निम्नतम और उच्चतम

एक सेट $P$ वास्तविक संख्या (खोखले और भरे हुए घेरे), एक सबसेट $S$ का $P$ (भरे घेरे), और की infumum $S.$ ध्यान दें कि परिमित या पूरी तरह से आदेशित सेट के लिए, न्यूनतम और न्यूनतम समान हैं।

एक सेट $A$ वास्तविक संख्याओं का (नीला वृत्त), की ऊपरी सीमा का एक सेट $A$ (लाल हीरा और वृत्त), और सबसे छोटी ऐसी ऊपरी सीमा, जो कि सर्वोच्च है $A$ (लाल हीरा)।

गणित में, एक उपसमुच्चय का infimum (संक्षिप्त रूप में; बहुवचन infimum)। $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट का $P$ में सबसे बड़ा तत्व है $P$ जो कि प्रत्येक तत्व से कम या उसके बराबर है $S,$ अगर ऐसा कोई तत्व मौजूद है। नतीजतन, शब्द सबसे बड़ी निचली सीमा (संक्षिप्त रूप में GLB) भी आमतौर पर प्रयोग किया जाता है।एक उपसमुच्चय का सर्वोच्च (संक्षिप्त सुपर; बहुवचन सुप्रीम)। $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट का $P$ में सबसे कम तत्व है $P$ के प्रत्येक तत्व से अधिक या उसके बराबर है $S,$ अगर ऐसा कोई तत्व मौजूद है।नतीजतन, सुप्रीमम को कम से कम ऊपरी सीमा (या LUB).

इन्फिमम एक सटीक अर्थ में सर्वोच्चता की अवधारणा के लिए द्वैत (आदेश सिद्धांत) है। Infima और suprema of real numbers आम विशेष मामले हैं जो गणितीय विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं, और विशेष रूप से Lebesgue एकीकरण में। हालांकि, सामान्य परिभाषाएं आदेश सिद्धांत की अधिक अमूर्त सेटिंग में मान्य रहती हैं जहां मनमाना आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर विचार किया जाता है।

इन्फिमम और सुप्रीमम की अवधारणा न्यूनतम और अधिकतम के करीब हैं, लेकिन विश्लेषण में अधिक उपयोगी हैं क्योंकि वे विशेष सेटों को बेहतर ढंग से चित्रित करते हैं जिनमें हो सकता है no minimum or maximum. उदाहरण के लिए, धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {R} ^{+}$ (शामिल नहीं $0$) का न्यूनतम नहीं है, क्योंकि किसी दिए गए तत्व का $\mathbb {R} ^{+}$ केवल आधे में विभाजित किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप एक छोटी संख्या होती है जो अभी भी अंदर है $\mathbb {R} ^{+}.$ हालाँकि, वास्तविक संख्याओं के सापेक्ष धनात्मक वास्तविक संख्याओं में से एक सबसे कम होती है: $0,$ जो सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं से छोटा है और किसी भी अन्य वास्तविक संख्या से बड़ा है जिसे निचली सीमा के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। प्रश्न में सेट के एक सुपरसेट के सापेक्ष हमेशा और केवल एक सेट का एक infinumum परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, धनात्मक वास्तविक संख्याओं (अपने स्वयं के सुपरसेट के रूप में) के अंदर धनात्मक वास्तविक संख्याओं का कोई भी अपरिमेय नहीं है, और न ही धनात्मक वास्तविक भाग के साथ जटिल संख्याओं के भीतर धनात्मक वास्तविक संख्याओं का कोई अपरिमेय है।

औपचारिक परिभाषा

सुप्रीमम = कम से कम ऊपरी बाउंड

ए {{em|lower bound}एक उपसमुच्चय का $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट का $(P,\leq )$ एक तत्व है $a$ का $P$ ऐसा है कि

• $a\leq x$ सभी के लिए $x\in S.$ एक निचली सीमा $a$ का $S$ एक कहा जाता है infimum (या greatest lower bound, या शामिल हों और मिलें|meet) का $S$ अगर
• सभी निचली सीमाओं के लिए $y$ का $S$ में $P,$ $y\leq a$ ($a$ किसी अन्य निचली सीमा से बड़ा या उसके बराबर है)।

इसी तरह, ए {{em|upper bound}एक उपसमुच्चय का $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट का $(P,\leq )$ एक तत्व है $b$ का $P$ ऐसा है कि

• $b\geq x$ सभी के लिए $x\in S.$ एक ऊपरी सीमा $b$ का $S$ ए कहा जाता है supremum (या least upper bound, या शामिल हों और मिलें|join) का $S$ अगर
• सभी ऊपरी सीमा के लिए $z$ का $S$ में $P,$ $z\geq b$ ($b$ किसी अन्य ऊपरी सीमा से कम या उसके बराबर है)।

अस्तित्व और विशिष्टता

Infima और suprema जरूरी नहीं है। एक कम से कम एक सबसेट का अस्तित्व $S$ का $P$ विफल हो सकता है अगर $S$ कोई निचली सीमा नहीं है, या यदि निचली सीमा के सेट में सबसे बड़ा तत्व नहीं है। हालांकि, अगर कोई infinumum या supremum मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

नतीजतन, आंशिक रूप से आदेशित सेट जिसके लिए कुछ इन्फिमा मौजूद हैं, विशेष रूप से दिलचस्प हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक जाली (आदेश) आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें सभी nonempty finite उपसमुच्चय में सर्वोच्च और न्यूनतम दोनों होते हैं, और एक पूर्ण जाली एक आंशिक रूप से आदेशित सेट होता है जिसमें all उपसमुच्चय में सर्वोच्च और न्यूनतम दोनों होते हैं। इस तरह के विचारों से उत्पन्न होने वाले आंशिक रूप से आदेशित सेटों के विभिन्न वर्गों के बारे में अधिक जानकारी पूर्णता (आदेश सिद्धांत) पर लेख में पाई जाती है।

यदि एक उपसमुच्चय का सर्वोच्च $S$ मौजूद है, यह अद्वितीय है। अगर $S$ सबसे बड़ा तत्व है, तो वह तत्व सर्वोच्च है; अन्यथा, सर्वोच्च का संबंध नहीं है $S$ (या मौजूद नहीं है)। इसी तरह, यदि निम्‍नतम मौजूद है, तो यह अद्वितीय है। अगर $S$ सबसे कम तत्व शामिल है, तो वह तत्व न्यूनतम है; अन्यथा, इन्फिमम का संबंध नहीं है $S$ (या मौजूद नहीं है)।

अधिकतम और न्यूनतम तत्वों से संबंध

उपसमुच्चय का अनंतिम $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट का $P,$ यह मानते हुए कि यह मौजूद है, जरूरी नहीं है $S.$ यदि ऐसा होता है, तो यह का एक न्यूनतम तत्व है $S.$ इसी प्रकार, यदि का सर्वोच्च $S$ से संबंधित $S,$ यह का एक अधिकतम तत्व है $S.$ उदाहरण के लिए, ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं (शून्य को छोड़कर) के समुच्चय पर विचार करें। इस सेट का कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है, क्योंकि सेट के प्रत्येक तत्व के लिए एक और बड़ा तत्व है। उदाहरण के लिए, किसी भी नकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $x,$ एक अन्य ऋणात्मक वास्तविक संख्या है ${\tfrac {x}{2}},$ जो अधिक है। दूसरी ओर, प्रत्येक वास्तविक संख्या शून्य से अधिक या उसके बराबर निश्चित रूप से इस सेट पर एक ऊपरी सीमा है। इस तरह, $0$ ऋणात्मक वास्तविकों की सबसे छोटी ऊपरी सीमा है, इसलिए सर्वोच्च 0 है। इस सेट में एक उच्चतम है लेकिन कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है।

हालाँकि, अधिकतम तत्व की परिभाषा अधिक सामान्य है। विशेष रूप से, एक सेट में कई अधिकतम और न्यूनतम तत्व हो सकते हैं, जबकि इन्फिमा और सुप्रीमा अद्वितीय हैं।

जबकि मैक्सिमा और मिनिमा उस उपसमुच्चय के सदस्य होने चाहिए जो कि विचाराधीन है, किसी उपसमुच्चय के न्यूनतम और उच्चतम उस उपसमुच्चय के सदस्य होने की आवश्यकता नहीं है।

न्यूनतम ऊपरी सीमा

अंत में, आंशिक रूप से आदेशित सेट में कम से कम ऊपरी सीमा के बिना कई न्यूनतम ऊपरी सीमाएँ हो सकती हैं। न्यूनतम ऊपरी सीमाएँ वे ऊपरी सीमाएँ हैं जिनके लिए कोई सख्त छोटा तत्व नहीं है जो एक ऊपरी सीमा भी है। यह नहीं कहता है कि प्रत्येक न्यूनतम ऊपरी सीमा अन्य सभी ऊपरी सीमाओं से छोटी है, यह केवल अधिक नहीं है। न्यूनतम और न्यूनतम के बीच का अंतर तभी संभव है जब दिया गया क्रम पूरी तरह से व्यवस्थित सेट नहीं है। पूरी तरह से आदेशित सेट में, वास्तविक संख्याओं की तरह, अवधारणाएं समान होती हैं।

एक उदाहरण के रूप में, चलो $S$ प्राकृतिक संख्याओं के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय हो और सभी समुच्चयों को लेकर प्राप्त आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय पर विचार करें $S$ पूर्णांकों के समुच्चय के साथ $\mathbb {Z}$ और धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {R} ^{+},$ ऊपर के रूप में सबसेट समावेशन द्वारा आदेश दिया गया। फिर स्पष्ट रूप से दोनों $\mathbb {Z}$ और $\mathbb {R} ^{+}$ प्राकृतिक संख्याओं के सभी परिमित समुच्चय से अधिक हैं। फिर भी, न तो है $\mathbb {R} ^{+}$ तुलना में छोटा $\mathbb {Z}$ न ही इसका विलोम सत्य है: दोनों सेट न्यूनतम ऊपरी सीमाएँ हैं लेकिन कोई भी सर्वोच्च नहीं है।

कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति

Main article: Least-upper-bound property

वह least-upper-bound property पूर्वोक्त पूर्णता (आदेश सिद्धांत) का एक उदाहरण है जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के लिए विशिष्ट है। इस संपत्ति को कभी-कभी कहा जाता है Dedekind completeness.

यदि एक आदेश दिया गया सेट $S$ संपत्ति है कि हर गैर-खाली उपसमुच्चय $S$ ऊपरी बाउंड होने पर भी कम से कम ऊपरी बाउंड होता है $S$ कहा जाता है कि सबसे कम-ऊपरी-बाध्य संपत्ति है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सेट $\mathbb {R}$ सभी वास्तविक संख्याओं में सबसे कम-ऊपरी-बाध्य संपत्ति है। इसी तरह, सेट $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों में सबसे कम-ऊपरी-बाध्य संपत्ति है; अगर $S$ का एक अरिक्त उपसमुच्चय है $\mathbb {Z}$ और कुछ संख्या है $n$ ऐसा है कि हर तत्व $s$ का $S$ से कम या बराबर है $n,$ तो वहाँ एक कम से कम ऊपरी सीमा है $u$ के लिए $S,$ एक पूर्णांक जिसके लिए ऊपरी सीमा है $S$ और के लिए हर दूसरे ऊपरी बाउंड से कम या बराबर है $S.$ एक सुव्यवस्थित सेट में सबसे कम-ऊपरी-बाउंड संपत्ति भी होती है, और खाली सबसेट की भी कम से कम ऊपरी सीमा होती है: पूरे सेट की न्यूनतम।

एक सेट का एक उदाहरण है कि lacks सबसे कम-ऊपरी-बाध्य संपत्ति है $\mathbb {Q} ,$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय। होने देना $S$ सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय हो $q$ ऐसा है कि $q^{2}<2.$ तब $S$ एक ऊपरी सीमा है ($1000,$ उदाहरण के लिए, या $6$) लेकिन कम से कम ऊपरी सीमा में नहीं $\mathbb {Q}$: अगर हम मान लें $p\in \mathbb {Q}$ कम से कम ऊपरी सीमा है, एक विरोधाभास तुरंत निकाला जाता है क्योंकि किसी भी दो वास्तविक के बीच $x$ और $y$ (2| के वर्गमूल सहित)${\sqrt {2}}$और $p$) कुछ तर्कसंगत मौजूद है $r,$ जो स्वयं कम से कम ऊपरी सीमा होनी चाहिए (यदि $p>{\sqrt {2}}$) या का सदस्य $S$ से अधिक $p$ (अगर $p<{\sqrt {2}}$). एक अन्य उदाहरण hyperreal है; धनात्मक अतिसूक्ष्मों के समुच्चय की कम से कम ऊपरी सीमा नहीं होती है।

एक संगत है greatest-lower-bound property; एक आदेशित सेट में सबसे बड़ी-निचली-बाध्य संपत्ति होती है यदि और केवल अगर यह कम से कम-ऊपरी-बाध्य संपत्ति भी रखती है; एक सेट की निचली सीमा के सेट की सबसे कम-ऊपरी सीमा सबसे बड़ी-निचली-सीमा है, और एक सेट की ऊपरी सीमा के सेट की सबसे बड़ी-निचली सीमा सेट की सबसे कम-ऊपरी सीमा है।

यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में $P$ प्रत्येक परिबद्ध उपसमुच्चय का एक सर्वोच्च होता है, यह किसी भी समुच्चय के लिए भी लागू होता है $X,$ फ़ंक्शन स्पेस में जिसमें से सभी फ़ंक्शन होते हैं $X$ को $P,$ कहाँ $f\leq g$ अगर और केवल अगर $f(x)\leq g(x)$ सभी के लिए $x\in X.$ उदाहरण के लिए, यह वास्तविक कार्यों के लिए लागू होता है, और, चूंकि इन्हें वास्तविक कार्यों के विशेष मामले माना जा सकता है $n$-टुपल्स और वास्तविक संख्याओं का क्रम।

सबसे कम-ऊपरी-बाध्य संपत्ति सर्वोच्चता का सूचक है।

वास्तविक संख्याओं की अनंतता और सर्वोच्चता

गणितीय विश्लेषण में, उपसमुच्चय की infima और suprema $S$ वास्तविक संख्याएँ विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं में सबसे बड़ा अवयव नहीं होता है, और उनकी सर्वोच्चता होती है $0$ (जो ऋणात्मक वास्तविक संख्या नहीं है)।वास्तविक संख्याओं की पूर्णता का अर्थ है (और इसके समतुल्य है) कि कोई भी परिबद्ध गैररिक्त उपसमुच्चय $S$ वास्तविक संख्या के एक infimum और एक supremum है। अगर $S$ नीचे बाध्य नहीं है, एक अक्सर औपचारिक रूप से लिखता है $\inf _{}S=-\infty .$ अगर $S$ खाली सेट है, एक लिखता है $\inf _{}S=+\infty .$

गुण

अगर $A$ तब वास्तविक संख्याओं का कोई समुच्चय होता है $A\neq \varnothing$ अगर और केवल अगर $\sup A\geq \inf A,$ और अन्यथा $-\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .$

अगर $A\subseteq B$ तब वास्तविक संख्या के समुच्चय हैं $\inf A\geq \inf B$ (जब तक $A=\varnothing \neq B$) और $\sup A\leq \sup B.$ इन्फर्मा और सुप्रीमा की पहचान करना

यदि की अनंतिम $A$ मौजूद है (अर्थात, $\inf A$ एक वास्तविक संख्या है) और यदि $p$ तब कोई वास्तविक संख्या है $p=\inf A$ अगर और केवल अगर $p$ एक निचली सीमा है और हर के लिए $\epsilon >0$ वहाँ है एक $a_{\epsilon }\in A$ साथ $a_{\epsilon }<p+\epsilon .$ इसी प्रकार यदि $\sup A$ एक वास्तविक संख्या है और यदि $p$ तब कोई वास्तविक संख्या है $p=\sup A$ अगर और केवल अगर $p$ एक ऊपरी सीमा है और यदि प्रत्येक के लिए $\epsilon >0$ वहाँ है एक $a_{\epsilon }\in A$ साथ $a_{\epsilon }>p-\epsilon .$ अनुक्रमों की सीमा से संबंध

अगर $S\neq \varnothing$ वास्तविक संख्याओं का कोई गैर-खाली सेट है तो हमेशा एक गैर-घटता अनुक्रम मौजूद होता है $s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots$ में $S$ ऐसा है कि $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.$ इसी तरह, एक (संभवतः अलग) गैर-बढ़ती अनुक्रम मौजूद होगा $s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots$ में $S$ ऐसा है कि $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.$ ऐसे क्रम की सीमा के रूप में न्यूनतम और उच्चतम को व्यक्त करने से गणित की विभिन्न शाखाओं के प्रमेयों को लागू करने की अनुमति मिलती है। उदाहरण के लिए टोपोलॉजी से प्रसिद्ध तथ्य पर विचार करें कि यदि $f$ एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) है और $s_{1},s_{2},\ldots$ अपने डोमेन में बिंदुओं का एक क्रम है जो एक बिंदु पर अभिसरण करता है $p,$ तब $f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots$ अनिवार्य रूप से अभिसरण करता है $f(p).$ तात्पर्य यह है कि यदि $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S$ एक वास्तविक संख्या है (जहाँ सभी $s_{1},s_{2},\ldots$ में हैं $S$) और अगर $f$ एक सतत कार्य है जिसका डोमेन शामिल है $S$ और $\sup S,$ तब

$$f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),$$

जो (उदाहरण के लिए) गारंटी देता है वह $f(\sup S)$ सेट का अनुगामी बिंदु है $f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.$ यदि इसके अलावा जो ग्रहण किया गया है, वह निरंतर कार्य करता है $f$ एक बढ़ता या गैर-घटता कार्य भी है, तो यह निष्कर्ष निकालना भी संभव है $\sup f(S)=f(\sup S).$ यह, उदाहरण के लिए, यह निष्कर्ष निकालने के लिए लागू किया जा सकता है कि जब भी $g$ डोमेन के साथ एक वास्तविक (या जटिल संख्या) मूल्यवान कार्य है $\Omega \neq \varnothing$ जिसका आदर्श है $\|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|$ परिमित है, तो प्रत्येक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या के लिए $q,$

$$\|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)$$

मानचित्र के बाद से $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $f(x)=x^{q}$ एक निरंतर गैर-घटता कार्य है जिसका डोमेन $[0,\infty )$ हमेशा शामिल है $S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}$ और $\sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.$ हालांकि यह चर्चा $\sup ,$ के लिए इसी तरह के निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं $\inf$ उचित परिवर्तनों के साथ (जैसे कि इसकी आवश्यकता है $f$ गैर-घटने के बजाय गैर-बढ़ती हो)। अन्य मानदंड (गणित) के संदर्भ में परिभाषित $\sup$ या $\inf$ कमजोर एलपी स्पेस | कमजोर शामिल करें $L^{p,w}$ अंतरिक्ष मानदंड (के लिए $1\leq p<\infty$), एलपी स्पेस पर मानदंड $L^{\infty }(\Omega ,\mu ),$ और ऑपरेटर मानदंड। मोनोटोन सीक्वेंस में $S$ जो अभिसरण करता है $\sup S$ (या करने के लिए $\inf S$) का उपयोग नीचे दिए गए कई फार्मूले को साबित करने में मदद के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणा निरंतर संक्रियाएं हैं।

सेट पर अंकगणितीय संचालन

निम्नलिखित सूत्र एक अंकन पर निर्भर करते हैं जो सेट पर अंकगणितीय संचालन को आसानी से सामान्यीकृत करता है। लगातार, $A,B\subseteq \mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय हैं।

सेट का योग

दो सेटों का मिन्कोवस्की योग $A$ और $B$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

$$A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}$$
 संख्याओं के जोड़े के सभी संभव अंकगणितीय योगों से मिलकर, प्रत्येक सेट से एक। मिन्कोव्स्की राशि का न्यूनतम और सर्वोच्च संतुष्ट करता है
$$\inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)$$
 और
$$\sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).$$

सेट का उत्पाद

दो सेटों का गुणन $A$ और $B$ वास्तविक संख्याओं की संख्या को उनके मिन्कोव्स्की योग के समान परिभाषित किया गया है:

$$A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.$$

अगर $A$ और $B$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अरिक्त समुच्चय हैं $\inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)$ और इसी तरह सुप्रीम के लिए $\sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).$ एक सेट का स्केलर उत्पाद

एक वास्तविक संख्या का उत्पाद $r$ और एक सेट $B$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

$$rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.$$

अगर $r\geq 0$ तब

$$\inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),$$

जबकि अगर $r\leq 0$ तब

$$\inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).$$
 का उपयोग करते हुए $r=-1$ और अंकन ${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$ यह इस प्रकार है कि

$$\inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.$$

किसी समुच्चय का गुणक प्रतिलोम

किसी भी सेट के लिए $S$ जिसमें शामिल नहीं है $0,$ होने देना

$${\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.$$

अगर $S\subseteq (0,\infty )$ तब खाली नहीं है

$${\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}$$
 जहां यह समीकरण कब भी होता है $\sup _{}S=\infty$ यदि परिभाषा ${\frac {1}{\infty }}:=0$ प्रयोग किया जाता है। इस समानता को वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है
${\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.$ इसके अतिरिक्त, $\inf _{}S=0$ अगर और केवल अगर $\sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,$ कहाँ अगर $\inf _{}S>0,$ तब ${\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.$

द्वैत

यदि कोई दर्शाता है $P^{\operatorname {op} }$ आंशिक रूप से आदेशित सेट $P$ विलोम संबंध के साथ; यानी सभी के लिए $x{\text{ and }}y,$ घोषित करें:

$$x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,$$

फिर एक उपसमुच्चय का निम्नतम $S$ में $P$ के सर्वोच्च के बराबर है $S$ में $P^{\operatorname {op} }$ और इसके विपरीत।

वास्तविक संख्याओं के सबसेट के लिए, एक अन्य प्रकार का द्वैत धारण करता है: $\inf S=-\sup(-S),$ कहाँ $-S:=\{-s~:~s\in S\}.$

उदाहरण

इन्फिमा

• संख्याओं के समुच्चय का अनंत $\{2,3,4\}$ है $2.$ जो नंबर $1$ निचली सीमा है, लेकिन सबसे बड़ी निचली सीमा नहीं है, और इसलिए न्यूनतम नहीं है।
• अधिक आम तौर पर, यदि एक सेट में सबसे छोटा तत्व होता है, तो सबसे छोटा तत्व सेट के लिए न्यूनतम होता है। इस मामले में, इसे सेट का न्यूनतम भी कहा जाता है।
• $\inf\{1,2,3,\ldots \}=1.$
• $\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.$
• $\inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.$
• $\inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.$
• अगर $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ सीमा के साथ घटता क्रम है $x,$ तब $\inf x_{n}=x.$

सुप्रीम

• संख्याओं के समुच्चय का सर्वोच्च $\{1,2,3\}$ है $3.$ जो नंबर $4$ एक ऊपरी सीमा है, लेकिन यह कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है, और इसलिए सर्वोच्च नहीं है।
• $\sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.$
• $\sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.$
• $\sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.$
• $\sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.$

पिछले उदाहरण में, परिमेय संख्या के एक सेट का सर्वोच्च अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि परिमेय पूर्ण स्थान हैं।

सुप्रीमम की एक मूल संपत्ति है

$$\sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}$$

किसी भी कार्यात्मक (गणित) के लिए $f$ और $g.$ एक उपसमुच्चय का सर्वोच्च $S$ का $(\mathbb {N} ,\mid \,)$ कहाँ $\,\mid \,$ विभाजक को दर्शाता है, के तत्वों का लघुत्तम समापवर्तक है $S.$ एक सेट का सर्वोच्च $S$ कुछ सेट के सबसेट युक्त $X$ आंशिक रूप से आदेशित सेट पर विचार करते समय सबसेट का संघ (सेट सिद्धांत) है $(P(X),\subseteq )$, कहाँ $P$ का सत्ता स्थापित है $X$ और $\,\subseteq \,$ उपसमुच्चय है।

यह भी देखें

• Essential supremum and essential infimum
• Greatest element and least element
• Maximal and minimal elements
• Limit superior and limit inferior (न्यूनतम सीमा)
• Upper and lower bounds

संदर्भ

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

बाहरी संबंध

• "Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. "निम्नतम और उच्चतम". MathWorld.