नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का वर्तमान कानून नोडल विश्लेषण का आधार है।

इलेक्ट्रिक सर्किट विश्लेषण में, नोडल विश्लेषण, नोड-वोल्टेज विश्लेषण, या शाखा वर्तमान पद्धति नोड (सर्किट) (बिंदु जहां तत्व या शाखाएं कनेक्ट होती हैं) के बीच विद्युत सर्किट में वोल्टेज (संभावित अंतर) का निर्धारण करने का एक तरीका है। शाखा धाराएँ।

किरचॉफ के सर्किट कानूनों का उपयोग करके एक सर्किट का विश्लेषण करने में, किरचॉफ के वर्तमान कानून (केसीएल) या किरचॉफ के वोल्टेज कानून (केवीएल) का उपयोग करके जाल विश्लेषण का उपयोग करके नोडल विश्लेषण किया जा सकता है। नोडल विश्लेषण प्रत्येक नोड (सर्किट) पर एक समीकरण लिखता है, जिसके लिए आवश्यकता होती है कि नोड पर होने वाली शाखा धाराओं का योग शून्य होना चाहिए। शाखा धाराओं को सर्किट नोड वोल्टेज के रूप में लिखा जाता है। एक परिणाम के रूप में, प्रत्येक शाखा संवैधानिक संबंध वोल्टेज के कार्य के रूप में वर्तमान देना चाहिए; एक प्रवेश प्रतिनिधित्व। उदाहरण के लिए, एक प्रतिरोधक के लिए, I_branch = वी_branch * G, जहाँ G (=1/R) प्रतिरोधक का प्रवेश (चालन) है।

नोडल विश्लेषण संभव है जब सभी सर्किट तत्वों की शाखा संघटक संबंधों में एक प्रवेश प्रतिनिधित्व होता है। नोडल विश्लेषण नेटवर्क के लिए समीकरणों का एक कॉम्पैक्ट सेट तैयार करता है, जिसे छोटे होने पर हाथ से हल किया जा सकता है, या कंप्यूटर द्वारा रैखिक बीजगणित का उपयोग करके जल्दी से हल किया जा सकता है। समीकरणों की कॉम्पैक्ट प्रणाली के कारण, कई सर्किट सिमुलेशन प्रोग्राम (जैसे, मसाला ) आधार के रूप में नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हैं। जब तत्वों में प्रवेश का प्रतिनिधित्व नहीं होता है, तो नोडल विश्लेषण का अधिक सामान्य विस्तार, संशोधित नोडल विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है।

प्रक्रिया

सर्किट में सभी कनेक्टेड वायर सेगमेंट पर ध्यान दें। ये नोडल विश्लेषण के नोड हैं।
ग्राउंड (बिजली) संदर्भ के रूप में एक नोड का चयन करें। पसंद तत्व वोल्टेज को प्रभावित नहीं करता है (लेकिन यह नोडल वोल्टेज को प्रभावित करता है) और यह केवल सम्मेलन का मामला है। सबसे अधिक कनेक्शन वाले नोड को चुनना विश्लेषण को आसान बना सकता है। एन नोड्स के सर्किट के लिए नोडल समीकरणों की संख्या एन-1 है।
प्रत्येक नोड के लिए एक चर असाइन करें जिसका वोल्टेज अज्ञात है। यदि वोल्टेज पहले से ही ज्ञात है, तो चर निर्दिष्ट करना आवश्यक नहीं है।
प्रत्येक अज्ञात वोल्टेज के लिए, किरचॉफ के वर्तमान कानून के आधार पर एक समीकरण बनाएं (अर्थात नोड से निकलने वाली सभी धाराओं को एक साथ जोड़ें और योग को शून्य के बराबर चिह्नित करें)। दो नोड्स के बीच का करंट नोड के वोल्टेज के बराबर होता है, जहां से करंट निकलता है, नोड के वोल्टेज को घटाता है, जहां करंट नोड में प्रवेश करता है, दोनों को दो नोड्स के बीच प्रतिरोध से विभाजित किया जाता है।
यदि दो अज्ञात वोल्टेज के बीच वोल्टेज स्रोत हैं, तो दो नोड्स को सुपरनोड (सर्किट) के रूप में जोड़ें। दो नोड्स की धाराओं को एक समीकरण में संयोजित किया जाता है, और वोल्टेज के लिए एक नया समीकरण बनता है।
प्रत्येक अज्ञात वोल्टेज के लिए एक साथ समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

उदाहरण

मूल मामला

एक अज्ञात वोल्टेज, वी के साथ मूल उदाहरण सर्किट₁.

इस सर्किट में एकमात्र अज्ञात वोल्टेज है $V_{1}$ . इस नोड के तीन कनेक्शन हैं और इसके परिणामस्वरूप विचार करने के लिए तीन धाराएँ हैं। गणना में धाराओं की दिशा को नोड से दूर चुना जाता है।

रोकनेवाला के माध्यम से वर्तमान $R_{1}$ : $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$
रोकनेवाला के माध्यम से वर्तमान $R_{2}$ : $V_{1}/R_{2}$
वर्तमान स्रोत के माध्यम से वर्तमान $I_{S}$ : $-I_{S}$

किरचॉफ के वर्तमान कानून के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

{\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0

इस समीकरण को V के संबंध में हल किया जा सकता है₁:

V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}

अंत में, प्रतीकों के लिए संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करके अज्ञात वोल्टेज को हल किया जा सकता है। सर्किट में सभी वोल्टेज ज्ञात होने के बाद किसी भी अज्ञात धारा की गणना करना आसान होता है।

V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}

सुपरनोड्स

इस सर्किट में वी_A दो अज्ञात वोल्टेज के बीच है, और इसलिए एक सुपरनोड है।

इस परिपथ में, हमारे पास प्रारंभ में दो अज्ञात वोल्टेज, V हैं₁ और वी₂. वी पर वोल्टेज₃ V के रूप में जाना जाता है_B क्योंकि वोल्टेज स्रोत का दूसरा टर्मिनल जमीनी क्षमता पर है।

वोल्टता स्रोत V से प्रवाहित धारा_A सीधे गणना नहीं की जा सकती। इसलिए, हम वी के लिए मौजूदा समीकरण नहीं लिख सकते हैं₁ या वी₂. हालाँकि, हम जानते हैं कि वही करंट नोड V छोड़ रहा है₂ नोड वी दर्ज करना होगा₁. भले ही नोड्स को व्यक्तिगत रूप से हल नहीं किया जा सकता है, हम जानते हैं कि इन दो नोड्स का संयुक्त वर्तमान शून्य है। दो नोड्स के इस संयोजन को सुपरनोड (सर्किट) तकनीक कहा जाता है, और इसके लिए एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है: वी₁ = वी₂ + वी_A.

इस सर्किट के लिए समीकरणों का पूरा सेट है:

{\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}

प्रतिस्थापित करके

V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}

नोड-वोल्टेज समीकरण के लिए मैट्रिक्स फॉर्म

सामान्य तौर पर, एक सर्किट के साथ $N$ नोड्स, नोडल विश्लेषण द्वारा प्राप्त नोड-वोल्टेज समीकरणों को निम्नलिखित में प्राप्त मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है। किसी भी नोड के लिए $k$ , केसीएल बताता है ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ कहाँ $G_{kj}=G_{jk}$ नोड्स के बीच चालन के योग का ऋणात्मक है $k$ और $j$ , और $v_{k}$ नोड का वोल्टेज है $k$ . यह संकेत करता है ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ कहाँ $G_{kk}$ नोड से जुड़े चालन का योग है $k$ . हम ध्यान दें कि पहला शब्द नोड में रैखिक रूप से योगदान देता है $k$ के जरिए $G_{kk}$ , जबकि दूसरा कार्यकाल प्रत्येक नोड में रैखिक रूप से योगदान देता है $j$ नोड से जुड़ा हुआ है $k$ के जरिए $G_{jk}$ माइनस साइन के साथ। यदि एक स्वतंत्र वर्तमान स्रोत/इनपुट $i_{k}$ नोड से भी जुड़ा हुआ है $k$ , उपरोक्त अभिव्यक्ति सामान्यीकृत है ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ . यह आसानी से दिखाया गया है कि उपरोक्त नोड-वोल्टेज समीकरणों को सभी के लिए जोड़ा जा सकता है $N$ नोड्स, और उन्हें निम्नलिखित मैट्रिक्स फॉर्म में लिखें