फ्रैक्शनल प्रोग्रामिंग

गणितीय अनुकूलन में, भिन्नात्मक प्रोग्रामिंग रैखिक-भिन्नात्मक प्रोग्रामिंग का एक सामान्यीकरण है। आंशिक कार्यक्रम में उद्देश्य कार्य दो कार्यों का अनुपात है जो सामान्य गैर-रैखिक हैं। अनुकूलित किया जाने वाला अनुपात अक्सर सिस्टम की किसी प्रकार की दक्षता का वर्णन करता है।

परिभाषा

होने देना $f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m$ एक सेट पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो $\mathbf {S} _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$. होने देना $\mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}:h_{j}({\boldsymbol {x}})\leq 0,j=1,\ldots ,m\}$. गैर रेखीय प्रोग्रामिंग

${\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} }{\text{maximize}}}\quad {\frac {f({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}},$

कहाँ $g({\boldsymbol {x}})>0$ पर $\mathbf {S}$, एक आंशिक कार्यक्रम कहा जाता है।

अवतल आंशिक कार्यक्रम

एक भिन्नात्मक कार्यक्रम जिसमें f गैर-ऋणात्मक और अवतल है, g धनात्मक और उत्तल है, और 'S' एक उत्तल सेट है जिसे 'अवतल भिन्नात्मक कार्यक्रम' कहा जाता है। यदि g affine है, तो f को चिह्न में प्रतिबंधित करने की आवश्यकता नहीं है। रैखिक भिन्नात्मक कार्यक्रम एक अवतल भिन्नात्मक कार्यक्रम का एक विशेष मामला है जहां सभी कार्य होते हैं $f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m$ सम्बन्धी हैं।

गुण

कार्यक्रम $q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})$ एस पर अर्ध-सख्त क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन है। यदि एफ और जी अलग-अलग हैं, तो क्यू स्यूडोकोनकेव फ़ंक्शन है। एक रेखीय भिन्नात्मक कार्यक्रम में, उद्देश्य फलन स्यूडोलिनियर फ़ंक्शन होता है।

एक अवतल कार्यक्रम में परिवर्तन

परिवर्तन से ${\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}$, किसी भी अवतल आंशिक कार्यक्रम को समतुल्य पैरामीटर मुक्त अवतल कार्यक्रम में बदला जा सकता है

${\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{maximize}}}\quad &tf\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{subject to}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}$

यदि g affine है, तो पहली बाधा को बदल दिया जाता है $tg({\frac {\boldsymbol {y}}{t}})=1$ और यह धारणा कि f अऋणात्मक है, छोड़ा जा सकता है।

द्वैत

समतुल्य अवतल क्रमादेश का लैग्रैन्जियन द्वैत है

${\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimize}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{subject to}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end{aligned}}$

संदर्भ

• Avriel, Mordecai; Diewert, Walter E.; Schaible, Siegfried; Zang, Israel (1988). Generalized Concavity. Plenum Press.
• Schaible, Siegfried (1983). "Fractional programming". Zeitschrift für Operations Research. 27: 39–54. doi:10.1007/bf01916898. S2CID 28766871.