प्रवर समुच्चय

के विभाजकों का एक हसी आरेख $210$, संबंध द्वारा आदेशित ऊपरी सेट के साथ, का विभाजक है $\uparrow 2$ रंगीन हरा।सफेद सेट निचले सेट का निर्माण करते हैं $\downarrow 105.$

गणित में, एक ऊपरी सेट (जिसे ऊपर की ओर बंद सेट भी कहा जाता है, एक परेशान, या x में एक आइसोटोन सेट) एक आंशिक रूप से आदेशित सेट $(X,\leq )$ एक सबसेट है $S\subseteq X$ निम्नलिखित संपत्ति के साथ: यदि S S में है और यदि x x में x से बड़ा है $s<x$), फिर एक्स एस में है दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि एक्स का कोई भी एक्स तत्व है $\,\geq \,$ एस के कुछ तत्व के लिए आवश्यक रूप से एस का एक तत्व भी है।

शब्द 'लोअर सेट' (जिसे 'डाउनवर्ड क्लोज्ड सेट' भी कहा जाता है, 'डाउन सेट', 'घटते सेट', 'प्रारंभिक खंड', या 'अर्ध-आदर्श') को इसी तरह परिभाषित किया गया है।संपत्ति कि x का कोई भी तत्व x है $\,\leq \,$ एस के कुछ तत्व के लिए आवश्यक रूप से एस का एक तत्व भी है।

परिभाषा

होने देना $(X,\leq )$ एक पूर्व निर्धारित सेट हो। एकupper setमें $X$ (यह भी कहा जाता हैupward closed set, एकupset, या एकisotone तय करना) एक सबसेट है $U\subseteq X$ यह ऊपर जाने के तहत बंद है, इस अर्थ में

सभी के लिए $u\in U$ और सभी $x\in X,$ अगर $u\leq x$ तब $x\in U.$

द्वंद्व (आदेश सिद्धांत) धारणा एक हैlower set(यह भी कहा जाता हैdownward closed set,down set,decreasing set,initial segment, याsemi-ideal), जो एक सबसेट है $L\subseteq X$ यह नीचे जाने के तहत बंद है, इस अर्थ में

सभी के लिए $l\in L$ और सभी $x\in X,$ अगर $x\leq l$ तब $x\in L.$

शर्तेंorder idealयाidealकभी -कभी निचले सेट के लिए पर्यायवाची के रूप में उपयोग किया जाता है। शब्दावली की यह पसंद जाली (ऑर्डर) के एक आदर्श की धारणा को प्रतिबिंबित करने में विफल रहती है क्योंकि जरूरी जरूरी नहीं कि जरूरी एक सबलैटिस हो।

गुण

• प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट खुद का एक ऊपरी सेट है।
• ऊपरी सेट के किसी भी परिवार का चौराहा (सेट सिद्धांत) और संघ (सेट सिद्धांत) फिर से एक ऊपरी सेट है।
• किसी भी ऊपरी सेट का पूरक (सेट सिद्धांत) एक निचला सेट है, और इसके विपरीत।
• एक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को दिया गया $(X,\leq ),$ के ऊपरी सेट का परिवार $X$ समावेश (सेट सिद्धांत) संबंध के साथ आदेश दिया गया एक पूर्ण जाली है, ऊपरी सेट जाली।
• एक मनमाना सबसेट दिया गया $Y$ एक आंशिक रूप से आदेशित सेट $X,$ सबसे छोटा ऊपरी सेट युक्त $Y$ के रूप में एक अप तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया है $\uparrow Y$ (देखें #upper क्लोजर और लोअर क्लोजर)।
  • dally, सबसे छोटा निचला सेट युक्त $Y$ के रूप में एक नीचे तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया है $\downarrow Y.$
• एक निचले सेट को प्रिंसिपल कहा जाता है यदि यह फॉर्म का है $\downarrow \{x\}$ कहाँ $x$ का एक तत्व है $X.$
• हर निचला सेट $Y$ एक परिमित आंशिक रूप से आदेशित सेट $X$ के सभी अधिकतम तत्वों वाले सबसे छोटे निचले सेट के बराबर है $Y$ **$\downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)$ कहाँ $\operatorname {Max} (Y)$ के अधिकतम तत्वों वाले सेट को दर्शाता है $Y.$
• एक निर्देशित सेट लोअर सेट को एक ऑर्डर आदर्श कहा जाता है।
• आंशिक आदेशों के लिए अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए, एंटीचेन और ऊपरी सेट निम्नलिखित बायजेक्शन के माध्यम से एक-से-एक पत्राचार में हैं: प्रत्येक एंटीचैन को इसके ऊपरी बंद करने के लिए मैप करें (नीचे देखें);इसके विपरीत, प्रत्येक ऊपरी सेट को उसके न्यूनतम तत्वों के सेट पर मैप करें।यह पत्राचार अधिक सामान्य आंशिक आदेशों के लिए नहीं है;उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं के सेट $\{x\in \mathbb {R} :x>0\}$ और $\{x\in \mathbb {R} :x>1\}$ दोनों को खाली एंटीचैन में मैप किया जाता है।

ऊपरी क्लोजर और लोअर क्लोजर

एक तत्व दिया $x$ एक आंशिक रूप से आदेशित सेट $(X,\leq ),$ ऊपरी बंद या ऊपर की ओर बंद करना $x,$ द्वारा चिह्नित $x^{\uparrow X},$ $x^{\uparrow },$ या $\uparrow \!x,$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$$x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}$$

जबकि कम बंद या नीचे की ओर बंद होना $x$, द्वारा चिह्नित $x^{\downarrow X},$ $x^{\downarrow },$ या $\downarrow \!x,$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$$x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.$$

सेट $\uparrow \!x$ और $\downarrow \!x$ क्रमशः, सबसे छोटे ऊपरी और निचले सेट होते हैं $x$ एक तत्व के रूप में। अधिक आम तौर पर, एक सबसेट दिया गया $A\subseteq X,$ ऊपरी/ऊपर की ओर बंद होने और निचले/नीचे की ओर बंद होने को परिभाषित करें $A,$ द्वारा चिह्नित $A^{\uparrow X}$ और $A^{\downarrow X}$ क्रमशः, के रूप में

$$A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a$$

और

$$A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.$$
 इस प्रकार से, $\uparrow x=\uparrow \{x\}$ और $\downarrow x=\downarrow \{x\},$ जहां इस फॉर्म के ऊपरी सेट और निचले सेट को प्रिंसिपल कहा जाता है।एक सेट का ऊपरी बंद और निचला बंद होना, क्रमशः सबसे छोटा ऊपरी सेट और निचला सेट है।

ऊपरी और निचले क्लोजर, जब पावर सेट से फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है $X$ अपने आप में, कुरातोव्स्की बंद स्वयंसिद्ध#परिभाषा के उदाहरण हैं क्योंकि वे कुरातोव्स्की क्लोजर एंसिओम्स के सभी को संतुष्ट करते हैं।नतीजतन, एक सेट का ऊपरी बंद होना सभी ऊपरी सेटों के चौराहे के बराबर है, और इसी तरह निचले सेटों के लिए।(वास्तव में, यह क्लोजर ऑपरेटरों की एक सामान्य घटना है। उदाहरण के लिए, एक सेट का सामयिक बंद करना इसमें शामिल सभी बंद सेटों का चौराहा है; वैक्टर के एक सेट का रैखिक अवधि सभी रैखिक उप -समूह का चौराहा है;एक समूह (गणित) के एक समूह का निर्माण सेट करना सभी उपसमूहों का चौराहा है, जिसमें एक अंगूठी (गणित) के एक सबसेट द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) सभी आदर्शों का चौराहा है, जो इसे समाहित करता है; और इसी तरह)।

क्रमसूचक संख्या

एक क्रमिक संख्या को आमतौर पर सभी छोटे क्रमिक संख्याओं के सेट के साथ पहचाना जाता है।इस प्रकार प्रत्येक ऑर्डिनल संख्या सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग में एक निचला सेट बनाती है, जो पूरी तरह से निर्धारित समावेश द्वारा आदेशित हैं।

यह भी देखें

• सार सरलीशान परिसर (जिसे भी कहा जाता है: स्वतंत्रता प्रणाली)-एक सेट-परिवार जो कि नियंत्रण संबंध के संबंध में नीचे की ओर-बंद है।
• कोफिनल सेट - एक सबसेट $U$ एक आंशिक रूप से आदेशित सेट $(X,\leq )$ जिसमें हर तत्व के लिए शामिल है $x\in X,$ कुछ तत्व $y$ ऐसा है कि $x\leq y.$

संदर्भ

• Blanck, J. (2000). "Domain representations of topological spaces" (PDF). Theoretical Computer Science. 247 (1–2): 229–255. doi:10.1016/s0304-3975(99)00045-6.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Hoffman, K. H. (2001), The low separation axioms (T₀) and (T₁)