गुणा

× ⋅
× ⋅
Multiplication signs
In Unicode	U+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (×); U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR (⋅)
Different from
Different from	U+00B7 · MIDDLE DOT; U+002E . FULL STOP

3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।

गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।

गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।

4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।

एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m²; 412 × 212 = 1114

गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक × द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया ⋅ द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा *) अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में $3\times 4$ लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

3\times 4=4+4+4=12

यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रम विनिमय गुण है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:

4\times 3=3+3+3+3=12

इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन को एक आयत (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई लंबाई होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन विमितीय विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ, और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे मैट्रिक्स गणित आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।

संकेतन और शब्दावली

अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न को या तो × या $\times$ शर्तों के बीच यानी, इन्फिक्स नोटेशन में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

2\times 3=6

3\times 4=12

2\times 3\times 5=6\times 5=30

2\times 2\times 2\times 2\times 2=32

गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:

गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए $x$ गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है,आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-

5\cdot 2

या

5\,.\,3

मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है U+22C5 ⋅ बिंदु ऑपरेटर, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग दशमलव विभाजक के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो इंटरपंक (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में अल्पविराम (विराम चिह्न) का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।^{[citation needed]}

ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और कालावधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि प्रौद्योगिकी मंत्रालय ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।

बीजगणित में, चर (गणित) से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, $xy$ के लिये $x$ बार $y$ या $5x$ पाँच बार के लिए $x$ , जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, $5(2)$ , $(5)2$ या $(5)(2)$ पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।।^{[citation needed]}
सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। रेखित गुणन आम तौर पर दो सदिश के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के बिंदु गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश गणित होता है।^{[citation needed]}

संगणक प्रोग्रामिंग में, तारांकन चिह्न जैसा कि 5*2 अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश संगणक ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे ASCII और EBCDIC तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि ⋅ या ×शमिल है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग फोरट्रान प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।^{[citation needed]}

गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर गुणन खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि लंबा गुणन , इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में $3xy^{2}$ को गुणांक कहा जाता है।

गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार $2\times \pi$ का एक बहुगुणज है $π$ , ऐसा है $5133\times 486\times \pi$ . पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।^{[citation needed]}

परिभाषाएँ

दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के बीच गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।

दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल

3 बटा 4 12 है

एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को रखकर $r$ पंक्तियाँ और $s$ कॉलम देता है

r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}

पत्थर।

दो पूर्णांकों का गुणनफल

पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त संकेत के साथ संयुक्त होता है:

{\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}

यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।

शब्दों में, हमारे पास है:

ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,
ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।

दो भिन्नों का गुणनफल

दो भिन्नों को उनके अंश और उनके हर को गुणा करके फिर गुणा किया जा सकता है:

{\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}

दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल

दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $a$ एक सेट $A$ हैं परिमेय संख्या $a$ के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा $A$ है :

a=\sup _{x\in A}x.

यदि $b$ एक और वास्तविक संख्या है जो की सबसे कम ऊपरी सीमा $B$ हैं गुणन $a\cdot b$ की तरह परिभाषित किया जाता है

a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.

यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है $A$ तथा $b$ . यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है $a\cdot b$ नहीं बदलता है।

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है $i^{2}=-1$ ,

निम्नलिखित अनुसार:

{\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}

ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।

सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को फिर से लिखना:

a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }

आगे,

c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },

जिससे प्राप्त होता है

(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.

ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और युक्ति जोड़े जाते हैं।

दो चतुर्भुजों का गुणनफल

दो चतुर्भुजों के गुणन चतुष्कोणों पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि $a\cdot \quad b$ और $b\cdot \quad a$ सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।

संगणना

शिक्षित बंदर - 1918 का एक टिन का खिलौना , जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।

पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं , परंतु छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन दिखाता है:

      23958233
× 5830
————————————————
      00000000 (= 23,958,233 × 0)
     71874699 (= 23,958,233 × 30)
   191665864 (= 23,958,233 × 800)
+ 119791165 (= 23,958,233 × 5,000)
————————————————
  139676498390 (= 139,676,498,390)

जर्मनी जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान उपरोक्त रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है:

23958233 · 5830                                                                                            ————————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000
————————————————
   139676498390

संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए सामान्य लघुगणक का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के बराबर है। स्लाइड नियम ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, यांत्रिक गणक, जैसे कि मर्चेंट गणक , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और गणक ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को बहुत कम कर दी है।

ऐतिहासिक एल्गोरिदम

गुणन के तरीके प्राचीन मिस्र Greek, Indian,^{[citation needed]} और चीन का इतिहास प्राचीन चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,।

लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी मध्य अफ्रीका में ऊपरी पुरापाषाण युग में गुणन के ज्ञान का संकेत दे दिया था, लेकिन यह काल्पनिक है।^{[verification needed]}

मिस्रवासी

पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि रिहंद गणितीय पेपिरस में उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त करना होता है 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

बेबीलोन

बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के दशमलव विस्तार के अनुरूप एक षाष्टिक स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। याद रखने की कठिनाई के कारण 60 × 60 विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची शामिल है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,फिर किसी भी षाष्टिक गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए कहें गए, की गई 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से केवल अभिकलन करने की आवश्यकता है।^{[citation needed]}

चीनी

38 × 76 = 2888

300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए रॉड गणना को नियोजित किया था। युद्धरत राज्य की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।

आधुनिक तरीके

45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है 45 × 256 = 11520. यह जाली गुणन का एक रूप है।

हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम ब्रह्मगुप्त ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। प्रिंसटन विश्वविद्यालय में गणित के तत्कालीन प्रोफेसर हेनरी बर्चर्ड फाइन ने निम्नलिखित लिखा :

भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी,परन्तु विभाजन उन्होंने बड़ी चतुराई से किया जाता है |

ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की शुरुआत में अलखावरिज़मी द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में फिबोनैकी द्वारा पश्चिमी दुनिया में लोकप्रिय हो गया था।

ग्रिड विधि

ग्रिड विधि गुणन , या बॉक्स विधि गुणन, इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में मदद करने के लिए कि एकाधिक अंकों का गुणन कैसे काम करता है। 34 को 13 से गुणा करने का एक उदाहरण संख्याओं को एक ग्रिड में इस प्रकार रखना होगा:

×	30	4
5	150	20
10	300	40
3	90	12

और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं।

संगणक एल्गोरिदम

दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए n² अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रणता को कम करता है $O (n log n log log n)$ . 2016 में, कारक $log log n$ एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया $O(n\log n).$ एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर $2172912$ बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।

माप के उत्पाद

एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:

[4 बैग] × [3 मार्बल्स प्रति बैग] = 12 मार्बल्स।

जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी से सम्मिलित हैं।

भौतिकी में एक सामान्य तथ्य यह है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर दूरी मिलती है। उदाहरण के लिए:

50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर।

इस मामले में, घंटे की मापन की इकाई रद्द हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के साथ रहने दिया जाता है।

मापन इकाइयों से जुड़े गुणन के अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:

2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर

11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर

4.5 निवासी प्रति घर × 20 घर = 90 निवासी

एक अनुक्रम का उत्पाद

कैपिटल पाई अंकन

गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है $\textstyle \prod$ , जो ग्रीक वर्णमाला के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे योग प्रतीक $\textstyle \sum$ ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :-

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),

जिसके परिणामस्वरूप

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.

ऐसे अंकन में, चर गणित $i$ एक भिन्न पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान $1$ से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए $4$ संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। गुणन ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।

सामान्यतः आम तौर पर अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},

जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में m = n, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक x_m का है यदि m > n, उत्पाद एक खाली उत्पाद (कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—

कैपिटल पाई नोटेशन के गुण

परिभाषा से,

\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.

यदि सभी कारक समान हैं, तो गुणन के एक बराबर $n$ कारक घातांक है:

\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.

गुणन की साहचर्यता और क्रमविनिमेयता का अर्थ है

\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)

तथा

\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}

यदि $a$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी $x_{i}$ धनात्मक वास्तविक संख्याए हैं, और

$\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

सभी $a_{i}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यदि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

अनंत उत्पाद

अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है ,अत: इन्हें अनंत गुणन कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के गुणन को पहले n शर्तों के गुणन के अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,

\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.

इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में बदला जा सकता है, और परिभाषित कर सकता है:

\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),

बशर्ते दोनों की सीमाएं मौजूद हों।^{[citation needed]}

घातांक

जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो सुपरस्क्रिप्ट तीन के साथ लिखा जाता है,

उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट) ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट होता है, ताकि व्यंजक

a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}

घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।

गुण

संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।
अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।
ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।

वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या संख्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:

क्रमचयी गुणधर्म

अपरिवर्तनशील विशेषता में जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मायने नहीं रखता:

x\cdot y=y\cdot x.

संबंधी संपत्ति

गुणन या जोड़ को शामिल करने वाले व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)

वितरण की जाने वाली संपत्ति

जोड़ और गुणन के संबंध पर पकड़ रखता है तथा बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है:

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z

पहचान तत्व

गुणात्मक पहचान 1 है तथा किसी भी अंक को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं प्राप्त होता है। 1 को इस सर्वसमिका विशेषता के रूप में जाना जाता है|

x\cdot 1=x

0 की संपत्ति

किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे गुणन का शून्य गुण कहा जाता है:

x\cdot 0=0

योगज प्रतिलोम

किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के बराबर होता है।

(-1)\cdot x=(-x)

कहाँ पे

(-x)+x=0

-1 गुना -1 1 है।

(-1)\cdot (-1)=1

प्रतिलोम अवयव

प्रत्येक संख्या x, 0 को छोड़कर, एक 'गुणात्मक व्युत्क्रम' होता है,

{\frac {1}{x}}

, ऐसा है कि

x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1

.

क्रम सिद्धांत संरक्षण

एक सकारात्मक संख्या से गुणा क्रम सिद्धांत को संरक्षित करता है:

के लिये a > 0, यदि b > c फिर ab > ac.

ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम उलट जाता है:

के लिये a < 0, यदि b > c फिर ab < ac.

सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।

अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया शामिल है या हो सकता है कि उनमें ये सभी गुण न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।

स्वयंसिद्ध

अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, जोसेफ पीनो ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं:

x\times 0=0

x\times S(y)=(x\times y)+x

यहाँ S(y) y के परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है, विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि

x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.

पूर्णांकों के अभिगृहीत आमतौर पर उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को x - y के समतुल्य मानने पर आधारित है जब x और y को पूर्णांक के रूप में माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के बराबर हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).

वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है

(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).

गुणा समान नियम से परिमेय संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है।^{[citation needed]}

समुच्चय सिद्धांत के साथ गुणा

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के साथ परिभाषित किया जा सकता है।कैसे विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और फिर स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय देखें।^{[citation needed]}

समूह सिद्धांत में गुणन

ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों को समाधान करते हैं जो समूह गणित संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।

एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर परिमेय संख्याओं का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका आम तौर पर 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक एबेलियन समूह है| लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।

इसे देखने के लिए, किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, सर्वसमिका मैट्रिक्स और व्युत्क्रमों को शामिल करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। हालाँकि, मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।

ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।

समूह सिद्धांत में गुणन को आमतौर पर या तो बिन्दु द्वारा या जक्सटैपिशन(तत्वों के बीच एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा टिप्पणी किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a $\cdot$ b या ab के रूप में टिप्पणी किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का निर्देशीत करते समय, बिन्दु का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$ दर्शाया जा सकता है

विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन

संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेके आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)।

पूर्णांक: $N\times M$ M और N प्रतियों का योग है, जबकी N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n चौड़ाई और m ऊंचाई एरे( शृंखला समूह) में वस्तु की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है; $N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ तथा; $(-N)\times (-M)=N\times M$; परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।^{[citation needed]}
परिमेय संख्या: अंशों के सामान्यीकरण के लिए ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ अंशों और हरों का क्रमशः गुणा करते है: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$ . यह एक आयत का क्षेत्रफल है ${\frac {A}{B}}$ ऊंचाई और ${\frac {C}{D}}$ चौड़ाई है,एक और सारणी में परिमेय संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ होती हैं तथा चीजों की संख्या के समान होती है|

वास्तविक संख्या: वास्तविक संख्याओं और उनके गुणनफलों को परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सम्मिश्र संख्या: सम्मिश्र संख्याओं को ध्यान में रखते हुए $z_{1}$ तथा $z_{2}$ वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में $(a_{1},b_{1})$ तथा $(a_{2},b_{2})$ , उत्पाद $z_{1}\times z_{2}$ है $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$ . यह तत्त्व के समान ही है $a_{1}\times a_{2}$ जब काल्पनिक भाग $b_{1}$ तथा $b_{2}$ शून्य हैं।^{[citation needed]}; समतुल्य, निरूपित करना ${\sqrt {-1}}$ जैसा $i$ , अपने पास $z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.$ वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यदि $z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})$ , फिर ${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

आगे सामान्यीकरण

ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और गुणक समूह , जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन शामिल है। एक बहुत ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी संक्रिया के रूप में है। वलय का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।

विभाजन: विभाजन, ${\frac {x}{y}}$ , व्युत्क्रम से गुणा के $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ समान है. समान प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय डोमेन में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है ${\frac {1}{x}}$ लेकिन ${\frac {x}{y}}$ परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, लेकिन ${\frac {x}{y}}$ गैर-कम्यूटेटिव वलय में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ और $\left({\frac {1}{y}}\right)x$ के समान नहीं होना चाहिए

यह भी देखें

आयामी विश्लेषण
गुणन एल्गोरिथ्म
- करत्सुबा एल्गोरिथम , बड़ी संख्या के लिए
- टूम-कुक गुणन, बहुत बड़ी संख्या के लिए
- बड़ी संख्या के लिए शॉनहेज-स्ट्रैसन एल्गोरिथम
पहाड़ा
बाइनरी गुणक , संगणक कैसे गुणा करते हैं
- बूथ का गुणन एल्गोरिथम
- चल बिन्दु आधार अंकगणित
- जुड़े हुए गुणा-जोड़
- गुणा–संचय
- वालेस का पेड़
गुणात्मक प्रतिलोम, व्युत्क्रम
कारख़ाने का
जेनेल-लुकास शासक
चंद्र अंकगणित
नेपियर की हड्डियाँ
पैसन्ट गुणन
गुणन (गणित), सामान्यीकरण के लिए
स्लाइड नियम

संदर्भ

Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

गुणन चिह्न
तारांकन
मुक़ाबला
गुणा और दोहराया जोड़
विभाजन (गणित)
योग
बराबर का चिह्न
गणितीय अंकन
नश्तर
कोष्टक
कार्रवाई के आदेश
अदिश (गणित)
वेक्टर गुणन
अक्षरों का समूह
गुणन एल्गोरिथ्म
गुणक
एकाधिक (गणित)
वितरण की जाने वाली संपत्ति
वास्तविक संख्याओं का निर्माण
कम से कम ऊपरी सीमा
धुवीय निर्देशांक
प्राचीन मिस्र का गुणन
पहाड़ा
ईशांगो ने उन्हें देखा
अपर पैलियोलिथिक
चीनी गुणा तालिका
अभिकलनात्मक जटिलता
भौतिकी में समय
रफ़्तार
संबद्धता
अनंत चिन्ह
शक्ति साहचर्य
एकवचन मैट्रिक्स
सिद्ध
शोषक तत्व
शून्य से विभाजन
गुणात्मक प्रतिलोम
गणितीय अधिष्ठापन
उत्तराधिकारी क्रमसूचक
अंगूठी (गणित)
बहुपद की अंगूठी
इंटीग्रल डोमेन
विभाजन की अंगूठी

बाहरी संबंध

v t e हाइपरऑपरेशन
प्राथमिक	उत्तराधिकारी (0) इसके अलावा (1) गुणा (2) घातांक (3) टेट्रेशन (4) पेंटेशन (5)
उलटा बाएं तर्क के लिए	पूर्ववर्ती (0) घटाव (1) डिवीजन (2) रूट निष्कर्षण (3) सुपर-रूट (4)
सही तर्क के लिए उलटा	पूर्ववर्ती (0) घटाव (1) डिवीजन (2) लॉगरिदम (3) सुपर-लॉगरिथम (4)
संबंधित आलेख	एकरमैन फ़ंक्शन कॉनवे जंजीर तीर अंकन Grzegorczyk पदानुक्रम नुथ अप-एरो नोटेशन Steinhaus -moser अंकन

× ⋅
Multiplication signs
In Unicode	U+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (×) U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR (⋅)
Different from
Different from	U+00B7 · MIDDLE DOT U+002E . FULL STOP

Anonymous

Search