विटाली आवरण लेम्मा

गणित में, लेम्मा को कवर करने वाली विटाली एक संयोजी ज्यामिति परिणाम है जो आमतौर पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान के माप सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। यह लेम्मा विटाली कवरिंग प्रमेय के प्रमाण में स्वतंत्र रुचि का एक मध्यवर्ती कदम है। आवरण प्रमेय का श्रेय इटली के गणितज्ञ जोसेफ विटाली को दिया जाता है। प्रमेय में कहा गया है कि एक शून्य सेट तक कवर करना संभव है| लेबेस्गुए-नगण्य सेट, 'आर' का एक उपसमुच्चय ई^d ई के विटाली कवर से निकाले गए एक अलग परिवार द्वारा।

विटाली कवर लेम्मा

में लेम्मा का विज़ुअलाइज़ेशन $\mathbb {R} ^{1}$.

शीर्ष पर: गेंदों का संग्रह; हरी गेंदें असम्बद्ध उपसंग्रह हैं। तल पर: उपसंग्रह तीन गुना त्रिज्या के साथ सभी गेंदों को कवर करता है।

लेम्मा के दो मूल संस्करण हैं, एक परिमित संस्करण और एक अनंत संस्करण। दोनों लेम्मा को मीट्रिक स्थान की सामान्य सेटिंग में सिद्ध किया जा सकता है, आमतौर पर ये परिणाम यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विशेष मामले में लागू होते हैं $\mathbb {R} ^{d}$. दोनों प्रमेयों में हम निम्नलिखित अंकन का उपयोग करेंगे: यदि ${\textstyle B=B(x,r)}$ एक गेंद (गणित) है और $c\in \mathbb {R}$, हम लिखेंगे $cB$ गेंद के लिए ${\textstyle B(x,cr)}$.

परिमित संस्करण

प्रमेय (परिमित आवरण लेम्मा)। होने देना $B_{1},\dots ,B_{n}$ बॉल (गणित) का कोई भी परिमित संग्रह हो, जो किसी मनमाने मेट्रिक स्पेस में समाहित हो। फिर एक उपसंग्रह मौजूद है $B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}$ इन गेंदों में से जो अलग सेट हैं और संतुष्ट हैं

$$B_{1}\cup B_{2}\cup \dots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \dots \cup 3B_{j_{m}}.$$

सबूत: व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मानते हैं कि गेंदों का संग्रह खाली नहीं है; यानी n > 0. माना $B_{j_{1}}$ सबसे बड़े त्रिज्या की गेंद हो। आगमनात्मक रूप से, मान लीजिए $B_{j_{1}},\dots ,B_{j_{k}}$ चुने गए हैं। अगर अंदर कुछ गेंद है $B_{1},\dots ,B_{n}$ जो इससे अलग है $B_{j_{1}}\cup B_{j_{2}}\cup \dots \cup B_{j_{k}}$, होने देना $B_{j_{k+1}}$ अधिकतम त्रिज्या के साथ ऐसी गेंद हो (मनमाने ढंग से संबंध तोड़ना), अन्यथा, हम m := k सेट करते हैं और आगमनात्मक परिभाषा को समाप्त कर देते हैं।

अब सेट करें ${\textstyle X:=\bigcup _{k=1}^{m}3\,B_{j_{k}}}$. यह दिखाना बाकी है $B_{i}\subset X$ हरएक के लिए $i=1,2,\dots ,n$. यह स्पष्ट है अगर $i\in \{j_{1},\dots ,j_{m}\}$. अन्यथा, अवश्य ही कुछ है $k\in \{1,\dots ,m\}$ ऐसा है कि $B_{i}$ काटती है $B_{j_{k}}$ और की त्रिज्या $B_{j_{k}}$ कम से कम उतना ही बड़ा है $B_{i}$. त्रिकोण असमानता तब आसानी से इसका तात्पर्य है $B_{i}\subset 3\,B_{j_{k}}\subset X$, जरुरत के अनुसार। यह परिमित संस्करण के प्रमाण को पूरा करता है।

अनंत संस्करण

प्रमेय (अनंत आवरण लेम्मा)। होने देना $\mathbf {F}$ एक वियोज्य मीट्रिक स्थान में गेंदों का एक मनमाना संग्रह हो जैसे कि

$$R:=\sup \,\{\mathrm {rad} (B):B\in \mathbf {F} \}<\infty$$

कहाँ $\mathrm {rad} (B)$ गेंद बी की त्रिज्या को दर्शाता है। फिर एक गणनीय उप-संग्रह मौजूद है $\mathbf {G} \subset \mathbf {F}$ ऐसे कि गेंदों $\mathbf {G}$ जोड़ो में अलग कर रहे हैं, और संतुष्ट हैं

$$\bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C.$$

और इसके अलावा, प्रत्येक $B\in \mathbf {F}$ कुछ को काटता है $C\in \mathbf {G}$ साथ $B\subset 5C$.

सबूत: एफ के उप-संग्रह एफ में विभाजन पर विचार करें_n, n ≥ 0, द्वारा परिभाषित

$\mathbf {F} _{n}=\{B\in \mathbf {F} :2^{-n-1}R<{\text{rad}}(B)\leq 2^{-n}R\}.$ वह है, ${\textstyle \mathbf {F} _{n}}$ गेंदों के होते हैं बी जिसका त्रिज्या है (2⁻ⁿ⁻¹आर, 2^{-एन</सुप>आर]। एक अनुक्रम 'जी'_n, जी के साथ_n⊂ एफ_n, आगमनात्मक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, एच ​​सेट करें₀= एफ₀ और जी₀ H का अधिकतम असंयुक्त उपसंग्रह हो₀ (ऐसा उपसंग्रह ज़ोर्न के लेम्मा द्वारा मौजूद है)। यह मानते हुए कि जी₀,…,जी_n चुने गए हैं, चलो}

$\mathbf {H} _{n+1}=\{B\in \mathbf {F} _{n+1}:\ B\cap C=\emptyset ,\ \ \forall C\in \mathbf {G} _{0}\cup \mathbf {G} _{1}\cup \dots \cup \mathbf {G} _{n}\},$

और जी_n+1 H का अधिकतम असंयुक्त उपसंग्रह हो_n+1. उपसंग्रह

$\mathbf {G} :=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbf {G} _{n}$

F का प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता है: G एक असम्बद्ध संग्रह है, और इस प्रकार गणना योग्य है क्योंकि दिए गए मीट्रिक स्थान वियोज्य हैं। इसके अलावा, हर गेंद B ∈ F एक गेंद C ∈ G को ऐसे काटती है कि B ⊂ 5 C।
दरअसल, अगर हमें कुछ दिया जाता है $B\in \mathbf {F}$, कुछ n ऐसे होने चाहिए कि B 'F' से संबंधित हो_n. या तो B 'H' से संबंधित नहीं है_n, जिसका अर्थ n > 0 है और इसका अर्थ है कि B 'G' के मिलन से एक गेंद को काटता है₀, …, जी_n−1, या बी ∈ 'एच'_n और जी की अधिकतमता से_n, B एक गेंद को 'G' में काटता है_n. किसी भी मामले में, B एक गेंद C को काटता है जो 'G' के संघ से संबंधित है।₀, …, जी_n. ऐसी गेंद C का दायरा 2 से बड़ा होना चाहिए⁻ⁿ⁻¹आर. चूँकि B की त्रिज्या 2 से कम या उसके बराबर है⁻ⁿR, हम त्रिभुज असमानता से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि B ⊂ 5 C, जैसा कि दावा किया गया है। इस से $\bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C$ तुरंत अनुसरण करता है, प्रमाण को पूरा करता है। टिप्पणियां

• 'अनंत संस्करण' में, गेंदों का प्रारंभिक संग्रह गणनीय या बेशुमार हो सकता है। एक वियोज्य मीट्रिक स्थान में, गेंदों का कोई भी जोड़ीदार असंयुक्त संग्रह गणनीय होना चाहिए। एक गैर-वियोज्य स्थान में, एक ही तर्क से पता चलता है कि एक जोड़ीदार असंबद्ध उपपरिवार मौजूद है, लेकिन उस परिवार को गिनने योग्य नहीं होना चाहिए।
• परिणाम विफल हो सकता है यदि त्रिज्या सीमित नहीं है: R में 0 पर केंद्रित सभी गेंदों के परिवार पर विचार करें^घ; किसी भी असंयुक्त उपपरिवार में केवल एक गेंद B होती है, और 5 B में इस परिवार की सभी गेंदें नहीं होती हैं।
• स्थिर 5 इष्टतम नहीं है। यदि पैमाना सी⁻ⁿ, c > 1, 2 के स्थान पर प्रयोग किया जाता है⁻ⁿ 'F' को परिभाषित करने के लिए_n, अंतिम मान 5 के बजाय 1 + 2c है। 3 से बड़ा कोई भी स्थिरांक प्रमेयिका का सही कथन देता है, लेकिन 3 नहीं।
• महीन विश्लेषण का उपयोग करते हुए, जब मूल संग्रह 'एफ' 'आर' के उपसमुच्चय ई का एक विटाली कवर है^d, एक दिखाता है कि उपरोक्त सबूत में परिभाषित उप-संग्रह 'जी', ई को एक लेबेसेग-नगण्य सेट तक कवर करता है।

अनुप्रयोग और उपयोग की विधि

विटाली लेम्मा का एक अनुप्रयोग हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम असमानता को साबित करने में है। जैसा कि इस प्रमाण में, विटाली लेम्मा का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब हम उदाहरण के लिए, डी-डायमेंशनल लेबेस्ग उपाय पर विचार करते हैं, $\lambda _{d}$, समुच्चय (गणित) का E ⊂ 'R'^d, जिसे हम जानते हैं कि गेंदों के एक निश्चित संग्रह के मिलन में निहित है $\{B_{j}:j\in J\}$, जिनमें से प्रत्येक के पास एक उपाय है जिसे हम अधिक आसानी से गणना कर सकते हैं, या एक विशेष गुण है जिसका कोई फायदा उठाना चाहेगा। इसलिए, यदि हम इस संघ के माप की गणना करते हैं, तो हमारे पास ई के माप पर एक ऊपरी सीमा होगी। हालाँकि, इन सभी गेंदों के मिलन के माप की गणना करना मुश्किल है यदि वे ओवरलैप करते हैं। विटाली लेम्मा द्वारा, हम एक उपसंग्रह चुन सकते हैं $\left\{B_{j}:j\in J'\right\}$ जो अलग है और ऐसा है ${\textstyle \bigcup _{j\in J'}5B_{j}\supset \bigcup _{j\in J}B_{j}\supset E}$. इसलिए,

$\lambda _{d}(E)\leq \lambda _{d}{\biggl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\biggr )}\leq \lambda _{d}{\biggl (}\bigcup _{j\in J'}5B_{j}{\biggr )}\leq \sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j}).$

अब, चूँकि एक d-आयामी गेंद की त्रिज्या को पाँच के गुणक से बढ़ाने से इसका आयतन 5 के गुणक से बढ़ जाता है^डी, हम जानते हैं कि

$\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j})=5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j})$

और इस तरह

$\lambda _{d}(E)\leq 5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j}).$

विटाली कवरिंग प्रमेय

कवरिंग प्रमेय में, उद्देश्य एक नगण्य सेट तक, एक दिए गए सेट E ⊆ 'R' को कवर करना है^d ई के लिए विटाली कवरिंग से निकाले गए एक अलग उपसंग्रह द्वारा: एक 'विटाली क्लास' या 'विटाली कवरिंग' ${\mathcal {V}}$ ई के लिए सेट का एक संग्रह है जैसे कि, प्रत्येक x ∈ E और δ > 0 के लिए, संग्रह में एक सेट यू है ${\mathcal {V}}$ जैसे कि x ∈ U और U का व्यास गैर-शून्य और δ से कम है।

विटाली की शास्त्रीय सेटिंग में,नगण्य सेट एक लेबेसेग नगण्य सेट है, लेकिन लेबेसेग माप के अलावा अन्य माप, और 'आर' के अलावा अन्य स्थान^d पर भी विचार किया गया है, जैसा कि नीचे संबंधित अनुभाग में दिखाया गया है।

निम्नलिखित अवलोकन उपयोगी है: यदि ${\mathcal {V}}$ ई के लिए एक विटाली कवरिंग है और यदि ई एक खुले सेट में निहित है Ω ⊆ 'R'^d, तो का उपसंग्रह U को अंदर सेट करता है ${\mathcal {V}}$ जो Ω में निहित हैं, वह भी E के लिए एक विटाली कवरिंग है।

लेबेस्गु माप के लिए विटाली का आवरण प्रमेय

लेबेस्ग के लिए अगला कवरिंग प्रमेय λ मापता है_d की वजह से है Lebesgue (1910). संग्रह ${\mathcal {V}}$ आर के औसत दर्जे का सबसेट^d एक नियमित परिवार है (हेनरी लेबेस्ग्यू के अर्थ में) यदि एक स्थिर C मौजूद है जैसे कि

$\operatorname {diam} (V)^{d}\leq C\,\lambda _{d}(V)$

संग्रह में प्रत्येक सेट वी के लिए ${\mathcal {V}}$
क्यूब्स का परिवार नियमित परिवार का एक उदाहरण है ${\mathcal {V}}$, जैसा परिवार है ${\mathcal {V}}(m)$ आर में आयतों की² इस प्रकार कि भुजाओं का अनुपात m के बीच बना रहे⁻¹ और m, कुछ निश्चित m ≥ 1 के लिए। यदि 'R' पर एक मनमाना मानदंड दिया गया है^d, मानक से संबंधित मीट्रिक के लिए गेंदों का परिवार एक अन्य उदाहरण है। इसके विपरीत, 'आर' में सभी आयतों का परिवार² नियमित नहीं है।

Theorem —  Let E ⊆ R^d be a measurable set with finite Lebesgue measure, and let ${\mathcal {V}}$ be a regular family of closed subsets of R^d that is a Vitali covering for E. Then there exists a finite or countably infinite disjoint subcollection $\{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}$ such that

$$\lambda _{d}{\biggl (}E\setminus \bigcup _{j}U_{j}{\biggr )}=0.$$

का मूल परिणाम Vitali (1908) इस प्रमेय का एक विशेष मामला है, जिसमें d = 1 और ${\mathcal {V}}$ अंतरालों का एक संग्रह है जो परिमित माप वाली वास्तविक रेखा के मापनीय उपसमुच्चय E के लिए एक विटाली आवरण है।
उपरोक्त प्रमेय यह मानने के बिना सही रहता है कि E का परिमित माप है। यह प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 0 के लिए, खुले वलय Ω में समाहित E के हिस्से के लिए परिमित माप मामले में कवरिंग परिणाम लागू करके प्राप्त किया जाता है।_n बिंदुओं का x ऐसा है कि n < |x| <एन + 1। कुछ हद तक संबंधित कवरिंग प्रमेय बेसिकोविच कवरिंग प्रमेय है। उपसमुच्चय A ⊆ 'R' के प्रत्येक बिंदु के लिए^d, एक यूक्लिडियन बॉल B(a, r_a) केंद्र a और सकारात्मक त्रिज्या r के साथ_aसौंपा गया है। फिर, विटाली प्रमेय के रूप में, ए को एक विशिष्ट तरीके से कवर करने के लिए इन गेंदों का एक उपसंग्रह चुना जाता है। विटाली कवरिंग प्रमेय के साथ मुख्य अंतर यह है कि एक तरफ, विटाली की असम्बद्धता आवश्यकता इस तथ्य के लिए शिथिल है कि संख्या N_x चुनी गई गेंदों में एक मनमाना बिंदु x ∈ 'R' है^d स्थिरांक B से घिरा है_d केवल आयाम d पर निर्भर करता है; दूसरी ओर, चयनित गेंदें दिए गए सभी केंद्रों के सेट A को कवर करती हैं।

हौसडॉर्फ माप के लिए विटाली की आवरण प्रमेय

Lebesgue माप के बजाय हौसडॉर्फ माप पर विचार करते समय एक समान उद्देश्य हो सकता है। निम्नलिखित प्रमेय उस मामले में लागू होता है।

Theorem —  Let H^s denote s-dimensional Hausdorff measure, let E ⊆ R^d be an H^s-measurable set and ${\mathcal {V}}$ a Vitali class of closed sets for E. Then there exists a (finite or countably infinite) disjoint subcollection $\{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}$ such that either

$$H^{s}\left(E\setminus \bigcup _{j}U_{j}\right)=0$$

or

$$\sum _{j}\operatorname {diam} (U_{j})^{s}=\infty .$$

इसके अलावा, यदि E के पास परिमित s-आयामी हौसडॉर्फ माप है, तो किसी भी ε > 0 के लिए, हम इस उपसंग्रह {U को चुन सकते हैं_j} ऐसा है कि

$H^{s}(E)\leq \sum _{j}\mathrm {diam} (U_{j})^{s}+\varepsilon .$

इस प्रमेय का तात्पर्य ऊपर दिए गए लेबेसेग के परिणाम से है। वास्तव में, जब s = d, हौसडॉर्फ़ H को मापता है^एस 'आर' पर^d d-आयामी Lebesgue माप के एक बहु के साथ मेल खाता है। यदि एक असंबद्ध संग्रह $\{U_{j}\}$ नियमित है और परिमित Lebesgue माप के साथ मापने योग्य क्षेत्र B में समाहित है, फिर

$\sum _{j}\operatorname {diam} (U_{j})^{d}\leq C\sum _{j}\lambda _{d}(U_{j})\leq C\,\lambda _{d}(B)<+\infty$

जो पिछले प्रमेय के पहले अभिकथन में दूसरी संभावना को बाहर करता है। यह अनुसरण करता है कि ई को कवर किया गया है, एक लेबेसेग-नगण्य सेट तक, चयनित विसंधित उपसंग्रह द्वारा।

आवरण लेम्मा से आवरण प्रमेय तक

कवरिंग लेम्मा को विटाली कवरिंग प्रमेय के निम्नलिखित मूल रूप के प्रमाण में मध्यवर्ती चरण के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।

Theorem — For every subset E of R^d and every Vitali cover of E by a collection F of closed balls, there exists a disjoint subcollection G which covers E up to a Lebesgue-negligible set.

सबूत: व्यापकता के नुकसान के बिना, कोई यह मान सकता है कि F में सभी गेंदें गैर-डीजेनरेट हैं और त्रिज्या 1 से कम या उसके बराबर है। $\mathbf {G}$ F का ऐसा है कि प्रत्येक गेंद B ∈ F एक गेंद C ∈ G को काटती है जिसके लिए B' ⊂ 5 C है। चलो r > 0 दिया जाता है, और Z अंक z ∈ E के सेट को दर्शाता है जो G से किसी भी गेंद में शामिल नहीं हैं और खुले से संबंधित हैं गेंद बी(आर) त्रिज्या आर की, 0 पर केन्द्रित है। '।

होने देना $\mathbf {G} _{r}=\{C_{n}\}_{n}$ जी में उन गेंदों के उपसंग्रह को निरूपित करें जो बी(आर) से मिलते हैं। ध्यान दें कि $\mathbf {G} _{r}$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत हो सकता है। मान लीजिए z ∈ Z स्थिर है। प्रत्येक N के लिए, z संवृत समुच्चय से संबंधित नहीं है $K=\bigcup _{n\leq N}C_{n}$ Z की परिभाषा के अनुसार। लेकिन विटाली कवर संपत्ति के द्वारा, एक गेंद B ∈ 'F' जिसमें z शामिल है, B(r) में निहित है, और K से अलग हो सकता है। 'G' की संपत्ति से, गेंद B प्रतिच्छेद करती है कुछ गेंद $C_{i}\in \mathbf {G}$ और में निहित है $5C_{i}$. लेकिन क्योंकि K और B असंयुक्त हैं, हमारे पास i > N होना चाहिए। इसलिए $z\in 5C_{i}$ कुछ i> N के लिए, और इसलिए

$Z\subset \bigcup _{n>N}5C_{n}.$

यह प्रत्येक N के लिए असमानता देता है

$\lambda _{d}(Z)\leq \sum _{n>N}\lambda _{d}(5C_{n})=5^{d}\sum _{n>N}\lambda _{d}(C_{n}).$

लेकिन गेंदों के बाद से $\mathbf {G} _{r}$ बी (आर + 2) में शामिल हैं, और ये गेंदें अलग हैं जो हम देखते हैं

$\sum _{n}\lambda _{d}(C_{n})<\infty .$

इसलिए, उपरोक्त असमानता के दाईं ओर का पद 0 में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि N अनंत तक जाता है, जो दर्शाता है कि Z आवश्यकतानुसार नगण्य है।

अनंत-आयामी स्थान

विटाली कवरिंग प्रमेय अनंत-आयामी सेटिंग्स में मान्य नहीं है। इस दिशा में पहला परिणाम 1979 में डेविड प्राइस द्वारा दिया गया था: एक (अनंत-आयामी) वियोज्य अंतरिक्ष हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच पर गॉसियन माप γ मौजूद है ताकि विटाली कवरिंग प्रमेय (एच, बोरेल(एच), γ) के लिए विफल हो जाए। यह परिणाम 2003 में जारोस्लाव टिसर द्वारा मजबूत किया गया था: विटाली कवरिंग प्रमेय वास्तव में किसी भी (अनंत-आयामी) वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर हर अनंत-आयामी गॉसियन माप के लिए विफल रहता है।

यह भी देखें

• बेसिकोविच कवरिंग प्रमेय

संदर्भ

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• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005), Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces, Princeton Lectures in Analysis, III, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. xx+402, ISBN 0-691-11386-6, MR 2129625, Zbl 1081.28001
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