बेज़ाउट की पहचान

गणित में, बेज़ाउट की पहचान (जिसे बेज़ाउट की लेम्मा भी कहा जाता है), एटिएन बेज़ाउट के नाम पर, निम्नलिखित प्रमेय है:

Bézout's identity — Let $a$ and $b$ be integers with greatest common divisor $d$ . Then there exist integers $x$ and $y$ such that $ax + by = d$ . Moreover, the integers of the form $az + bt$ are exactly the multiples of $d$ .

यहाँ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $0$ और $0$ होने के लिए लिया जाता है $0$ . पूर्णांक $x$ और $y$ के लिए बेज़ाउट गुणांक कहलाते हैं $(a, b)$ ; वे अद्वितीय नहीं हैं। बेज़ाउट गुणांक की एक जोड़ी को विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम द्वारा गणना की जा सकती है, और यह जोड़ी पूर्णांक के मामले में दो जोड़े में से एक है जैसे कि $|x|\leq |b/d|$ और $|y|\leq |a/d|;$ समानता तभी होती है जब एक $a$ और $b$ दूसरे का गुणज है।

उदाहरण के तौर पर, 15 और 69 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 3 है, और 3 को 15 और 69 के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है $3 = 15 \times (-9) + 69 \times 2,$ बेज़ाउट गुणांक -9 और 2 के साथ।

प्राथमिक संख्या सिद्धांत में कई अन्य प्रमेय, जैसे यूक्लिड की लेम्मा या चीनी शेष प्रमेय, बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होते हैं।

बेज़ाउट डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिसमें बेज़ाउट की पहचान होती है। विशेष रूप से, बेज़ाउट की पहचान प्रमुख आदर्श डोमेन में है। बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होने वाला प्रत्येक प्रमेय इस प्रकार सभी प्रमुख आदर्श डोमेन में सत्य है।

समाधान की संरचना

अगर $a$ और $b$ बेज़ाउट गुणांकों की शून्य और एक जोड़ी दोनों नहीं हैं $(x, y)$ गणना की गई है (उदाहरण के लिए, विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके), सभी जोड़ियों को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है

\left(x-k{\frac {b}{d}},\ y+k{\frac {a}{d}}\right),

कहाँ

k

एक मनमाना पूर्णांक है,

d

का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है

a

और

b

, और भिन्न पूर्णांकों में सरल हो जाते हैं।

अगर $a$ और $b$ दोनों अशून्य हैं, तो बेज़ाउट गुणांक के इन जोड़े में से दो संतुष्ट हैं

 $|x|\leq \left|{\frac {b}{d}}\right|\quad {\text{and}}\quad |y|\leq \left|{\frac {a}{d}}\right|,$

और समानता तभी हो सकती है जब इनमें से कोई एक हो $a$ और $b$ दूसरे को बांटता है।

यह यूक्लिडियन विभाजन की संपत्ति पर निर्भर करता है: दो गैर-शून्य पूर्णांक दिए गए हैं $c$ और $d$ , अगर $d$ विभाजित नहीं करता $c$ , बिल्कुल एक जोड़ी है $(q, r)$ ऐसा है कि $c=dq+r$ और $0<r<|d|,$ और दूसरा ऐसा है $c=dq+r$ और $-|d|<r<0.$ छोटे बेज़ाउट के गुणांकों के दो जोड़े दिए गए एक से प्राप्त होते हैं $(x, y)$ के लिए चयन करके $k$ उपरोक्त सूत्र में दो पूर्णांकों में से किसी एक के आगे ${\frac {x}{b/d}}$ .

विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म हमेशा इन दो न्यूनतम जोड़े में से एक का उत्पादन करता है।

उदाहरण

होने देना $a = 12$ और $b = 42$ , तब $gcd (12, 42) = 6$ . फिर बेज़ाउट की निम्नलिखित पहचानें हैं, बेज़ाउट गुणांक को न्यूनतम जोड़े के लिए लाल रंग में और दूसरे के लिए नीले रंग में लिखा गया है।

{\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times ({\color {red}{-1}})&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}

अगर

(x,y)=(18,-5)

बेज़ाउट गुणांकों की मूल जोड़ी है, तब

{\frac {18}{42/6}}\in [2,3]

के माध्यम से न्यूनतम जोड़े उत्पन्न करता है

k = 2

, क्रमश

k = 3

; वह है,

(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4, -1)

, और

(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3, 1)

.

प्रमाण

किसी भी अशून्य पूर्णांक को देखते हुए $a$ और $b$ , होने देना $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} {\text{ and }}ax+by>0\}.$ सेट $S$ खाली नहीं है क्योंकि इसमें दोनों शामिल हैं $a$ या $- a$ (साथ $x=\pm 1$ और $y=0$ ). तब से $S$ धनात्मक पूर्णांकों का एक अरिक्त समुच्चय है, इसमें एक न्यूनतम अवयव होता है $d=as+bt$ , सुव्यवस्थित सिद्धांत द्वारा। यह साबित करने के लिए $d$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $a$ और $b$ , यह सिद्ध होना चाहिए $d$ का सामान्य भाजक है $a$ और $b$ , और वह किसी अन्य उभयनिष्ठ भाजक के लिए $c$ , किसी के पास $c\leq d.$ का यूक्लिडियन विभाजन $a$ द्वारा $d$ लिखा जा सकता है

a=dq+r\quad {\text{with}}\quad 0\leq r<d.

शेष

r

में है

S\cup \{0\}

, क्योंकि

{\begin{aligned}r&=a-qd\\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}

इस प्रकार

r

स्वरूप का है

ax+by

, और इसलिए

r\in S\cup \{0\}.

हालाँकि,

0\leq r<d,

और

d

में सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है

S

: शेष

r

इसलिए में नहीं हो सकता

S

, बनाना

r

आवश्यक रूप से 0. इसका तात्पर्य है कि

d

का भाजक है

a

. उसी प्रकार

d

का विभाजक भी है

b

, और इसलिए

d

का सामान्य भाजक है

a

और

b

.

अब चलो $c$ का कोई सामान्य विभाजक हो $a$ और $b$ ; अर्थात् मौजूद हैं $u$ और $v$ ऐसा है कि $a=cu$ और $b=cv.$ एक इस प्रकार है

{\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}

वह है,

c

का भाजक है

d

. तब से

d>0,

यह संकेत करता है

c\leq d.

सामान्यीकरण

तीन या अधिक पूर्णांकों के लिए

बेज़ाउट की पहचान को दो से अधिक पूर्णांकों तक बढ़ाया जा सकता है: यदि

 $\gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d$

फिर पूर्णांक हैं $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ऐसा है कि

d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}

निम्नलिखित गुण हैं:

d इस रूप का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है
इस रूप की प्रत्येक संख्या d का गुणज है

बहुपदों के लिए

बेज़ाउट की पहचान हमेशा बहुपदों के लिए नहीं होती है। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों के बहुपद वलय में काम करते समय: का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $2 x$ और $x 2$ x है, लेकिन कोई पूर्णांक-गुणांक बहुपद p और q संतोषजनक मौजूद नहीं है $2 xp + x 2 q = x$ .

हालाँकि, बेज़ाउट की पहचान एक क्षेत्र (गणित) पर एकतरफा बहुपदों के लिए ठीक उसी तरह से काम करती है जैसे पूर्णांकों के लिए। विशेष रूप से बेज़ाउट के गुणांक और सबसे बड़ा आम विभाजक विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथम के साथ गणना की जा सकती है।

चूंकि दो बहुपदों के बहुपदों की आम जड़ उनके सबसे बड़े आम भाजक की जड़ें हैं, बेज़ाउट की पहचान और बीजगणित के मौलिक प्रमेय निम्नलिखित परिणाम दर्शाते हैं:

For univariate polynomials

f

and

g

with coefficients in a field, there exist polynomials a and b such that

af + bg = 1

if and only if

f

and

g

have no common root in any algebraically closed field (commonly the field of complex numbers).

इस परिणाम का किसी भी संख्या में बहुपदों और अनिश्चितों का सामान्यीकरण हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज है।

प्रमुख आदर्श डोमेन के लिए

जैसा कि परिचय में उल्लेख किया गया है, बेज़ाउट की पहचान न केवल पूर्णांकों के वलय (बीजगणित) में काम करती है, बल्कि किसी अन्य प्रमुख आदर्श डोमेन (PID) में भी काम करती है। यानी अगर $R$ एक पीआईडी है, और $a$ और $b$ के तत्व हैं $R$ , और $d$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $a$ और $b$ , फिर तत्व हैं $x$ और $y$ में $R$ ऐसा है कि $ax+by=d.$ कारण यह है कि आदर्श (रिंग थ्योरी) $Ra+Rb$ प्रधान और बराबर है $Rd.$ एक अभिन्न डोमेन जिसमें बेज़ाउट की पहचान होती है उसे बेज़ाउट डोमेन कहा जाता है।

इतिहास

फ्रांसीसी लोग गणितज्ञ एटिने बेज़ाउट (1730-1783) ने बहुपदों के लिए इस पहचान को साबित किया।^[1] पूर्णांकों के लिए यह कथन पहले से ही फ्रांसीसी गणितज्ञ, क्लॉड गैसपार्ड बाचेत डी मेजिरियाक (1581-1638) के काम में पाया जा सकता है।^[2]^[3]^[4]

यह भी देखें

AF+BG theorem, तीन अनिश्चित में सजातीय बहुपदों के लिए बेज़ाउट की पहचान का एक एनालॉग
Euclid's lemma
Fundamental theorem of arithmetic

↑ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.
↑ Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
↑ Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. On these pages, Bachet proves (without equations) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Given two numbers [which are] relatively prime, find the lowest multiple of each of them [such that] one multiple exceeds the other by unity (1).) This problem (namely, ax - by = 1) is a special case of Bézout's equation and was used by Bachet to solve the problems appearing on pages 199 ff.
↑ See also: Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

बाहरी संबंध

Online calculator for Bézout's identity.
Weisstein, Eric W. "Bézout's Identity". MathWorld.

[1] Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.

[2] Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.

[3] Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. On these pages, Bachet proves (without equations) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Given two numbers [which are] relatively prime, find the lowest multiple of each of them [such that] one multiple exceeds the other by unity (1).) This problem (namely, ax - by = 1) is a special case of Bézout's equation and was used by Bachet to solve the problems appearing on pages 199 ff.

[4] See also: Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

[1]

[2]

[3]

[4]

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