प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन

ज्यामिति में, (वैश्विक रूप से) प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन (प्रक्षेपीय बहुफलक) वास्तविक प्रक्षेपी तल का एक टेसलेशन है।^[1] ये वृत्ताकार पॉलीहेड्रा के प्रक्षेपीय एनालॉग - वृत्त के टेसलेशन - और टॉरॉयडल पॉलीहेड्रा - टॉरॉयड के टेसलेशन (चौकोर) है।

प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा को अंडाकार टेसेलेशन^[2] या अंडाकार टिलिंग के रूप में भी जाना जाता है, प्रक्षेपीय तल को ((प्रक्षेपीय) अंडाकार ज्यामिति के रूप में संदर्भित किया जाता है, वृत्ताकार टाइलिंग के अनुरूप,^[3] "वृत्ताकार बहुफलक" का समानार्थी है। हालांकि, अण्डाकार ज्यामिति शब्द वृत्ताकार और प्रक्षेपी ज्यामिति दोनों पर प्रयुक्त होता है, इसलिए यह शब्द पॉलीहेड्रा के लिए कुछ अस्पष्टता रखता है।

प्रक्षेपीय तल के कक्षीय अपघटन के रूप में, उनके पास यूलर विशेषता 1 है, जबकि वृत्ताकार पॉलीहेड्रा में यूलर विशेषता 2 है। विशेषक "वैश्विक रूप से" स्थानीय रूप से प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा के विपरीत है, जो अमूर्त पॉलीहेड्रा के सिद्धांत में परिभाषित हैं।

गैर-अतिव्यापी प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा (घनत्व 1) केंद्रीय समरूपता के साथ वृत्ताकार पॉलीहेड्रा (समतुल्य, उत्तल पॉलीहेड्रा) के अनुरूप है। यह वृत्ताकार पॉलीहेड्रा और पारंपरिक पॉलीहेड्रा के संबंध में विस्तृत और विस्तारित है।

उदाहरण

अर्ध-घन एक नियमित प्रक्षेपी पॉलीहेड्रॉन है जिसमें 3 वर्ग फलक, 6 कोर और 4 शीर्ष हैं।

प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नियमित प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा हैं, केंद्रीय सममित सैद्धांतिक ठोस के उद्धरण के साथ-साथ डायहेड्रा और होसोहेड्रा के दो अनंत वर्ग भी हैं:^[4]

अर्ध-घन, {4,3}/2
अर्ध-अष्टफलक, {3,4}/2
अर्ध-द्वादशफलक, {5,3}/2
अर्ध विंशफलक, {3,5}/2
अर्ध-डायहेड्रॉन, {2p,2}/2, p>=1
अर्ध-होसोहेड्रॉन, {2,2p}/2, p>=1

इन्हें प्रतिमुख मानचित्र (वृत्त पर विपरीत बिंदुओं की पहचान करके) से संबंधित वृत्ताकार बहफलक का अंश लेकर प्राप्त किया जा सकता है।

दूसरी ओर, चतुष्फलक में केंद्रीय समरूपता नहीं होती है, इसलिए कोई अर्ध-चतुष्फलक नहीं होता है। चतुष्फलक का व्यवहार कैसे किया जाता है, इस पर नीचे वृत्ताकार पॉलीहेड्रा के साथ संबंध देखें।

अर्ध-पॉलीहेड्रा

टेट्राहेमीहेक्साइड्रोन एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन है, और एकमात्र समान प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन है जो यूक्लिडियन 3-समष्टि में निमज्जित (गणित) करता है।

ध्यान दें कि उपसर्ग अर्ध- का उपयोग अर्ध-पॉलीहेड्रा को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है, जो समान पॉलीहेड्रा होते हैं जिनके कुछ फलक होते हैं जो समरूपता के केंद्र से गुजरते हैं। चूंकि ये वृत्ताकार पॉलीहेड्रा को परिभाषित नहीं करते हैं (क्योंकि वे केंद्र से गुजरते हैं, जो वृत्त पर एक परिभाषित बिंदु पर मानचित्रण नहीं करते हैं), वे प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा को 3-अंतराल (मूल शून्य से) से प्रक्षेपीय मानचित्र द्वारा प्रोजेक्टिव तल तक परिभाषित नहीं करते हैं।

इन समान अर्ध-पॉलीहेड्रा में से, केवल टेट्राहेमीहेक्सहेड्रोन स्थलीय रूप से एक प्रक्षेपी पॉलीहेड्रॉन है, जैसा कि इसकी यूलर विशेषता और रोमन सतह से स्पष्ट रूप से स्पष्ट संयोजन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। यह क्यूबोक्टाहेड्रोन द्वारा 2-आच्छादित किया गया है, और प्रतिमुख मानचित्र द्वारा वृत्ताकार क्यूबोक्टाहेड्रोन के भाग के रूप में संपादित किया जा सकता है। यह एकमात्र समान (पारंपरिक) पॉलीहेड्रॉन है जो प्रोजेक्टिव है - अर्थात, एकमात्र समान प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन जो यूक्लिडियन 3-समष्टि में एक समान पारंपरिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में निमज्जित (गणित) करता है।

वृत्ताकार पॉलीहेड्रा के साथ संबंध

प्रोजेक्टिव तल के वृत्त का 2-से-1 आच्छादित मानचित्र $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ है, और इस मानचित्र के अंतर्गत, प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा केंद्रीय समरूपता के साथ वृत्ताकार पॉलीहेड्रा के अनुरूप है एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन का 2 गुना आवरक एक केंद्रीय सममित वृत्ताकार पॉलीहेड्रॉन है। इसके अतिरिक्त, क्योंकि आवरक मानचित्र एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म (इस स्थिति में एक स्थानीय समदूरीकता) है, वृत्ताकार और संबंधित प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा दोनों में एक ही अमूर्त शीर्ष आकृति है।

उदाहरण के लिए, (प्रक्षेपी) अर्ध-घन का 2-गुना आवरण (वृत्ताकार) घन है। अर्ध-घन में 4 शीर्ष, 3 फलक और 6 कोर होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को वृत्त में 2 प्रतियों द्वारा आच्छादित किया जाता है, और तदनुसार घन में 8 शीर्ष, 6 फलक और 12 कोर होते हैं, जबकि इन दोनों पॉलीहेड्रा में 4.4 होते हैं। 4 शीर्ष आकृति (3 वर्ग एक शीर्ष पर मिलते हैं)।

इसके अतिरिक्त, एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन और आवरक वृत्ताकार पॉलीहेड्रॉन के समरूपता समूह (समदूरीकता) संबंधित हैं: प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन की समरूपता को वृत्ताकार पॉलीहेड्रॉन के घूर्णन समरूपता के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जाता है, जबकि वृत्ताकार पॉलीहेड्रॉन का पूर्ण समरूपता समूह है इसके घूर्णन समूह (प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन का समरूपता समूह) और क्रम 2, {±I} के चक्रीय समूह का उत्पाद है। विस्तार और अन्य आयामों के लिए नीचे समरूपता समूह देखें।

केंद्रीय समरूपता के बिना वृत्ताकार पॉलीहेड्रा एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि शीर्ष, कोर और फलकों की छवियां परस्पर-व्याप्त होंगी। टाइलिंग की भाषा में, प्रोजेक्टिव तल में छवि एक सीमा 2 टाइलिंग है, जिसका अर्थ है कि यह प्रोजेक्टिव तल को दो बार आच्छादित करती है - प्रोजेक्टिव तल में 1 फलक के अनुरूप वृत्त में 2 फलकों के अतिरिक्त, इसे दो बार आच्छादित करना, प्रत्येक फलक अंदर वृत्त प्रक्षेप्य तल में समान फलक से समरूप होता है, तदनुसार इसे दो बार आच्छादित करता है।

प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा और केंद्रीय रूप से सममित वृत्ताकार पॉलीहेड्रा के बीच अनुकूलता को सभी वृत्ताकार पॉलीहेड्रा (आवश्यक नहीं कि केंद्रीय सममित) सहित एक गैलोइस संयोजन तक बढ़ाया जा सकता है, यदि कक्षाओं को प्रोजेक्टिव तल की सीमा 2 टाइलिंग सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जाता है, जिनके आच्छादित पॉलीहेड्रा नहीं हैं, बल्कि एक गैर-केंद्रीय सममित पॉलीहेड्रॉन का पॉलीहेड्रल यौगिक, इसके केंद्रीय व्युत्क्रम (2 बहुफलकीय यौगिक एक यौगिक) के साथ है। यह O(3) और PO(3) के परिमित उपसमूहों के स्तर पर गैलोइस संयोजन को ज्यामितिकृत करता है, जिसके अंतर्गत संयोजन "केंद्रीय व्युत्क्रम के साथ समूह" है। उदाहरण के लिए, टेट्राहेड्रॉन केंद्रीय रूप से सममित नहीं है, और इसमें 4 शीर्ष, 6 कोर, और 4 फलक हैं, और शीर्ष आकृति 3.3.3 (प्रत्येक शीर्ष पर 3 त्रिकोण मिलते हैं)। प्रोजेक्टिव तल में इसकी छवि में 4 शीर्ष, 6 कोर (जो एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं), और 4 फलक (जो परस्पर-व्याप्त होते हैं), प्रोजेक्टिव तल को दो बार आच्छादित करते हैं। इसका आवरण तारकीय अष्टफलक है - समतुल्य, दो टेट्राहेड्रा का यौगिक - जिसमें 8 शीर्ष, 12 कोर और 8 फलक हैं, और शीर्ष आकृति 3.3.3 है।

सामान्यीकरण

अमूर्त बहुतलीय के संदर्भ में, इसके अतिरिक्त एक स्थानीय रूप से प्रोजेक्टिव बहुतलीय को संदर्भित करता है - अमूर्त बहुतल और स्थानीय सांस्थिति देखें। उदाहरण के लिए, 11-कक्ष एक स्थानीय रूप से प्रोजेक्टिव बहुतल है, लेकिन यह विश्व स्तर पर प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन नहीं है, और न ही वास्तव में किसी भी बहुरूपता चतुष्कोणी है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से यूक्लिडियन नहीं है, बल्कि स्थानीय रूप से प्रोजेक्टिव है, जैसा कि नाम इंगित करता है।

प्रोजेक्टिव बहुतलीय को एक कम आयाम में प्रक्षेपण स्थान के टेसेलेशन ( चौकोर) के रूप में उच्च आयाम में परिभाषित किया जा सकता है। n-आयामों वाला प्रोजेक्टिव समष्टि में k- आयामों वाला प्रोजेक्टिव बहुतलीय को परिभाषित करना कुछ जटिल कार्य है, क्योंकि यूक्लिडियन समष्टि में बहुतलीय की सामान्य परिभाषा के लिए बिंदुओं के उत्तल संयोजनों को लेने की आवश्यकता होती है, जो एक अनुमानित अवधारणा नहीं है, और रचना में प्रायः संबोधित किया जाता है, लेकिन परिभाषित किया गया है जैसे कि(विवेस & मेयो 1991)।

समरूपता समूह

प्रोजेक्टिव बहुतल का समरूपता समूह प्रोजेक्टिव लंबकोणीय समूह, PO का एक परिमित (इसलिए असतत)^{[note 1]} उपसमूह हैऔर इसके विपरीत, PO, का प्रत्येक परिमित उपसमूह छवियों द्वारा दिए गए बहुतल को ले कर एक प्रोजेक्टिव बहुतल का समरूपता समूह है और समूह के लिए एक मौलिक प्रक्षेत्र है।

संबंधित आयाम इस प्रकार हैं: N-आयामों वाला वास्तविक प्रोजेक्टिव समष्टि (n+1)-आयामों वाला यूक्लिडियन समष्टि $\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {P} (\mathbf {R} ^{n+1}),$ का प्रक्षेपीयकरण है इसलिए n-आयामों वाला प्रोजेक्टिव समष्टि के प्रोजेक्टिव लंबकोणीय समूह को निरूपित किया जाता है

PO(n+1) = P(O(n+1)) = O(n+1)/{±I}.

यदि n=2k सम है (इसलिए n+1 = 2k+1 विषम है), तो O(2k+1) = SO(2k+1)×{±I} एक उत्पाद के रूप में विघटित हो जाता है, और इस प्रकार $PO(2k+1)=PSO(2k+1)\cong SO(2k+1)$ ^{[note 2]} है, इसलिए प्रोजेक्टिव समदूरीकता के समूह को घूर्णी समदूरीकता के समूह के साथ पहचाना जा सकता है।

इस प्रकार विशेष रूप से एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन का समरूपता समूह आवरक वृत्ताकार पॉलीहेड्रॉन का घूर्णी समरूपता समूह है; वृत्ताकार पॉलीहेड्रॉन का पूर्ण समरूपता समूह तब मूल के माध्यम से प्रतिबिंब के साथ प्रत्यक्ष उत्पाद है, जो प्रक्षेप्य स्थान के परिवर्तन पर आधार है। प्रोजेक्टिव तल गैर-अभिमुखन है, और इस प्रकार प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन की उन्मुखीकरण-संरक्षित समदूरीकता की कोई अलग धारणा नहीं है, जो समानता PSO(3) = PO(3) में परिलक्षित होती है।

यदि n=2k + 1 विषम है, तो O(n+1) = O(2k+2) एक उत्पाद के रूप में विघटित नहीं होता है, और इस प्रकार प्रोजेक्टिव बहुतल का समरूपता समूह केवल वृत्ताकार बहुतल की घूर्णी समरूपता नहीं है, बल्कि संबंधित वृत्ताकार बहुतल के पूर्ण समरूपता समूह का 2 से 1 अंश (वृत्ताकार समूह प्रक्षेपी समूह का एक केंद्रीय विस्तार (गणित) है)। आगे, विषम प्रक्षेपी आयाम में (सदिश आयाम भी) $PSO(2k)\neq PO(2k)$ और इसके अतिरिक्त एक उपयुक्त (सूचकांक 2) उपसमूह है, इसलिए अभिविन्यास-संरक्षण समदूरीकता की एक अलग धारणा है।

उदाहरण के लिए, n = 1 (बहुभुज) में, 2r-गॉन की सममिति डायहेड्रल समूह Dih_2r (क्रम 4r का) है, घूर्णी समूह चक्रीय समूह C_2r के साथ, ये क्रमशः O(2) और SO(2) के उपसमूह हैं। 2r-गॉन (वृत्त में) का प्रक्षेपीयकरण एक r-गॉन (प्रोजेक्टिव रेखा में) है, और तदनुसार भागफल समूह, PO(2) और PSO(2) के उपसमूह Dih_r और C_r है, ध्यान दें कि उपसमूहों का एक ही स्पिन (प्रचक्रण) समूह और पिन समूह - Spin(2), Pin₊(2), SO(2), O(2) - के वर्ग के लिए उपसमूहों का एक ही क्रमविनिमेय वर्ग होता है। यहाँ 2 गुना अनुपात के अतिरिक्त 2 गुना आवरण तक जा रहा है।

अंत में, लैटिस (जालक) प्रमेय द्वारा O(n) के उपसमूहों और PO(n) के उपसमूहों के बीच विशेष रूप से परिमित उपसमूहों के बीच गैलोज संयोजन होता है। इस संबंध के अंतर्गत, केंद्रीय सममित बहुतल् के समरूपता समूह संबंधित प्रोजेक्टिव बहुतलीय के समरूपता समूहों के अनुरूप होते हैं, जबकि केंद्रीय समरूपता के बिना वृत्ताकार बहुतलीय के समरूपता समूह सीमा 2 प्रोजेक्टिव बहुतल्स (टिलिंग जो प्रोजेक्टिव समष्टि को दो बार आच्छादित करते हैं) के समरूपता समूहों के अनुरूप होते हैं, जिनका आच्छादित ( संयोजन के संयोजन के अनुरूप) मूल बहुतल और इसका केंद्रीय व्युत्क्रम दो बहुतल का एक यौगिक है।

इन समरूपता समूहों की तुलना द्विआधारी पॉलीहेड्रल समूह के साथ की जानी चाहिए जैसे कि Pin_±(n) → O(n) 2-से -1आच्छादित है, और इसलिए बाइनरी पॉलीहेड्रल समूहों और पॉलीहेड्रल समूहों के बीच गैलोज संयोजन है, O(n) → PO(n) 2-से-1-आच्छादित है, और इसलिए उपसमूहों के बीच एक समान गैलोज संयोजन है। हालाँकि, O (n) और PO (n) के असतत उपसमूह वृत्ताकार और प्रक्षेपी बहुतलीय के समरूपता समूहों के अनुरूप होते हैं, जो ज्यामितीय रूप से आवरक मानचित्र $S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}$ के अनुरूप होते हैं। $S^{n}$ का कोई आवरण स्थान नहीं है और (के लिए $n\geq 2$ ) के रूप में क्षेत्र मे वृत्त जुड़ा हुआ है, और इस प्रकार कोई संबंधित बाइनरी बहुतल नहीं है जिसके लिए पिन के उपसमूह समरूपता समूह हैं।

यह भी देखें

↑ Since PO is compact, finite and discrete sets are identical – infinite sets have an accumulation point.
↑ The isomorphism/equality distinction in this equation is because the context is the 2-to-1 quotient map $O\to PO$ – PSO(2k+1) and PO(2k+1) are equal subsets of the target (namely, the whole space), hence the equality, while the induced map $SO\to PSO$ is an isomorphism but the two groups are subsets of different spaces, hence the isomorphism rather than an equality. See (Conway & Smith 2003, p. 34) for an example of this distinction being made.

संदर्भ

फुटनोट्स

↑ Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topological classification", Problems on Polytopes, Their Groups, and Realizations, pp. 9–13, arXiv:math/0608397v1, Bibcode:2006math......8397S
↑ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1970). Twisted honeycombs. CBMS regional conference series in mathematics (4). AMS Bookstore. p. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.
↑ Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, p. 65, ISBN 978-0-12-465450-1
↑ Coxeter, Introduction to geometry, 1969, Second edition, sec 21.3 Regular maps, p. 386-388

सामान्य संदर्भ

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Arocha, Jorge L.; Bracho, Javier; Montejano, Luis (2000-02-01). "प्लेनर चेहरों के साथ नियमित प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा I" (PDF). Aequationes Mathematicae. 59 (1): 55–73. CiteSeerX 10.1.1.498.9945. doi:10.1007/PL00000128. Retrieved 2010-04-15.
Bracho, Javier (2000-02-01). "तलीय फलकों के साथ नियमित प्रक्षेपी बहुफलक II". Aequationes Mathematicae. 59 (1): 160–176. doi:10.1007/PL00000122.
Conway, John Horton; Smith, Derek Alan (2003-02-07), "3.7 The Projective or Elliptic Groups", On quaternions and octonions, A K Peters, Ltd., pp. 34, ISBN 978-1-56881-134-5
Hilbert, David; Cohn-Vossen, S. (1999), Geometry and the imagination, AMS Bookstore, p. 147, ISBN 978-0-8218-1998-2
McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), "6C. Projective Regular Polytopes", Abstract Regular Polytopes (1st ed.), Cambridge University Press, pp. 162–165, ISBN 978-0-521-81496-6
Vives, Gilberto Calvillo; Mayo, Guillermo Lopez (1991). Susana Gómez; Jean Pierre Hennart; Richard A. Tapia (eds.). Advances in numerical partial differential equations and optimization. Fifth United States-Mexico Workshop. SIAM. pp. 43–49. ISBN 978-0-89871-269-8.

श्रेणी:प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा

[5] Since PO is compact, finite and discrete sets are identical – infinite sets have an accumulation point.

[6] The isomorphism/equality distinction in this equation is because the context is the 2-to-1 quotient map $O\to PO$ – PSO(2k+1) and PO(2k+1) are equal subsets of the target (namely, the whole space), hence the equality, while the induced map $SO\to PSO$ is an isomorphism but the two groups are subsets of different spaces, hence the isomorphism rather than an equality. See (Conway & Smith 2003, p. 34) for an example of this distinction being made.

[1] Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topological classification", Problems on Polytopes, Their Groups, and Realizations, pp. 9–13, arXiv:math/0608397v1, Bibcode:2006math......8397S

[2] Coxeter, Harold Scott Macdonald (1970). Twisted honeycombs. CBMS regional conference series in mathematics (4). AMS Bookstore. p. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.

[3] Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, p. 65, ISBN 978-0-12-465450-1

[cox-4] Coxeter, Introduction to geometry, 1969, Second edition, sec 21.3 Regular maps, p. 386-388

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[note 2]

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