परिवर्तनशील असमानता

गणित में, परिवर्तनशील असमानता एक असमानता (गणित) है जिसमें कार्यात्मक (गणित) सम्मिलित है, जिसे असमानता (गणित) होना चाहिए किसी दिए गए चर (गणित) के सभी संभावित मूल्यों के लिए असमानताओं को हल करना, सामान्यतयः उत्तल समुच्चय से संबंधित होता है। परिवर्तनशील असमानताओं के गणितीय सिद्धांत को शुरू में संतुलन बिंदु समस्याओं से निपटने के लिए विकसित किया गया था, ठीक सिग्नोरिनी समस्या: उस मॉडल समस्या में, सम्मिलित कार्यात्मक को सम्मिलित सिग्नोरिनी समस्या संभावित ऊर्जा की पहली भिन्नता के रूप में प्राप्त किया गया था। इसलिए, इसमें भिन्नता की गणना सम्मिलित है, जिसे सामान्य अमूर्त समस्या के नाम से याद किया जाता है। अर्थशास्त्र, वित्त, अनुकूलन (गणित) और खेल सिद्धांत से समस्याओं को सम्मिलित करने के लिए सिद्धांत की प्रयोज्यता का विस्तार किया गया है।

इतिहास

भिन्नात्मक असमानता से जुड़ी पहली समस्या सिग्नोरिनी समस्या थी, जिसे 1959 में एंटोनियो सिग्नोरिनी (भौतिक विज्ञानी) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और सन्दर्भों के अनुसार गेटानो फिचेरा द्वारा 1963 में हल किया गया था। (एंटमैन 1983, pp. 282–284) और (फिचेरा 1995): थ्योरी के पहले पेपर थे (फिचेरा 1963) और (फिचेरा 1964a), (फिचेरा 1964b). बाद में, गुइडो स्टैम्पाचिया ने लैक-मिलग्राम प्रमेय में अपने सामान्यीकरण को सिद्ध कर दिया (स्टैम्पाचिया 1964) आंशिक अंतर समीकरणों के लिए नियमितता की समस्या का अध्ययन करने के लिए और इस तरह की असमानता (गणित) से जुड़ी सभी समस्याओं के लिए परिवर्तनशील असमानता का नाम गढ़ा। 1965 में ब्रिक्सन में सम्मेलन में भाग लेने के बाद जॉर्जेस डुवॉल्ट ने अपने स्नातक छात्रों को फिचेरा के काम का अध्ययन करने और विस्तार करने के लिए प्रोत्साहित किया, जहां फिचेरा ने सिग्नोरिनी समस्या का अपना अध्ययन प्रस्तुत किया, जैसा कि एंटमैन 1983, p. 283 सूची: इस प्रकार सिद्धांत पूरे फ्रांस में व्यापक रूप से जाना जाता है। इसके अतिरिक्त 1965 में, स्टैम्पाचिया और जैक्स-लुई लायंस ने (स्टैम्पेचिया 1964) के पहले के परिणामों को आगे बढ़ाया, उन्हें पेपर में घोषित किया (लायंस & स्टैम्पाचिया 1965): उनके परिणामों का पूरा प्रमाण बाद में पेपर में दिखाई दिया (लायंस & स्टैम्पाचिया 1967)|

परिभाषा

अगले एंटमैन (1983, p. 283), परिवर्तनशील असमानता की परिभाषा निम्नलिखित है।

परिभाषा 1. एक बनच स्थान दिया ${\boldsymbol {E}}$, उपसमुच्चय ${\boldsymbol {K}}$ का ${\boldsymbol {E}}$, और कार्यात्मक $F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{\ast }$ से ${\boldsymbol {K}}$ दोहरी जगह के लिए ${\boldsymbol {E}}^{\ast }$ अंतरिक्ष का ${\boldsymbol {E}}$,

परिवर्तनीय असमानता की समस्या है (गणित) असमानताओं को हल करना एक चर के लिए (गणित) $x$ से संबंधित ${\boldsymbol {K}}$ निम्नलिखित असमानता (गणित):

$\langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in {\boldsymbol {K}}$

जहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R}$ दोहरी जगह है।

समानताय, परिवर्तनशील असमानता समस्या को किसी भी परिमित समुच्चय - या अनंत समुच्चय-आयामी बैनच स्थान पर तैयार किया जा सकता है। समस्या के अध्ययन के तीन स्पष्ट चरण निम्नलिखित हैं:

1. समाधान के अस्तित्व को सिद्ध करें: यह कदम समस्या की गणितीय शुद्धता को दर्शाता है, यह दर्शाता है कि कम से कम एक समाधान है।
2. दिए गए समाधान की विशिष्टता को सिद्ध करें: यह चरण समस्या की भौतिक शुद्धता का तात्पर्य है, यह दर्शाता है कि भौतिक घटना का प्रतिनिधित्व करने के लिए समाधान का उपयोग किया जा सकता है। यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण अवसर है क्योंकि परिवर्तनशील असमानताओं द्वारा प्रतिरूपित अधिकांश समस्याएँ भौतिक मूल की हैं।
3. समाधान खोजो या उसकी नियमितता सिद्ध करो।

उदाहरण

वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने की समस्या

यह एक मानक उदाहरण समस्या है, एंटमैन द्वारा सूची की गई एंटमैन (1983, p. 283): अवकलनीय फलन का न्यूनतम ज्ञात करने की समस्या पर विचार करें $f$ एक बंद अंतराल पर $I=[a,b]$. होने देना $x^{\ast }$ में एक बिंदु हो $I$ जहां न्यूनतम होता है। तीन स्थितियांहो सकते हैं:

1. यदि $a<x^{\ast }<b,$ तब $f^{\prime }(x^{\ast })=0;$
2. यदि $x^{\ast }=a,$ तब $f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;$
3. यदि $x^{\ast }=b,$ तब $f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.$

इन आवश्यक नियम को $x^{\ast }\in I$ खोजने की समस्या के रूप में सारांशित किया जा सकता है जैसे कि

$f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad$ के लिए $\quad \forall y\in I.$

पूर्ववर्ती असमानता (गणित) के समाधान (यदि एक से अधिक हैं) के बीच पूर्ण न्यूनतम खोजा जाना चाहिए: ध्यान दें कि समाधान एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह परिमित आयाम (गणित) परिवर्तनशील असमानता है।

सामान्य परिमित-आयामी परिवर्तनशील असमानता

$\mathbb {R} ^{n}$ में सामान्य समस्या का सूत्रीकरण निम्नलिखित है: $\mathbb {R} ^{n}$ का एक उपसमुच्चय K दिया गया है और एक मानचित्रण ${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}}$, परिमित समुच्चय-डायमेंशनल वेरिएबल असमानता समस्या से संबंधित है $K$ एक आयाम खोजने से मिलकर बनता है |$n$-आयामी यूक्लिडियन वेक्टर $x$ से संबंधित है $K$ ऐसा है कि

$\langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K$

जहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ सदिश स्थान पर मानक आंतरिक उत्पाद है $\mathbb {R} ^{n}$.

सिग्नोरिनी समस्या के लिए परिवर्तनशील असमानता

मौलिक सिग्नोरिनी समस्या: रैखिक लोच क्या होगी या इलास्टोस्टैटिक्स कॉन्टिनम मैकेनिक्स या नारंगी गोलाकार आकार के भौतिक शरीर के मॉडल का निरूपण नीले कठोर शरीर घर्षण रहित विमान (ज्यामिति) पर आराम कर रहा है?

ऐतिहासिक सर्वेक्षण (फिचेरा 1995) में, गेटानो फिचेरा सिग्नोरिनी समस्या के अपने समाधान की उत्पत्ति का वर्णन करता है: समस्या लोचदार संतुलन विन्यास ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ खोजने में सम्मिलित है। अनिसोट्रोपिक गैर-समरूप लोचदार शरीर का है जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उपसमुच्चय A में स्थित है जिसकी सीमा (टोपोलॉजी) ∂ A \ है आंशिक रूप से A कठोर घर्षण रहित सतह (टोपोलॉजी) पर आराम कर रहा है और केवल इसके द्रव्यमान बलों के अधीन है। समस्या का समाधान U उपस्थित है और स्वीकार्य विस्थापन के समुच्चय (गणित) में अद्वितीय (स्पष्ट मान्यताओं के अनुसार ) है ${\mathcal {U}}_{\Sigma }$ अर्थात सिग्नोरिनी समस्या की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले विस्थापन वैक्टर का समुच्चय अस्पष्ट सीमा की स्थिति यदि और केवल यदि

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

जहाँ $B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})$ और $F({\boldsymbol {v}})$ निम्नलिखित कार्यात्मक (गणित) हैं, आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके लिखा गया

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x$, $F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma$, ${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

जहाँ, सभी के लिए ${\boldsymbol {x}}\in A$,

• $\Sigma$ संपर्क (यांत्रिकी) सतह (टोपोलॉजी) है (या अधिक सामान्यतः एक संपर्क समुच्चय (गणित)),
• ${\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ क्या शरीर बल शरीर पर प्रयुक्त होता है,
• ${\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ सतही बल लगाया जाता है $\partial A\!\setminus \!\Sigma$,
• ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)$ है अति सूक्ष्म निस्यंदन,
• ${\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)$ कॉची तनाव टेंसर है, जिसे परिभाषित किया गया है

$\sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3$

जहाँ ${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$ लोचदार संभावित ऊर्जा है और ${\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)$ लोच टेंसर है।

यह भी देखें

• पूरक सिद्धांत
• विभेदक परिवर्तनशील असमानता
• विस्तारित गणितीय प्रोग्रामिंग (ईएमपी) या संतुलन समस्याएं
• संतुलन बाधाओं के साथ गणितीय प्रोग्रामिंग
• बाधा समस्या
• अनुमानित गतिशील प्रणाली
• सिग्नोरिनी समस्या
• एकतरफा संपर्क

संदर्भ

ऐतिहासिक संदर्भ

• Antman, Stuart (1983), "The influence of elasticity in analysis: modern developments", Bulletin of the American Mathematical Society, 9 (3): 267–291, doi:10.1090/S0273-0979-1983-15185-6, MR 0714990, Zbl 0533.73001. लोच सिद्धांत और गणितीय विश्लेषण की उपयोगी बातचीत के बारे में एक ऐतिहासिक पेपर: गेटानो फिचेरा द्वारा परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत का निर्माण §5, पृष्ठ 282-284 में वर्णित है।
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus", Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970, ICM Proceedings, vol. Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) – Volume 3, Paris: Gauthier-Villars, pp. 71–78, archived from the original (PDF) on 2015-07-25, retrieved 2015-07-25. भिन्नतात्मक असमानताओं के क्षेत्र का वर्णन करने वाला एक संक्षिप्त शोध सर्वेक्षण, एकतरफा बाधाओं के साथ निरंतर यांत्रिकी समस्याओं का उप-क्षेत्र।
• Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 ottobre 1993, Atti dei Convegni Lincei (in Italian), vol. 114, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei, pp. 47–53{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत का जन्म तीस साल बाद याद किया गया (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) एक ऐतिहासिक पत्र है जो इसके संस्थापक के दृष्टिकोण से परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत का प्रारंभ का वर्णन करता है।

वैज्ञानिक कार्य

• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol. 1, Springer Series in Operations Research, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95580-1, Zbl 1062.90001
• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol. 2, Springer Series in Operations Research, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95581-X, Zbl 1062.90001
• Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [On the elastostatic problem of Signorini with ambiguous boundary conditions], Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (in Italian), 34 (2): 138–142, MR 0176661, Zbl 0128.18305{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). सिग्नोरिनी समस्या के समाधान की घोषणा और वर्णन (बिना प्रमाण के) एक लघु शोध नोट।
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [Elastostatic problems with unilateral constraints: the Signorini problem with ambiguous boundary conditions], Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (in Italian), 7 (2): 91–140, Zbl 0146.21204{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). पहला पेपर जहां सिग्नोरिनी समस्या के लिए एक अस्तित्व प्रमेय और विशिष्टता प्रमेय सिद्ध होता है।
• Fichera, Gaetano (1964b), "Elastostatic problems with unilateral constraints: the Signorini problem with ambiguous boundary conditions", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963, Rome: Edizioni Cremonese, pp. 613–679. का अंग्रेजी अनुवाद (Fichera 1964a).
• Glowinski, Roland; Lions, Jacques-Louis; Trémolières, Raymond (1981), Numerical analysis of variational inequalities. Translated from the French, Studies in Mathematics and its Applications, vol. 8, Amsterdam–New York–Oxford: North-Holland, pp. xxix+776, ISBN 0-444-86199-8, MR 0635927, Zbl 0463.65046
• Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Pure and Applied Mathematics, vol. 88, Boston–London–New York–San Diego–Sydney–Tokyo–Toronto: Academic Press, ISBN 0-89871-466-4, Zbl 0457.35001.
• Lions, Jacques-Louis; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquations variationnelles non coercives", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 261: 25–27, Zbl 0136.11906, फ्रेंच में उपलब्ध है। पेपर के परिणामों की घोषणा (Lions & Stampacchia 1967).
• Lions, Jacques-Louis; Stampacchia, Guido (1967), "Variational inequalities", Communications on Pure and Applied Mathematics, 20 (3): 493–519, doi:10.1002/cpa.3160200302, Zbl 0152.34601, archived from the original on 2013-01-05. परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत के लिए लेखकों के अमूर्त दृष्टिकोण का वर्णन करने वाला एक महत्वपूर्ण पेपर।
• Roubíček, Tomáš (2013), Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, ISNM. International Series of Numerical Mathematics, vol. 153 (2nd ed.), Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser Verlag, pp. xx+476, doi:10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN 978-3-0348-0512-4, MR 3014456, Zbl 1270.35005.
• Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 258: 4413–4416, Zbl 0124.06401, गैलिका में उपलब्ध है। लैक-मिलग्राम प्रमेय के स्टैम्पेचिया के सामान्यीकरण वाला पेपर।

बाहरी संबंध

• Panagiotopoulos, P.D. (2001) [1994], "Variational inequalities", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Alessio Figalli, On global homogeneous solutions to the Signorini problem,