r दी जानी चाहिए जैसे कि 0 < r < |x|। ऊपर वर्णित सन्निकटन कलन विधि के संदर्भ में, यह साबित करने की आवश्यकता है कि y में परिवर्तन अंततः मनमाने ढंग से छोटा हो जाएगा।

एफ (एक्स) = एक्स का ग्राफ^x न्यूनतम (1/e, e^-1/ई).

इस पुनरावृत्ति को व्यापक प्रकार के व्युत्क्रमों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, उलटा मैट्रिक्स # न्यूटन की विधि।

अपरिमेय संख्याओं का व्युत्क्रम

शून्य को छोड़कर प्रत्येक वास्तविक या जटिल संख्या में एक व्युत्क्रम होता है, और कुछ अपरिमेय संख्याओं के व्युत्क्रम में महत्वपूर्ण विशेष गुण हो सकते हैं। उदाहरणों में ई का व्युत्क्रम (गणितीय स्थिरांक) (≈ 0.367879) और गोल्डन अनुपात#गोल्डन अनुपात संयुग्म और शक्तियां शामिल हैं। गोल्डन अनुपात का पारस्परिक (≈ 0.618034)। पहला व्युत्क्रम विशेष है क्योंकि कोई अन्य धनात्मक संख्या स्वयं की घात लगाने पर कम संख्या उत्पन्न नहीं कर सकती है; $f(1/e)$ का वैश्विक इष्टतम है $f(x)=x^{x}$. दूसरी संख्या एकमात्र सकारात्मक संख्या है जो इसके व्युत्क्रम जमा एक के बराबर है:$\varphi =1/\varphi +1$. इसका योज्य व्युत्क्रम एकमात्र ऋणात्मक संख्या है जो इसके व्युत्क्रम ऋण एक के बराबर है:$-\varphi =-1/\varphi -1$.

कार्यक्रम ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ अपरिमेय संख्याओं की एक अनंत संख्या देता है जो एक पूर्णांक द्वारा उनके व्युत्क्रम से भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, $f(2)$ तर्कहीन है $2+{\sqrt {5}}$. इसका पारस्परिक $1/(2+{\sqrt {5}})$ है $-2+{\sqrt {5}}$, बिल्कुल $4$ कम। ऐसी अपरिमेय संख्याएँ एक स्पष्ट गुण साझा करती हैं: उनके व्युत्क्रम के समान भिन्नात्मक भाग होते हैं, क्योंकि ये संख्याएँ एक पूर्णांक से भिन्न होती हैं।

आगे की टिप्पणी

यदि गुणन साहचर्य है, तो गुणक व्युत्क्रम वाला एक तत्व x शून्य भाजक नहीं हो सकता है (x एक शून्य भाजक है यदि कुछ अशून्य y, xy = 0). इसे देखने के लिए, समीकरण को गुणा करना पर्याप्त है xy = 0 x के व्युत्क्रम से (बाईं ओर), और फिर साहचर्य का उपयोग करके सरल करें। सहयोगीता की अनुपस्थिति में, सेडेनियंस एक प्रति उदाहरण प्रदान करते हैं।

बातचीत पकड़ में नहीं आती है: एक तत्व जो शून्य विभाजक नहीं है, एक गुणात्मक व्युत्क्रम होने की गारंटी नहीं है। 'Z' के भीतर, -1, 0, 1 को छोड़कर सभी पूर्णांक उदाहरण प्रदान करते हैं; वे शून्य विभाजक नहीं हैं और न ही उनके पास 'Z' में व्युत्क्रम हैं। अगर अंगूठी या बीजगणित परिमित सेट है, हालांकि, सभी तत्व जो शून्य विभाजक नहीं हैं, उनके पास (बाएं और दाएं) व्युत्क्रम होता है। के लिए, पहले देखें कि map f(x) = ax इंजेक्शन होना चाहिए: f(x) = f(y) तात्पर्य x = y:

${\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}$

अलग-अलग तत्व अलग-अलग तत्वों के लिए मैप करते हैं, इसलिए छवि में तत्वों की समान परिमित संख्या होती है, और नक्शा आवश्यक रूप से विशेषण होता है। विशेष रूप से, ƒ (अर्थात् a से गुणा) को कुछ तत्व x को 1 में मैप करना चाहिए, ax = 1, ताकि x, a का व्युत्क्रम हो।

अनुप्रयोग

किसी भी आधार में व्युत्क्रम 1/q का विस्तार भी कार्य कर सकता है छद्म-यादृच्छिक संख्याओं के स्रोत के रूप में, यदि q एक उपयुक्त सुरक्षित अभाज्य है, तो 2p + 1 के रूप का एक अभाज्य जहाँ p भी एक अभाज्य है। लंबाई q − 1 की छद्म-यादृच्छिक संख्याओं का एक क्रम विस्तार द्वारा निर्मित किया जाएगा।

यह भी देखें

• डिवीजन (गणित)
• घातीय क्षय
• अंश (गणित)
• समूह (गणित)
• अतिपरवलय
• उलटा वितरण
• व्युत्क्रमों के योगों की सूची
• दोहराए जाने वाले दशमलव
• छह-गोले निर्देशांक
• इकाई भिन्न - पूर्णांकों का व्युत्क्रम

संदर्भ

• Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992