मार्कोव संख्या

Not to be confused with Markov constant or Markov theorem.

मार्कोव नंबर ट्री का पहला स्तर

एक मार्कोव संख्या या मार्कऑफ़ संख्या एक धनात्मक पूर्णांक x, y या z है जो मार्कोव डायोफैंटाइन समीकरण के समाधान का हिस्सा है

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,$

द्वारा अध्ययन किया गया Andrey Markoff (1879, 1880).

पहले कुछ मार्कोव नंबर हैं

1 (संख्या), 2 (संख्या), 5 (संख्या), 13 (संख्या), 29 (संख्या), 34 (संख्या), 89 (संख्या), 169 (संख्या), 194 (संख्या), 233 (संख्या) , 433, 610, 985, 1325, ... (sequence A002559 in the OEIS)

मार्कोव ट्रिपल्स के निर्देशांक के रूप में दिखाई दे रहे हैं

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), ( 1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ...

असीम रूप से कई मार्कोव संख्याएँ और मार्कोव त्रिक हैं।

मार्कोव ट्री

पुराने मार्कोव ट्रिपल (x, y, z) से नया मार्कोव ट्रिपल प्राप्त करने के दो सरल तरीके हैं। सबसे पहले, कोई 3 संख्याओं x,y,z को क्रमचयित कर सकता है, इसलिए विशेष रूप से कोई त्रिगुणों को सामान्य कर सकता है ताकि x ≤ y ≤ z। दूसरा, अगर (x, y, z) एक मार्कोव ट्रिपल है तो कूदने की जगह द्वारा ऐसा होता है (x, y, 3xy − z)। इस ऑपरेशन को दो बार लागू करने से वही ट्रिपल एक के साथ शुरू होता है। प्रत्येक सामान्यीकृत मार्कोव ट्रिपल को 1, 2, या 3 सामान्यीकृत ट्रिपल में शामिल करने से कोई भी इससे प्राप्त कर सकता है, जो चित्र में (1,1,1) से शुरू होने वाला एक ग्राफ देता है। यह ग्राफ कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) है; दूसरे शब्दों में प्रत्येक मार्कोव ट्रिपल से जोड़ा जा सकता है (1,1,1) इन परिचालनों के अनुक्रम द्वारा। अगर हम उदाहरण के तौर पर शुरू करते हैं (1, 5, 13) हमें इसके तीन पड़ोस मिलते हैं (ग्राफ़ सिद्धांत) (5, 13, 194), (1, 13, 34) और (1, 2, 5) मार्कोव ट्री में यदि z क्रमशः 1, 5 और 13 पर सेट है। उदाहरण के लिए, से शुरू करना (1, 1, 2) और ट्रांस्फ़ॉर्म के प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले y और z का व्यापार फाइबोनैचि संख्याओं के साथ मार्कोव ट्रिपल को सूचीबद्ध करता है। उसी ट्रिपलेट से शुरू करना और प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले x और z का व्यापार करना पेल नंबरों के साथ ट्रिपल देता है।

2 के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ समता (गणित) -अनुक्रमित पेल संख्याएँ हैं (या संख्याएँ n जैसे कि 2n² − 1 एक वर्ग संख्या है, OEIS: A001653), और 1 के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ विषम-अनुक्रमित फाइबोनैचि संख्याएँ हैं (OEIS: A001519). इस प्रकार, रूप के असीम रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं

$(1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,$

जहां एफ_k kth फाइबोनैचि संख्या है। इसी तरह, रूप के असीम रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं

$(2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,$

जहां पी_k kth पेल नंबर है।

== सबूत है कि यह सभी संभव ट्रिपल == उत्पन्न करता है

किसी हल (x, y, z) से प्रारंभ करें, और मान लें कि तीनों भिन्न हैं। अब द्विघात फलन पर विचार करें

$f(t)=t^{2}-t(3xy)+(x^{2}+y^{2})$

ध्यान दें कि z एक बहुपद का एक मूल है। वीटा के कूदने से, दूसरा मूल z' z + z' = 3xy और zz' = x को संतुष्ट करता है² + वाई^{&हेयरस्प;2</सुप>. इस प्रकार चूँकि z धनात्मक है, z' भी धनात्मक है, हम देखते हैं कि z' = 3xy - z एक अन्य हल देता है।}

अब, WLOG, x > y मान लें, फिर लें

$f(x)=2x^{2}+y^{2}-3x^{2}y=x^{2}(2-3y)+y^{2}$

चूँकि y > 0, 2 − 3y ≤ −1, इसलिए f(x) < 0. चूँकि f(t) एक ऊपर की ओर उन्मुख परवलय है, इसका अर्थ है min(z, z′ ) < x < max(z, z' )।

इसका मतलब है कि हम तीन नए समाधान बना सकते हैं: (x, y, 3xy − z), (x, 3xz − y, z), और (3yz − x, y, z) और ये अलग हैं। उपरोक्त हमारी गणना से, तीन नए समाधानों में से एक में (x, y, z) (और अन्य दो बड़े) की तुलना में एक छोटा अधिकतम तत्व होगा।

इस प्रकार हम इस तरह से आगे बढ़ते हैं, हर बार अधिकतम तत्व को कम करते हैं (जो वीटा जंपिंग का सार है)। चूँकि हम केवल सकारात्मक पूर्णांकों के साथ काम कर रहे हैं, हमें अंततः रुकना चाहिए, जिसका अर्थ है कि हम एक ऐसे समाधान तक पहुँचते हैं जिसमें सभी तत्व अलग-अलग नहीं हैं।

इस तरह के समाधान पर विचार करना हमारे लिए बाकी है। WLOG मान लें x = y, फिर 2x² + के साथ² = 3x^{2</सुप>ज़. इस प्रकार एक्स2 | साथ2 और x | z, इसलिए z = ax लिखिए। तो हम प्राप्त करते हैं}

$2x^{2}+a^{2}x^{2}=3ax^{3}\implies 2+a^{2}=3ax\implies 2=a(3x-a)$

तो हम देखते हैं a|2 इसलिए a = 1 या 2. अगर a = 1 तो हमें (1, 1, 1) मिलता है और अगर a = 2 तो हमें (1, 1, 2) मिलता है। और (1, 1, 2) से हम (x, y, 3xy - z) लेकर (1, 1, 1) प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार हम देखते हैं कि एक स्वैच्छिक समाधान से शुरू करके हम अंततः (1, 1, 1) पर आते हैं, और इसलिए ये सभी समाधान हैं।

अन्य गुण

दो सबसे छोटे एकवचन त्रिक (1, 1, 1) और (1, 1, 2) के अलावा, प्रत्येक मार्कोव त्रिक में तीन भिन्न पूर्णांक होते हैं। एकता अनुमान बताता है कि किसी दिए गए मार्कोव नंबर सी के लिए, सी के सबसे बड़े तत्व के रूप में एक सामान्यीकृत समाधान है: इस अनुमान के गणितीय प्रमाण का दावा किया गया है लेकिन कोई भी सही नहीं लगता है। विषम मार्कोव संख्याएँ 4 के गुणकों से 1 अधिक हैं, जबकि समता (गणित) मार्कोव संख्याएँ 32 के गुणकों से 2 अधिक हैं। अपने 1982 के पेपर में, डॉन ज़गियर ने अनुमान लगाया कि nवें मार्कोव संख्या विषम रूप से दी गई है

$m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.$

त्रुटि $(\log(3m_{n})/C)^{2}-n$ नीचे प्लॉट किया गया है।

बड़ी मार्कोव संख्याओं के सन्निकटन में त्रुटि

इसके अलावा उन्होंने इस ओर इशारा किया $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9$, मूल डायोफैंटाइन समीकरण का एक सन्निकटन, के बराबर है $f(x)+f(y)=f(z)$ f(t) = arcosh (3t  / 2) के साथ। अनुमान सिद्ध हुआ ग्रेग मैकशेन और इगोर रिविन द्वारा 1995 में अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति की तकनीकों का उपयोग करते हुए।

nवें लग्रेंज संख्या की गणना सूत्र के साथ nवीं मार्कोव संख्या से की जा सकती है

$L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,$

मार्कोव संख्याएँ वर्गों के जोड़े (गैर-अद्वितीय) का योग हैं।

मार्कोव का प्रमेय

Markoff (1879, 1880) ने दिखाया कि अगर

$f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$

वास्तविक संख्या गुणांक और द्विघात रूप के विभेदक के साथ एक अनिश्चित द्विघात रूप द्विआधारी द्विघात रूप है $D=b^{2}-4ac$, तो ऐसे पूर्णांक x, y हैं जिनके लिए f अधिक से अधिक निरपेक्ष मान का शून्येतर मान लेता है

${\frac {\sqrt {D}}{3}}$

जब तक f एक मार्कोव रूप नहीं है: एक स्थिर समय एक रूप

$px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}$

ऐसा है कि

${\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}$

जहां (पी, क्यू, आर) एक मार्कोव ट्रिपल है।

मैट्रिक्स

चलो Tr मैट्रिक्स (गणित) पर ट्रेस (रैखिक बीजगणित) फ़ंक्शन को दर्शाता है। यदि X और Y विशेष रैखिक समूह में हैं₂(जटिल संख्या|ℂ), फिर

Tr(X) Tr(Y) Tr(X⋅Y) + Tr(X⋅Y⋅X⁻¹⋅Y⁻¹) + 2 = Tr(X)² + ट्र(आई)² + Tr(X⋅Y)^2</उप>

ताकि यदि Tr(X⋅Y⋅X⁻¹⋅Y⁻¹) = −2 तब

Tr(X) Tr(Y) Tr(X⋅Y) = Tr(X)² + ट्र(आई)² + Tr(X⋅Y)^2</उप>

विशेष रूप से यदि X और Y में भी पूर्णांक प्रविष्टियाँ हैं तो Tr(X)/3, Tr(Y)/3, और Tr(X⋅Y)/3 एक मार्कोव ट्रिपल हैं। यदि X⋅Y⋅Z = पहचान मैट्रिक्स तो Tr(X⋅Y) = Tr(Z), तो अधिक सममित रूप से यदि X, Y, और Z SL में हैं₂(पूर्णांक|ℤ) X⋅Y⋅Z = I के साथ और उनमें से दो के Commutator#Group सिद्धांत में ट्रेस -2 है, तो उनके निशान/3 एक मार्कोव ट्रिपल हैं।

यह भी देखें

• मार्कोव स्पेक्ट्रम

संदर्भ

• Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.
• Cusick, Thomas; Flahive, Mari (1989). The Markoff and Lagrange spectra. Math. Surveys and Monographs. Vol. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. pp. 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
• Malyshev, A.V. (2001) [1994], "Markov spectrum problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Mathematische Annalen. Springer Berlin / Heidelberg. ISSN 0025-5831.

Markoff, A. (1879). "First memory". Mathematische Annalen. 15 (3–4): 381–406. doi:10.1007/BF02086269. S2CID 179177894.

Markoff, A. (1880). "Second memory". Mathematische Annalen. 17 (3): 379–399. doi:10.1007/BF01446234. S2CID 121616054.