समबाहु बहुभुज

ज्यामिति में, एक समबाहु बहुभुज एक ऐसा बहुभुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। त्रिभुज मामले को छोड़कर, एक समबाहु बहुभुज को समकोणिक बहुभुज (सभी कोण बराबर) होने की भी आवश्यकता नहीं है, लेकिन यदि ऐसा होता है तो यह एक नियमित बहुभुज है। यदि पक्षों की संख्या कम से कम पांच है, तो एक समबाहु बहुभुज को उत्तल बहुभुज होने की आवश्यकता नहीं है: यह अवतल बहुभुज हो सकता है या स्व-प्रतिच्छेदी बहुभुजों की सूची भी हो सकती है।

उदाहरण

सभी नियमित बहुभुज और आइसोटॉक्सल बहुभुज|किनारे-सकर्मक बहुभुज समबाहु हैं। जब एक समबाहु बहुभुज गैर-क्रॉसिंग होता है और चक्रीय बहुभुज (इसके शीर्ष एक वृत्त पर होते हैं) तो यह नियमित होना चाहिए। एक समबाहु चतुर्भुज उत्तल होना चाहिए; यह बहुभुज एक समचतुर्भुज (संभवतः एक वर्ग) है।

Convex equilateral pentagon

Concave equilateral pentagon

एक उत्तल समबाहु पंचभुज को लगातार दो कोणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो एक साथ अन्य कोणों को निर्धारित करते हैं। हालाँकि, समबाहु पंचकोण, और पाँच से अधिक भुजाओं वाले समबाहु बहुभुज भी अवतल हो सकते हैं, और यदि अवतल पंचकोणों की अनुमति है, तो दो कोण पंचकोण के आकार को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

एक स्पर्शरेखा बहुभुज (जिसकी सभी भुजाओं पर एक अंतवृत्त स्पर्शरेखा है) समबाहु है यदि और केवल यदि एकांतर कोण बराबर हैं (अर्थात्, कोण 1, 3, 5, ... बराबर हैं और कोण 2, 4, .. । बराबर हैं)। इस प्रकार यदि n भुजाओं की संख्या विषम है, तो एक स्पर्शरेखा बहुभुज समबाहु है यदि और केवल यदि यह नियमित है।

नाप

विवियानी की प्रमेय समबाहु बहुभुजों के लिए सामान्यीकरण करती है: एक आंतरिक बिंदु से समबाहु बहुभुज की भुजाओं तक लंबवत दूरियों का योग आंतरिक बिंदु के स्थान से स्वतंत्र होता है।

एक षट्भुज के प्रत्येक प्रमुख विकर्ण षट्भुज को चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं। उभयनिष्ठ भुजा a वाले किसी उत्तल समबाहु षट्भुज में, एक मुख्य विकर्ण d मौजूद होता है₁ ऐसा है कि

${\frac {d_{1}}{a}}\leq 2$

और एक मुख्य विकर्ण d₂ ऐसा है कि

${\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}$.

इष्टतमता

Main article: Reinhardt polygon

चार रेनहार्ड्ट पेंटाडेकागॉन

जब एक समबाहु बहुभुज को रेलेक्स बहुभुज में अंकित किया जाता है, तो यह एक रेनहार्ड्ट बहुभुज बनाता है। भुजाओं की समान संख्या वाले सभी उत्तल बहुभुजों में, इन बहुभुजों में उनके व्यास के लिए सबसे बड़ा संभावित परिमाप, उनके व्यास के लिए निरंतर चौड़ाई का सबसे बड़ा संभव वक्र, और उनके परिमाप के लिए सबसे बड़ी संभव चौड़ाई होती है।

बाहरी संबंध

• Media related to Equilateral polygons at Wikimedia Commons
• Equilateral triangle With interactive animation
• A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? a discussion of Viviani's theorem at Cut-the-knot.