जैकोबी बहुपद

For Jacobi polynomials of several variables, see Heckman–Opdam polynomials.

फ़ाइल:जैकोबी बहुपद फलन का प्लॉट P n^(a,b) with n=10 and a=2 and b=2 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the Jacobi polynomial function P n^(a,b) with n=10 and a=2 and b=2 जटिल विमान में -2-2i से 2+2i तक मैथेमेटिका 13.1 फ़ंक्शन ComplexPlot3D|thumb|जैकोबी बहुपद समारोह का प्लॉट $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$ साथ $n=10$ और $\alpha =2$ और $\beta =2$ से जटिल विमान में $-2-2i$ को $2+2i$ मैथमैटिका 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट 3 डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ गणित में, जैकोबी बहुपद (कभी-कभी अतिज्यामितीय बहुपद कहा जाता है) $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ [[शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद]]ों का एक वर्ग ऑर्थोगोनल बहुपद हैं। वे वजन के संबंध में ओर्थोगोनल हैं $(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ अंतराल पर $[-1,1]$. Gegenbauer बहुपद, और इस प्रकार लेजेंड्रे बहुपद, ज़र्निके बहुपद और चेबिशेव बहुपद, जैकोबी बहुपद के विशेष मामले हैं। जैकोबी बहुपद कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा पेश किए गए थे।

परिभाषाएँ

=== हाइपरज्यामितीय समारोह === के माध्यम से जैकोबी बहुपदों को हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),$

कहाँ $(\alpha +1)_{n}$ Pochhammer का प्रतीक है | Pochhammer का प्रतीक (बढ़ते तथ्यात्मक के लिए)। इस मामले में, हाइपरज्यामितीय फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला परिमित है, इसलिए निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.$

रोड्रिग्स का सूत्र

रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा एक समतुल्य परिभाषा दी गई है:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.$

अगर $\alpha =\beta =0$, तो यह लीजेंड्रे बहुपदों को कम कर देता है:

$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.$

वास्तविक तर्क के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति

वास्तव में $x$ जैकोबी बहुपद को वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}$

और पूर्णांक के लिए $n$

${z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}$

कहाँ $\Gamma (z)$ गामा समारोह है।

विशेष मामले में कि चार मात्राएँ $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$, $n+\alpha +\beta$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं, जैकोबी बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.$

(1)

के सभी पूर्णांक मानों पर योग का विस्तार होता है $s$ जिसके लिए फैक्टोरियल्स के तर्क गैर-नकारात्मक हैं।

विशेष मामले

$P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,$

$P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},$

$P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.$

मूल गुण

ऑर्थोगोनलिटी

जैकोबी बहुपद ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति को संतुष्ट करते हैं

$\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.$

जैसा कि परिभाषित किया गया है, वजन के संबंध में उनके पास इकाई मानदंड नहीं है। इसे उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर के वर्गमूल से विभाजित करके ठीक किया जा सकता है, जब $n=m$.

हालांकि यह एक अलौकिक आधार नहीं देता है, कभी-कभी इसकी सादगी के कारण एक वैकल्पिक सामान्यीकरण को प्राथमिकता दी जाती है:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.$

सममिति संबंध

बहुपदों में सममिति संबंध होता है

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);$

इस प्रकार अन्य टर्मिनल मान है

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

=== संजात === $k$वें> वें व्युत्पन्न स्पष्ट अभिव्यक्ति की ओर जाता है

${\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).$

विभेदक समीकरण

जैकोबी बहुपद $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का एक समाधान है

$\left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.$

पुनरावृत्ति संबंध

ऑर्थोगोनल बहुपद # स्थिर के जैकोबी बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध $\alpha$, $\beta$ है:

${\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}$

के लिए $n=2,3,\ldots$. संक्षिप्तता के लिए लिख रहा हूँ $a:=n+\alpha$, $b:=n+\beta$ और $c:=a+b=2n+\alpha +\beta$, यह के संदर्भ में हो जाता है $a,b,c$

$2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).$

चूँकि जैकोबी बहुपदों को हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन की पुनरावृत्ति जैकोबी बहुपदों के समकक्ष पुनरावृत्ति देती है। विशेष रूप से, गॉस के सन्निहित संबंध सर्वसमिकाओं के अनुरूप हैं

$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },$