न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)

For the minimal polynomial of a matrix, see Minimal polynomial (linear algebra).

क्षेत्र सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, क्षेत्र विस्तार के एक तत्व α का न्यूनतम बहुपद, क्षेत्र में गुणांक वाले सबसे कम डिग्री का बहुपद है, जैसे कि α बहुपद की जड़ है। यदि α का न्यूनतम बहुपद मौजूद है, तो यह अद्वितीय है। बहुपद में उच्चतम घात पद का गुणांक 1 होना आवश्यक है।

अधिक औपचारिक रूप से, एक न्यूनतम बहुपद को क्षेत्र विस्तार E/F और विस्तार क्षेत्र E/F के एक तत्व के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है। किसी तत्व का न्यूनतम बहुपद, यदि वह मौजूद है, F [x] का एक सदस्य है, चर x में बहुपदों का वृत्त F में गुणांक के साथ है। E के एक तत्व α को देखते हुए, Jα को F[x] में सभी बहुपदों f(x) का श्रेणी होने दें, जैसे कि f(α) = 0। तत्व α को Jα में प्रत्येक बहुपद का मूल या शून्य कहा जाता है

अधिक विशेष रूप से, Jα F [x] से E तक वृत्त समरूपता का आधार है जो बहुपद g को तत्व α पर उनके मान g (α) में भेजता है। क्योंकि यह एक वृत्त समरूपता का आधार है, Jα बहुपद वलय F [x] का एक आदर्श बहुपद जोड़ और घटाव (शून्य बहुपद युक्त) के साथ-साथ F के तत्वों द्वारा गुणन के तहत बंद है (जो अदिश गुणन है यदि F [x] को F पर एक सदिश स्थान माना जाता है)।

शून्य बहुपद, जिसके सभी गुणांक 0 हैं, प्रत्येक में है J_α तब से 0αⁱ = 0 सभी के लिए α और i. यह शून्य बहुपद को के विभिन्न मानों को वर्गीकृत करने के लिए अनुपयोगी बनाता है α प्रकारों में, इसलिए यह अपेक्षित है। यदि कोई शून्येतर बहुपद है J_α, यानी यदि उत्तरार्द्ध शून्य आदर्श नहीं है, तब α एक बीजगणितीय तत्व कहा जाता है F, और कम से कम डिग्री का एक मोनिक बहुपद मौजूद है J_α. यह का न्यूनतम बहुपद है α इसके संबंध में E/F. यह अद्वितीय और अलघुकरणीय बहुपद है F. यदि शून्य बहुपद का एकमात्र सदस्य है J_α, तब α पारलौकिक तत्व कहा जाता है F और के संबंध में कोई न्यूनतम बहुपद नहीं है E/F.

फ़ील्ड एक्सटेंशन के निर्माण और विश्लेषण के लिए न्यूनतम बहुपद उपयोगी होते हैं। कब α न्यूनतम बहुपद के साथ बीजगणितीय है f(x), वह सबसे छोटा फ़ील्ड जिसमें दोनों शामिल हैं F और α भागफल वलय के लिए वलय समरूपता है F[x]/⟨f(x)⟩, कहाँ ⟨f(x)⟩ का आदर्श है F[x] द्वारा उत्पन्न f(x). संयुग्मी तत्वों को परिभाषित करने के लिए न्यूनतम बहुपद का भी उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

मान लीजिए कि E/F एक क्षेत्र विस्तार है, α E का एक अवयव है, और F[x] x पर F में बहुपदों का वलय है। तत्व α का न्यूनतम बहुपद होता है जब α, F पर बीजगणितीय होता है, जब f(α) ) = 0 F[x] में कुछ गैर-शून्य बहुपद f(x) के लिए। फिर α के न्यूनतम बहुपद को F [x] में सभी बहुपदों के बीच कम से कम डिग्री के मोनिक बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें α एक जड़ के रूप में होता है।

गुण

इस पूरे खंड में, मान लीजिए E/F ऊपर दिए अनुसार F पर एक क्षेत्र विस्तार है, मान लीजिए α ∈ E, F के ऊपर एक बीजगणितीय तत्व है और J को_α α पर लुप्त होने वाले बहुपदों का आदर्श बनें।

विशिष्टता

α का न्यूनतम बहुपद f अद्वितीय है।

इसे सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि J में f और g एकात्मक बहुपद हैं_α न्यूनतम डिग्री n > 0. हमारे पास r := f−g ∈ J है_α (क्योंकि बाद वाला जोड़/घटाव के तहत बंद है) और वह m := deg(r) < n (क्योंकि बहुपद एक ही डिग्री के मोनिक हैं)। यदि आर शून्य नहीं है, तो आर / सी_m (लेखन सी_m ∈ एफ आर में उच्चतम डिग्री के गैर-शून्य गुणांक के लिए) डिग्री एम <एन का एक मोनिक बहुपद है जैसे कि आर / सी_m ∈ जे_α (क्योंकि उत्तरार्द्ध एफ के गैर-शून्य तत्वों द्वारा गुणा/विभाजन के तहत बंद है), जो एन के लिए न्यूनतमता की हमारी मूल धारणा के विपरीत है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 = r = f - g, यानी कि f = g।

इर्रेड्यूसबिलिटी

α का न्यूनतम बहुपद f अप्रासंगिक है, अर्थात इसे दो बहुपदों g और h के सख्ती से कम डिग्री के लिए f = gh के रूप में कारक नहीं बनाया जा सकता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, पहले देखें कि कोई भी गुणनखंडन f = gh का तात्पर्य है कि या तो g(α) = 0 या h(α) = 0, क्योंकि f(α) = 0 और F एक क्षेत्र है (इसलिए एक अभिन्न डोमेन भी है)। जी और एच दोनों को एफ से सख्ती से कम डिग्री का चयन करना तब एफ पर न्यूनतम आवश्यकता का खंडन करेगा, इसलिए एफ को अप्रासंगिक होना चाहिए।

न्यूनतम बहुपद जे उत्पन्न करता है_α

α का न्यूनतम बहुपद f आदर्श J उत्पन्न करता है_α, यानी जे में हर जी_α F[x] में कुछ h' के लिए g=fh के रूप में गुणनखण्ड किया जा सकता है।

यह साबित करने के लिए, यह निरीक्षण करना पर्याप्त है कि F[x] एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, क्योंकि F एक क्षेत्र है: इसका मतलब है कि F[x], J में हर आदर्श I_α उनमें से, एक तत्व f द्वारा उत्पन्न होता है। शून्य आदर्श I = {0} के अपवाद के साथ, जनरेटर f को गैर-शून्य होना चाहिए और यह न्यूनतम डिग्री का अद्वितीय बहुपद होना चाहिए, F में एक कारक तक (क्योंकि fg की डिग्री सख्ती से उससे बड़ी है) f जब भी g शून्य से अधिक डिग्री का हो)। विशेष रूप से, एक अद्वितीय मोनिक जनरेटर f है, और सभी जनरेटर को अलघुकरणीय होना चाहिए। जब मुझे J होने के लिए चुना जाता है_α, एफ पर α बीजगणितीय के लिए, फिर मोनिक जेनरेटर एफ α का न्यूनतम बहुपद है।

उदाहरण

गैल्वा क्षेत्र विस्तार का न्यूनतम बहुपद

गैलोज फील्ड एक्सटेंशन दिया गया है $L/K$ किसी का न्यूनतम बहुपद $\alpha \in L$ अंदर नही $K$

के रूप में गणना की जा सकती है$f(x)=\prod _{\sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}(x-\sigma (\alpha ))$

अगर $\alpha$ गैलोज कार्रवाई में कोई स्टेबलाइजर्स नहीं है। चूँकि यह अप्रासंगिक है, जिसकी जड़ों को देखकर इसका अनुमान लगाया जा सकता है $f'$, यह न्यूनतम बहुपद है। ध्यान दें कि उसी प्रकार का सूत्र प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है $G={\text{Gal}}(L/K)$ साथ $G/N$ कहाँ $N={\text{Stab}}(\alpha )$ का स्टेबलाइजर समूह है $\alpha$. उदाहरण के लिए, अगर $\alpha \in K$ तो इसका स्टेबलाइजर है $G$, इस तरह $(x-\alpha )$ इसका न्यूनतम बहुपद है।

द्विघात क्षेत्र विस्तार

क्यू (√2)

अगर एफ = 'क्यू', ई = 'आर', α = √2, तो α के लिए न्यूनतम बहुपद a(x) = x है² − 2. आधार क्षेत्र F महत्वपूर्ण है क्योंकि यह a(x) के गुणांकों की संभावनाओं को निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम F = 'R' लेते हैं, तो α = के लिए अल्पिष्ठ बहुपद √2 a(x) = x - है √2.

क्यू (√d)

सामान्य तौर पर, वर्ग-मुक्त द्वारा दिए गए द्विघात विस्तार के लिए $d$, किसी तत्व के न्यूनतम बहुपद की गणना करना $a+b{\sqrt {d}}$ गैलोज़ सिद्धांत का उपयोग करके पाया जा सकता है। फिर <ब्लॉककोट>${\begin{aligned}f(x)&=(x-(a+b{\sqrt {d}}))(x-(a-b{\sqrt {d}}))\\&=x^{2}-2ax+(a^{2}-b^{2}d)\end{aligned}}$विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है $2a\in \mathbb {Z}$ और $a^{2}-b^{2}d\in \mathbb {Z}$. यह निर्धारित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ एक द्विघात पूर्णांक के माध्यम से#पूर्णांकों के वलय का निर्धारण।

द्विवर्गीय फ़ील्ड एक्सटेंशन

अगर α = √2 + √3, तो Q[x] में न्यूनतम बहुपद a(x) = x है⁴ − 10x² + 1 = (x - √2 − √3)(एक्स + √2 − √3)(एक्स - √2 + √3)(एक्स + √2 + √3).

ध्यान दें अगर $\alpha ={\sqrt {2}}$ फिर गाल्वा कार्रवाई चालू ${\sqrt {3}}$ स्थिर $\alpha$. अतः भागफल समूह का प्रयोग करके न्यूनतम बहुपद ज्ञात किया जा सकता है ${\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )/{\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )$.

एकता की जड़ें

एकता की जड़ के Q[x] में न्यूनतम बहुपद साइक्लोटोमिक बहुपद हैं।

स्विनर्टन-डायर बहुपद

प्रथम n अभाज्य संख्याओं के वर्गमूलों के योग के Q[x] में न्यूनतम बहुपद का समान रूप से निर्माण किया जाता है, और इसे स्विनर्टन-डायर बहुपद कहा जाता है।

यह भी देखें

• पूर्णांकों का वलय
• बीजगणितीय संख्या क्षेत्र
• 2cos(2pi/n) का न्यूनतम बहुपद | का न्यूनतम बहुपद $2\cos(2\pi /n)$

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Algebraic Number Minimal Polynomial". MathWorld.
• Minimal polynomial at PlanetMath.
• Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5