सामान्यीकृत बल

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी (विशेष रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी) में, सामान्यीकृत बल सामान्यीकृत निर्देशांक के साथ संयुग्मित होते हैं। वे प्रयुक्त किये गए बल F_i, i = 1, …, n से प्राप्त होते हैं, जो ऐसी प्रणाली पर कार्य करते हैं जिसका विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक के संदर्भ में परिभाषित होता है। आभासी कार्य के निर्माण में, प्रत्येक सामान्यीकृत बल सामान्यीकृत समन्वय की भिन्नता का गुणांक है।

वर्चुअल वर्क

प्रयुक्त बलों के आभासी कार्य, δW, की गणना से सामान्यीकृत बलों को प्राप्त किया जा सकता है।

कणों P_i, i = 1, ..., n पर कार्य करने वाले बलों F_i का आभासी कार्य, द्वारा दिया गया है:

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}$

जहाँ δr_i कण P_i का आभासी विस्थापन है।

सामान्यीकृत निर्देशांक

मान लें कि प्रत्येक कण की स्थिति सदिश, r_i, सामान्यीकृत निर्देशांकों का फलन है, q_j, j = 1, ..., m। फिर आभासी विस्थापन δr_i द्वारा दिया जाता है:

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,$

जहाँ δq_j सामान्यीकृत निर्देशांक q_j का आभासी विस्थापन है।

कणों के निकाय के लिए आभासी कार्य हो जाता है:

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.$

δq_j के गुणांक लीजिए जिससे,

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.$

सामान्यीकृत बल

कणों के निकाय के आभासी कार्य को इस रूप में लिखा जा सकता है:

$\delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},$

जहाँ

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,$

सामान्यीकृत निर्देशांक q_j, j = 1, ..., m से जुड़े सामान्यीकृत बल कहलाते हैं।

वेग सूत्रीकरण

आभासी कार्य के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्रणाली के वेग से आभासी विस्थापन प्राप्त करना अधिकांशतः सुविधाजनक होता है। n कण प्रणाली के लिए, प्रत्येक कण P_i का वेग V_i होने दें , फिर आभासी विस्थापन δr_i के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.$

इसका अर्थ है कि सामान्यीकृत बल, Q_j, के रूप में भी निर्धारित किया जा सकता है:

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत

डी'अलेम्बर्ट ने जड़त्व बल (स्पष्ट बल) के साथ प्रयुक्त बलों के संतुलन के रूप में कण की गतिकी तैयार की, जिसे डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत कहा जाता है। m_i द्रव्यमान के कण P_i का जड़त्व बल है:

$\mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,$

जहाँ A_i कण का त्वरण है।

यदि कण प्रणाली का विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक q_j, j = 1, ..., m पर निर्भर करता है , तो सामान्यीकृत जड़त्व बल द्वारा यह दिया जाता है:

$Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

डी'अलेम्बर्ट के आभासी कार्य के सिद्धांत का रूप यह परिणाम देता है:

$\delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.$

यह भी देखें

• लैग्रैन्जियन यांत्रिकी
• सामान्यीकृत निर्देशांक
• स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन शास्त्र)
• आभासी कार्य

श्रेणी:यांत्रिकी श्रेणी:शास्त्रीय यांत्रिकी श्रेणी:लैग्रैंजियन यांत्रिकी