सदिश अनुकूलन

वेक्टर अनुकूलन गणितीय अनुकूलन का एक उपक्षेत्र है जहां वेक्टर-मूल्यवान उद्देश्य कार्यों के साथ अनुकूलन समस्या को दिए गए आंशिक क्रम के संबंध में अनुकूलित किया जाता है और कुछ बाधाओं के अधीन होता है। एक बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या एक वेक्टर अनुकूलन समस्या का एक विशेष मामला है: वस्तुनिष्ठ स्थान परिमित आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष है जो आंशिक रूप से घटक-वार कम या उसके बराबर होता है।

समस्या निर्माण

गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)$

कहाँ $f:X\to Z$ आंशिक रूप से आदेशित सदिश स्थल के लिए $Z$. आंशिक क्रम एक शंकु द्वारा प्रेरित होता है $C\subseteq Z$. $X$ एक मनमाना सेट है और $S\subseteq X$ व्यवहार्य समुच्चय कहलाता है।

समाधान अवधारणाएँ

उनमें से विभिन्न न्यूनतम धारणाएँ हैं:

• ${\bar {x}}\in S$ यदि प्रत्येक के लिए एक कमजोर कुशल बिंदु (कमजोर मिनिमाइज़र) है $x\in S$ किसी के पास $f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C$.
• ${\bar {x}}\in S$ यदि प्रत्येक के लिए एक कुशल बिंदु (न्यूनतम) है $x\in S$ किसी के पास $f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}$.
• ${\bar {x}}\in S$ एक उचित रूप से कुशल बिंदु (उचित मिनिमाइज़र) है यदि ${\bar {x}}$ क्लोजर (गणित) उत्तल शंकु के संबंध में एक कमजोर कुशल बिंदु है ${\tilde {C}}$ कहाँ $C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}$.

हर उचित मिनिमाइज़र एक मिनिमाइज़र है। और हर मिनिमाइज़र एक कमजोर मिनिमाइज़र है। आधुनिक समाधान अवधारणाओं में न केवल न्यूनतमता की धारणाएं शामिल हैं बल्कि न्यूनतम उपलब्धि को भी ध्यान में रखा जाता है।

समाधान के तरीके

• रैखिक वेक्टर अनुकूलन समस्याओं के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम।

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन से संबंध

किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)$

कहाँ $f:X\to \mathbb {R} ^{d}$ और $\mathbb {R} _{+}^{d}$ का गैर-नकारात्मक orthant है $\mathbb {R} ^{d}$. इस प्रकार इस सदिश अनुकूलन समस्या का न्यूनीकरण पारेटो दक्ष बिंदु हैं।