बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय

गणित में, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय कहता है कि बूलियन बीजगणित (संरचना) में आदर्श (आदेश सिद्धांत) को आदर्श (आदेश सिद्धांत)#प्रधान आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है। फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) के लिए इस कथन की भिन्नता को अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के रूप में जाना जाता है। आदर्शों की उपयुक्त धारणाओं के साथ विभिन्न गणितीय संरचनाओं पर विचार करके अन्य प्रमेय प्राप्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, रिंग (गणित) और प्रमुख आदर्श (रिंग थ्योरी के), या वितरणात्मक जाली और अधिकतम आदर्श (आदेश सिद्धांत के)। यह लेख क्रम सिद्धांत से प्रमुख आदर्श प्रमेयों पर केंद्रित है।

हालांकि विभिन्न प्रमुख आदर्श प्रमेय सरल और सहज दिखाई दे सकते हैं, लेकिन उन्हें पसंद के स्वयंसिद्ध (संक्षिप्त ZF) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से सामान्य रूप से नहीं निकाला जा सकता है। इसके बजाय, कुछ बयान पसंद के स्वयंसिद्ध (एसी) के बराबर होते हैं, जबकि अन्य-बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय, उदाहरण के लिए- एसी की तुलना में सख्ती से कमजोर संपत्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह ZF और ZF + AC (ZFC) के बीच इस मध्यवर्ती स्थिति के कारण है कि बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय को अक्सर सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है। संक्षिप्ताक्षर BPI या PIT (बूलियन बीजगणित के लिए) कभी-कभी इस अतिरिक्त स्वयंसिद्ध को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

प्रधान आदर्श प्रमेय

एक आदर्श (आदेश सिद्धांत) एक (गैर-खाली) निर्देशित सेट निचला सेट है। यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पॉसेट) में बाइनरी उच्चतम (ए.के.ए. जुड़ें और मिलें) है, जैसा कि इस आलेख के पॉसेट्स करते हैं, तो यह समान रूप से एक गैर-खाली निचले सेट I के रूप में वर्णित है जो बाइनरी सर्वोच्च के लिए बंद है (अर्थात, $x,y\in I$ तात्पर्य $x\vee y\in I$). एक आदर्श I प्रमुख है यदि पॉकेट में इसका सेट-सैद्धांतिक पूरक फ़िल्टर (गणित) है (अर्थात, $x\wedge y\in I$ तात्पर्य $x\in I$ या $y\in I$). आदर्श उचित हैं यदि वे पूरे पोसेट के बराबर नहीं हैं।

ऐतिहासिक रूप से, बाद के प्रमुख आदर्श प्रमेयों से संबंधित पहला बयान वास्तव में फ़िल्टर-उपसमुच्चय का जिक्र कर रहा था जो कि द्वैत (आदेश सिद्धांत) आदेश के संबंध में आदर्श हैं। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा बताता है कि एक सेट पर प्रत्येक फिल्टर कुछ अधिकतम (उचित) फिल्टर-एक अल्ट्राफिल्टर के भीतर समाहित है। याद रखें कि सेट पर फ़िल्टर इसके सत्ता स्थापित के बूलियन बीजगणित के उचित फ़िल्टर हैं। इस विशेष मामले में, अधिकतम फ़िल्टर (यानी फ़िल्टर जो किसी भी उचित फ़िल्टर के सख्त उपसमुच्चय नहीं हैं) और प्राइम फ़िल्टर (यानी फ़िल्टर जो कि उपसमुच्चय X और Y के प्रत्येक संघ के साथ X या Y भी शामिल हैं) मेल खाते हैं। इस कथन का द्वैत इस प्रकार आश्वासन देता है कि एक शक्तिसेट का प्रत्येक आदर्श एक प्रमुख आदर्श में निहित है।

उपरोक्त कथन ने विभिन्न सामान्यीकृत प्रधान आदर्श प्रमेयों को जन्म दिया, जिनमें से प्रत्येक कमजोर और मजबूत रूप में मौजूद है। कमजोर प्रधान आदर्श प्रमेय बताते हैं कि एक निश्चित वर्ग के प्रत्येक गैर-तुच्छ बीजगणित में कम से कम एक प्रधान आदर्श होता है। इसके विपरीत, मजबूत प्रमुख आदर्श प्रमेयों की आवश्यकता होती है कि किसी दिए गए फ़िल्टर से अलग होने वाले हर आदर्श को उस प्रमुख आदर्श तक बढ़ाया जा सकता है जो अभी भी उस फ़िल्टर से अलग है। बीजगणित के मामले में जो पॉसेट नहीं हैं, फ़िल्टर के बजाय अलग-अलग सबस्ट्रक्चर का उपयोग किया जाता है। इन प्रमेयों के कई रूपों को वास्तव में समकक्ष के रूप में जाना जाता है, इसलिए पीआईटी द्वारा धारण किए जाने वाले अभिकथन को आमतौर पर इस अभिकथन के रूप में लिया जाता है कि बूलियन बीजगणित (बीपीआई) के लिए संबंधित कथन मान्य है।

इसी तरह के प्रमेयों की एक और भिन्नता अधिकतम आदर्श द्वारा प्रमुख आदर्श की प्रत्येक घटना को प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है। संबंधित अधिकतम आदर्श प्रमेय (एमआईटी) अक्सर-हालांकि हमेशा नहीं-उनके पीआईटी समकक्षों की तुलना में मजबूत होते हैं।

बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय

बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए प्रबल प्रधान आदर्श प्रमेय है। इस प्रकार औपचारिक कथन है:

मान लीजिए कि B एक बूलियन बीजगणित है, मान लीजिए I एक आदर्श है और F को B का फ़िल्टर बना देता है, जैसे कि I और F असंयुक्त सेट हैं। फिर मैं बी के कुछ प्रमुख आदर्श में निहित हूं जो एफ से अलग है।

बूलियन बीजगणित के लिए कमजोर प्रमुख आदर्श प्रमेय बस कहता है:

प्रत्येक बूलियन बीजगणित में एक प्रमुख आदर्श होता है।

हम इन बयानों को कमजोर और मजबूत बीपीआई कहते हैं। दोनों समतुल्य हैं, क्योंकि मजबूत बीपीआई स्पष्ट रूप से कमजोर बीपीआई का तात्पर्य है, और उचित उद्धरण बीजगणित में प्रमुख आदर्शों को खोजने के लिए कमजोर बीपीआई का उपयोग करके रिवर्स निहितार्थ प्राप्त किया जा सकता है।

बीपीआई को विभिन्न तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। इस उद्देश्य के लिए, निम्नलिखित प्रमेय को याद करें:

बूलियन बीजगणित बी के किसी भी आदर्श I के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:

• मैं एक प्रधान आदर्श हूँ।
• I एक उच्चिष्ठ गुणजावली है, अर्थात किसी उचित गुणजावली J के लिए, यदि I, J में निहित है तो I = J.
• B के प्रत्येक तत्व a के लिए, I में ठीक {a, ¬a} में से एक होता है।

यह प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए एक प्रसिद्ध तथ्य है। इसका दोहरा प्राइम फिल्टर और अल्ट्राफिल्टर की समानता स्थापित करता है। ध्यान दें कि अंतिम संपत्ति वास्तव में स्व-द्वैत है - केवल पूर्व धारणा है कि I एक आदर्श है जो पूर्ण लक्षण वर्णन देता है। इस प्रमेय के सभी निहितार्थ ZF में सिद्ध किए जा सकते हैं।

इस प्रकार बूलियन बीजगणित के लिए निम्नलिखित (मजबूत) अधिकतम आदर्श प्रमेय (एमआईटी) बीपीआई के बराबर है:

चलो बी एक बूलियन बीजगणित हो, मैं एक आदर्श हो और एफ को बी का फ़िल्टर बनने दें, जैसे कि मैं और एफ अलग हैं। फिर मैं बी के कुछ अधिकतम आदर्शों में निहित हूं जो एफ से अलग है।

ध्यान दें कि किसी को वैश्विक अधिकतमता की आवश्यकता होती है, न कि केवल एफ से अलग होने के संबंध में अधिकतमता। फिर भी, यह भिन्नता बीपीआई के एक और समकक्ष विशेषता उत्पन्न करती है:

चलो बी एक बूलियन बीजगणित हो, मैं एक आदर्श हो और एफ को बी का फ़िल्टर बनने दें, जैसे कि मैं और एफ अलग हैं। फिर मैं बी के कुछ आदर्श में निहित हूं जो एफ से अलग सभी आदर्शों में अधिकतम है।

तथ्य यह है कि यह कथन बीपीआई के समतुल्य है, निम्नलिखित प्रमेय को ध्यान में रखते हुए आसानी से स्थापित किया गया है: किसी भी वितरण जाली एल के लिए, यदि एक आदर्श मैं एल के सभी आदर्शों में अधिकतम है जो किसी दिए गए फ़िल्टर एफ से अलग हैं, तो मैं एक प्रमुख आदर्श है . इस कथन का प्रमाण (जो फिर से ZF सेट सिद्धांत में किया जा सकता है) आदर्शों पर लेख में शामिल है। चूँकि कोई भी बूलियन बीजगणित एक वितरणात्मक जाली है, यह वांछित प्रभाव को दर्शाता है।

उपरोक्त सभी बयानों को अब आसानी से समतुल्य देखा जा सकता है। इससे भी आगे जाकर, कोई इस तथ्य का फायदा उठा सकता है कि बूलियन बीजगणित के दोहरे आदेश वास्तव में स्वयं बूलियन बीजगणित हैं। इसलिए, सभी पूर्व कथनों के समतुल्य द्वैत लेते समय, एक कई प्रमेयों के साथ समाप्त होता है जो समान रूप से बूलियन बीजगणित पर लागू होते हैं, लेकिन जहां प्रत्येक घटना ideal द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है filter. यह ध्यान देने योग्य है कि विशेष मामले के लिए जहां विचाराधीन बूलियन बीजगणित सबसेट ऑर्डरिंग के साथ एक पावरसेट है, अधिकतम फ़िल्टर प्रमेय को अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा कहा जाता है।

संक्षेप में, बूलियन बीजगणित के लिए, कमजोर और मजबूत एमआईटी, कमजोर और मजबूत पीआईटी, और आदर्शों के स्थान पर फिल्टर वाले ये बयान सभी समकक्ष हैं। यह ज्ञात है कि ये सभी कथन Axiom of Choice, AC, (आसान प्रमाण Zorn के लेम्मा का उपयोग करता है) के परिणाम हैं, लेकिन Zermelo-Fraenkel सेट सिद्धांत (Zermelo-Fraenkel set theory without AC) में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, यदि ZF सुसंगत है। फिर भी, बीपीआई पसंद के स्वयंसिद्ध की तुलना में सख्ती से कमजोर है, हालांकि इस कथन का प्रमाण, जेडी हैल्पर्न और एज़रील लेवी के कारण गैर-तुच्छ है।

आगे प्रधान आदर्श प्रमेय

उपरोक्त खंड में बूलियन बीजगणित के लिए जिन प्रोटोटाइपिकल गुणों पर चर्चा की गई थी, उन्हें आसानी से संशोधित किया जा सकता है ताकि अधिक सामान्य जाली (क्रम) शामिल हो सके, जैसे कि वितरणात्मक जाली या हेटिंग बीजगणित। हालाँकि, इन मामलों में अधिकतम आदर्श प्रधान आदर्शों से भिन्न होते हैं, और PIT और MIT के बीच संबंध स्पष्ट नहीं होता है।

वास्तव में, यह पता चला है कि वितरण जाली के लिए एमआईटी और यहां तक ​​​​कि बीजगणित हेटिंग के लिए भी पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर हैं। दूसरी ओर, यह ज्ञात है कि वितरण जाली के लिए मजबूत पीआईटी बीपीआई (यानी एमआईटी और बूलियन बीजगणित के लिए पीआईटी) के बराबर है। इसलिए यह कथन पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है। इसके अलावा, निरीक्षण करें कि हेटिंग बीजगणित स्व-द्वैत नहीं हैं, और इस प्रकार आदर्शों के स्थान पर फिल्टर का उपयोग करने से इस सेटिंग में विभिन्न प्रमेय उत्पन्न होते हैं। शायद आश्चर्यजनक रूप से, हेटिंग बीजगणित के दोहरे के लिए एमआईटी बीपीआई से अधिक मजबूत नहीं है, जो हेटिंग बीजगणित के लिए उपर्युक्त एमआईटी के विपरीत है।

अंत में, प्रधान आदर्श प्रमेय अन्य (आदेश-सैद्धांतिक नहीं) सार बीजगणित के लिए भी मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, रिंग्स के लिए MIT पसंद के स्वयंसिद्ध को दर्शाता है। इस स्थिति के लिए ऑर्डर-सैद्धांतिक शब्द फ़िल्टर को अन्य अवधारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होती है - रिंगों के लिए गुणक रूप से बंद उपसमुच्चय उपयुक्त है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा

Main article: Ultrafilter lemma

See also: Set-theoretic topology

एक सेट पर एक फिल्टर X के अरिक्त उपसमुच्चयों का एक अरिक्त संग्रह है X जो परिमित चौराहे और सुपरसेट के तहत बंद है। एक अल्ट्राफिल्टर एक अधिकतम फिल्टर है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा बताता है कि एक सेट पर हर फिल्टर X कुछ ultrafilter ऑन का एक सबसेट है X. एक अल्ट्राफिल्टर जिसमें परिमित सेट नहीं होते हैं, गैर-प्रिंसिपल कहलाते हैं। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा, और विशेष रूप से गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व (परिमित पूरक के साथ सभी सेटों के फिल्टर पर विचार करें), ज़ोर्न के लेम्मा से उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय के बराबर है, पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना जेडएफ सेट सिद्धांत में साबित होने वाली समानता के साथ। सबूत के पीछे का विचार यह है कि किसी भी सेट के उपसमुच्चय बूलियन बीजगणित को आंशिक रूप से समावेशन द्वारा आदेशित करते हैं, और किसी भी बूलियन बीजगणित को स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा सेट के बीजगणित के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

यदि सेट X परिमित है तो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को स्वयंसिद्ध ZF से सिद्ध किया जा सकता है। यह अब अनंत समुच्चयों के लिए सत्य नहीं है; एक अतिरिक्त स्वयंसिद्ध must मान लिया जाए। ज़ोर्न लेम्मा, पसंद का स्वयंसिद्ध, और टाइकोनॉफ़ प्रमेय सभी का उपयोग अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा को साबित करने के लिए किया जा सकता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा में टोपोलॉजी में कई फिल्टर होते हैं। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग हन-बनाक प्रमेय और अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

सहज रूप से, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय कहता है कि बूलियन बीजगणित में इस अर्थ में पर्याप्त प्रमुख आदर्श हैं कि हम प्रत्येक आदर्श को एक अधिकतम तक बढ़ा सकते हैं। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय को साबित करने के लिए यह व्यावहारिक महत्व है, स्टोन द्वंद्व का एक विशेष मामला, जिसमें एक निश्चित टोपोलॉजी के साथ सभी प्रमुख आदर्शों के सेट को लैस करता है और वास्तव में इससे मूल बूलियन बीजगणित (समरूपता तक) प्राप्त कर सकता है। आंकड़े। इसके अलावा, यह पता चला है कि अनुप्रयोगों में कोई भी स्वतंत्र रूप से प्रधान आदर्शों या प्रधान फिल्टर के साथ काम करने के लिए चुन सकता है, क्योंकि प्रत्येक आदर्श विशिष्ट रूप से एक फिल्टर निर्धारित करता है: इसके तत्वों के सभी बूलियन पूरक का सेट। दोनों दृष्टिकोण साहित्य में पाए जाते हैं।

सामान्य टोपोलॉजी के कई अन्य प्रमेय जिन्हें अक्सर पसंद के स्वयंसिद्ध पर भरोसा करने के लिए कहा जाता है, वास्तव में बीपीआई के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, प्रमेय कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान का एक उत्पाद कॉम्पैक्ट है, इसके बराबर है। यदि हम हॉसडॉर्फ को छोड़ दें तो हमें टाइकोनॉफ प्रमेय पसंद के पूर्ण स्वयंसिद्ध के बराबर मिलता है।

ग्राफ सिद्धांत में, डी ब्रुजन-एर्दोस प्रमेय (ग्राफ सिद्धांत)|डी ब्रुजन-एर्दोस प्रमेय बीपीआई के लिए एक और समकक्ष है। यह बताता है कि, यदि किसी दिए गए अनंत ग्राफ के लिए कम से कम कुछ परिमित संख्या की आवश्यकता होती है k किसी भी ग्राफ रंग में, तो उसके पास एक परिमित सबग्राफ होता है जिसकी भी आवश्यकता होती है k. बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय का एक बहुत प्रसिद्ध अनुप्रयोग एक गैर-मापने योग्य सेट का अस्तित्व है (आमतौर पर दिया गया उदाहरण विटाली सेट है, जिसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है)। इससे और तथ्य यह है कि बीपीआई पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है, यह इस प्रकार है कि गैर-मापने योग्य सेटों का अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है।

रैखिक बीजगणित में, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी दिए गए सदिश स्थान के किसी भी दो आधार (रैखिक बीजगणित) में एक ही प्रमुखता है।

यह भी देखें

• बूलियन बीजगणित विषयों की सूची

संदर्भ

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1

An easy to read introduction, showing the equivalence of PIT for Boolean algebras and distributive lattices.

• Johnstone, Peter (1982), Stone Spaces, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3

The theory in this book often requires choice principles. The notes on various chapters discuss the general relation of the theorems to PIT and MIT for various structures (though mostly lattices) and give pointers to further literature.

• Banaschewski, B. (1983), "The power of the ultrafilter theorem", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 27 (2): 193–202, doi:10.1112/jlms/s2-27.2.193

Discusses the status of the ultrafilter lemma.

• Erné, M. (2000), "Prime ideal theory for general algebras", Applied Categorical Structures, 8: 115–144, doi:10.1023/A:1008611926427, S2CID 31605587

Gives many equivalent statements for the BPI, including prime ideal theorems for other algebraic structures. PITs are considered as special instances of separation lemmas.