स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत एक गणितीय अनुशासन है जिसका उद्देश्य कठोर स्वयंसिद्धों के संदर्भ में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों का वर्णन करना है। यह कार्यात्मक विश्लेषण और ऑपरेटर बीजगणित के साथ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है, लेकिन हाल के वर्षों में एक अधिक ज्यामितीय और कार्यात्मक परिप्रेक्ष्य से भी इसका अध्ययन किया गया है।

इस अनुशासन में दो मुख्य चुनौतियाँ हैं। सबसे पहले, किसी को सिद्धांतों का एक सेट प्रस्तावित करना चाहिए जो किसी भी गणितीय वस्तु के सामान्य गुणों का वर्णन करता है जिसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है। फिर, कोई इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले उदाहरणों की कठोर गणितीय रचनाएँ देता है।

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

वेटमैन स्वयंसिद्ध

1950 के दशक की शुरुआत में आर्थर वाइटमैन द्वारा क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के पहले सेट, जिसे वाइटमैन एक्सिओम्स के रूप में जाना जाता है, प्रस्तावित किया गया था। हिल्बर्ट स्पेस पर कार्यरत ऑपरेटर-मूल्यवान वितरण के रूप में क्वांटम फ़ील्ड्स के संबंध में इन सिद्धांतों ने फ्लैट मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर क्यूएफटी का वर्णन करने का प्रयास किया है। व्यवहार में, अक्सर वाइटमैन पुनर्निर्माण प्रमेय का उपयोग किया जाता है, जो गारंटी देता है कि ऑपरेटर-मूल्यवान वितरण और हिल्बर्ट स्पेस को सहसंबंध समारोह (क्वांटम फील्ड थ्योरी) के संग्रह से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

ओस्टरवाल्डर-श्रेडर स्वयंसिद्ध

Main article: Osterwalder–Schrader axioms

Wightman सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले QFT के सहसंबंध कार्य अक्सर लोरेंत्ज़ हस्ताक्षर से यूक्लिडियन हस्ताक्षर तक विश्लेषणात्मक निरंतरता हो सकते हैं। (गंभीरता से, कोई समय चर को बदल देता है $\;t\;$ काल्पनिक समय के साथ $\;\tau =-{\sqrt {-1\,}}\,t~;$ के कारक $\;{\sqrt {-1\,}}\;$ मीट्रिक टेन्सर के समय-समय घटकों के चिह्न को बदलें।) परिणामी कार्यों को श्विंगर कार्य करता है कहा जाता है। श्विंगर कार्यों के लिए शर्तों की एक सूची है - विश्लेषणात्मक निरंतरता, क्रमचय समरूपता, यूक्लिडियन सहप्रसरण, और प्रतिबिंब सकारात्मकता - जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष-समय की विभिन्न शक्तियों पर परिभाषित कार्यों का एक सेट सेट की विश्लेषणात्मक निरंतरता होने के लिए संतुष्ट होना चाहिए। वाइटमैन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले QFT के सहसंबंध कार्यों की संख्या।

हाग-कस्तलर स्वयंसिद्ध

हैग-कास्टलर अभिगृहीत बीजगणित के जालों के संदर्भ में स्वयंसिद्ध QFT को अभिगृहीत करते हैं।

यूक्लिडियन सीएफटी स्वयंसिद्ध

ये स्वयंसिद्ध (उदाहरण देखें।) में अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के अनुरूप बूटस्ट्रैप दृष्टिकोण में उपयोग किया जाता है $\mathbb {R} ^{d}$. उन्हें यूक्लिडियन बूटस्ट्रैप स्वयंसिद्ध भी कहा जाता है।