अंतर भागफल

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एकल-चर कलन में, अंतर भागफल आमतौर पर अभिव्यक्ति का नाम होता है

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

जिसे जब किसी फ़ंक्शन की सीमा तक ले जाया जाता है, जैसे h 0 की ओर अग्रसर होता है, तो फ़ंक्शन (गणित) f का यौगिक देता है। अभिव्यक्ति का नाम इस तथ्य से उपजा है कि यह फ़ंक्शन के मूल्यों के अंतर (गणित) का भागफल है जो इसके तर्क के संगत मानों के अंतर से है (बाद वाला है (x + h) - x = h इसमें मामला)। अंतर भागफल अंतराल (गणित) पर फ़ंक्शन के परिवर्तन (गणित) की औसत दर का उपाय है (इस मामले में, लंबाई h का अंतराल)। अंतर भागफल की सीमा (यानी, व्युत्पन्न) इस प्रकार परिवर्तन की तात्कालिक दर है।

अंकन (और दृष्टिकोण) में मामूली बदलाव से, अंतराल [ए, बी] के लिए, अंतर भागफल

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

कहा जाता हैअंतराल [ए, बी] पर एफ के व्युत्पन्न का औसत (या औसत) मूल्य। यह नाम औसत मूल्य प्रमेय द्वारा उचित है, जो बताता है कि अलग-अलग फ़ंक्शन f के लिए, इसका व्युत्पन्न f' अंतराल में किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के अपने माध्य तक पहुंचता है।ज्यामितीय रूप से, यह अंतर भागफल निर्देशांक (a, f(a)) और (b, f(b)) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली छेदक रेखा के ढलान को मापता है। भिन्न भागफल का उपयोग संख्यात्मक विभेदन में सन्निकटन के रूप में किया जाता है, लेकिन वे इस आवेदन में आलोचना का विषय भी रहे हैं। टेम्पोरल डिस्क्रिटाइजेशन से जुड़े अनुप्रयोगों में अंतर कोशेंट भी प्रासंगिकता पा सकते हैं, जहां एच के मान के लिए समय कदम की चौड़ाई का उपयोग किया जाता है।

अंतर भागफल को कभी-कभी न्यूटन भागफल भी कहा जाता है (आइजैक न्यूटन के बाद) या फर्मेट का अंतर भागफल (पियरे डी फर्मेट के बाद)।

अवलोकन

ऊपर चर्चा की गई अंतर भागफल की विशिष्ट धारणा अधिक सामान्य अवधारणा का विशेष मामला है। कलन और अन्य उच्च गणित का प्राथमिक वाहन फलन (गणित) है। इसका इनपुट मान इसका तर्क है, आमतौर पर बिंदु (P) ग्राफ पर अभिव्यक्त होता है। दो बिंदुओं के बीच का अंतर, स्वयं, उनके डेल्टा (पत्र)अक्षर) (ΔP) के रूप में जाना जाता है, जैसा कि उनके कार्य परिणाम में अंतर है, गठन की दिशा द्वारा निर्धारित विशेष अंकन:

• आगे का अंतर:  ΔF(P) = F(P + ΔP) - F(P);
• केंद्रीय अंतर:  δF(P) = F(P + ½ΔP) − F(P − ½ΔP);
• पिछड़ा अंतर: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP).

सामान्य वरीयता आगे की ओर उन्मुखीकरण है, क्योंकि F(P) आधार है, जिसमें अंतर (यानी, ΔP s) जोड़े जाते हैं। आगे,

• अगर |ΔP| परिमित है (अर्थात् मापने योग्य), तो ΔF(P) को 'परिमित अंतर' के रूप में जाना जाता है, जिसमें DP और DF(P) के विशिष्ट अर्थ होते हैं;
• अगर |ΔP (एक असीम रूप से छोटी राशि—$\iota$—आमतौर पर मानक विश्लेषण में सीमा के रूप में व्यक्त किया जाता है: $\lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!$), तो ΔF(P) को dP और dF(P) के विशिष्ट अर्थों के साथ अतिसूक्ष्म अंतर के रूप में जाना जाता है (कैलकुलस ग्राफ़िंग में, बिंदु को लगभग अनन्य रूप से x और F(x) को y के रूप में पहचाना जाता है)।

बिंदु अंतर से विभाजित फ़ंक्शन अंतर को अंतर भागफल के रूप में जाना जाता है:

${\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!$

यदि ΔP अपरिमित है, तो अंतर भागफल व्युत्पन्न है, अन्यथा यह विभाजित अंतर है:

${\text{If }}|\Delta P|={\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {dF(P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!$

${\text{If }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!$

बिंदु सीमा को परिभाषित करना

भले ही ΔP अपरिमेय या परिमित है, वहाँ (कम से कम—व्युत्पन्न के मामले में—सैद्धांतिक रूप से) बिंदु सीमा होती है, जहां सीमाएँ P ± (0.5) ΔP (अभिविन्यास के आधार पर—ΔF(P), δF( पी) या ∇F (पी)):

एलबी = निचली सीमा; यूबी = ऊपरी सीमा;

डेरिवेटिव्स को स्वयं कार्यों के रूप में माना जा सकता है, अपने स्वयं के डेरिवेटिव्स को आश्रय देना। इस प्रकार प्रत्येक कार्य व्युत्पत्ति, या विभेदीकरण की अनुक्रमिक डिग्री (उच्च क्रम) का घर है। इस संपत्ति को सभी अंतर भागफलों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
चूंकि इस अनुक्रमण के लिए समान सीमा स्प्लिन्टरिंग की आवश्यकता होती है, इसलिए बिंदु श्रेणी को छोटे, सम-आकार वाले खंडों में विभाजित करना व्यावहारिक है, प्रत्येक अनुभाग को मध्यस्थ बिंदु (पी) द्वारा चिह्नित किया जाता है।_i), जहां एलबी = पी₀ और यूबी = पी_ń, nवाँ बिंदु, डिग्री/क्रम के बराबर: एलबी = पी₀ = पी₀ + 0डी₁पी = पी_ń - (Ń-0)डी₁पी;

        पी1 = पी0 + 1 डी1पी = पीń - (Ń-1)डी1पी;
        पी2 = पी0 + 2डी1पी = पीń - (Ń-2)डी1पी;
        पी3 = पी0 + 3डी1पी = पीń - (Ń-3)D1पी;
            ↓ ↓ ↓ ↓
       पीń-3 = पी0 + (Ń-3)डी1पी = पीń - 3डी1पी;
       पीń-2 = पी0 + (Ń-2)डी1पी = पीń - 2डी1पी;
       पीń-1 = पी0 + (Ń-1)डी1पी = पीń - 1डी1पी;
  यूबी = पीń-0 = पी0 + (Ń-0)डी1पी = पीń - 0डी1पी = पीń;

  ΔP = Δ1पी = पी1 - पी0 = पी2 - पी1 = पी3 - पी2 = ... = पीń - पीń-1;

  ΔB = UB - LB = Pń - पी0 = डीńपी = ŃΔ1पी।

प्राथमिक अंतर भागफल (Ń = 1)

${\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!$

व्युत्पन्न के रूप में

एक व्युत्पन्न के रूप में अंतर भागफल को कोई स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं है, सिवाय इसके कि पी₀ अनिवार्य रूप से पी के बराबर है₁ = पी₂ = ... = पी_ń (चूंकि अंतर अतिसूक्ष्म हैं), लीबनिज संकेतन और व्युत्पन्न अभिव्यक्तियाँ P से P में अंतर नहीं करती हैं₀ या पी_ń:

${\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!$

अवकलन के लिए डेरिवेटिव#नोटेशन हैं, लेकिन ये सबसे अधिक मान्यता प्राप्त, मानक पदनाम हैं।

एक विभाजित अंतर के रूप में

एक विभाजित अंतर, हालांकि, आगे स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है, क्योंकि यह एलबी और यूबी के बीच औसत व्युत्पन्न के बराबर होता है:

${\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}$

इस व्याख्या में, पी_ã निकाले गए फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है, P का औसत मान (मिडरेंज, लेकिन आमतौर पर बिल्कुल मिडपॉइंट नहीं), फ़ंक्शन औसत के आधार पर विशेष मूल्यांकन से निकाला जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, पी_ã कलन के माध्य मान प्रमेय में पाया जाता है, जो कहता है:

किसी भी कार्य के लिए जो [एलबी, यूबी] पर निरंतर है और अलग-अलग (एलबी, यूबी) पर कुछ पी मौजूद है_ã अंतराल में (LB,UB) जैसे कि अंतराल [LB,UB] के अंत बिंदुओं में शामिल होने वाला छेदक P पर स्पर्शरेखा के समानांतर है_ã.

अनिवार्य रूप से, पी_ã एलबी और यूबी के बीच पी के कुछ मूल्य को दर्शाता है- इसलिए,

$P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!$

जो माध्य मान परिणाम को विभाजित अंतर से जोड़ता है:

${\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}$

जैसा कि इसकी परिभाषा के अनुसार, एलबी/पी के बीच ठोस अंतर है₀ और यूबी/पी_ń, लीबनिज़ और व्युत्पन्न अभिव्यक्तियों को फ़ंक्शन तर्क के विचलन की आवश्यकता होती है।

उच्च-क्रम अंतर भागफल

दूसरा क्रम

${\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}$

तीसरा क्रम

${\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}$