प्रत्यक्ष सीमा

गणित में, एक सीधी सीमा कई (आमतौर पर छोटी) वस्तुओं से एक (आमतौर पर बड़ी) वस्तु बनाने का एक तरीका है जो एक विशिष्ट तरीके से एक साथ रखी जाती है। ये ऑब्जेक्ट समूह (गणित), रिंग (गणित), सदिश स्थल या किसी भी श्रेणी (गणित) से सामान्य ऑब्जेक्ट हो सकते हैं। जिस तरह से उन्हें एक साथ रखा जाता है वह उन छोटी वस्तुओं के बीच होमोमोर्फिज्म ([[समूह समरूपता]], रिंग समरूपता, या श्रेणी में सामान्य आकारिकी) की एक प्रणाली द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। वस्तुओं की सीधी सीमा $A_{i}$, कहाँ $i$ कुछ निर्देशित सेट पर पर्वतमाला $I$, द्वारा दर्शाया गया है $\varinjlim A_{i}$. (यह अंकन का एक मामूली दुरुपयोग है क्योंकि यह समरूपता की प्रणाली को दबा देता है जो कि सीमा की संरचना के लिए महत्वपूर्ण है।)

प्रत्यक्ष सीमा श्रेणी सिद्धांत में सीमा (श्रेणी सिद्धांत) की अवधारणा का एक विशेष मामला है। प्रत्यक्ष सीमाएं दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) से व्युत्क्रम सीमा तक हैं, जो श्रेणी सिद्धांत में सीमा (श्रेणी सिद्धांत) का एक विशेष मामला भी हैं।

औपचारिक परिभाषा

हम पहले समूह (गणित) और मॉड्यूल (गणित) जैसी बीजगणितीय संरचना की परिभाषा देंगे, और फिर सामान्य परिभाषा, जिसका उपयोग किसी भी श्रेणी (गणित) में किया जा सकता है।

बीजगणितीय वस्तुओं की प्रत्यक्ष सीमा

इस खंड में वस्तुओं को एक दिए गए बीजगणितीय संरचना से लैस अंतर्निहित सेट (गणित) से मिलकर समझा जाता है, जैसे कि समूह (गणित), वलय (गणित), मॉड्यूल (गणित) (एक निश्चित वलय पर), एक क्षेत्र पर बीजगणित (ऊपर) एक निश्चित क्षेत्र (गणित)), आदि। इसे ध्यान में रखते हुए, समरूपता को संबंधित सेटिंग (समूह समरूपता, आदि) में समझा जाता है।

होने देना $\langle I,\leq \rangle$ एक निर्देशित सेट हो। होने देना $\{A_{i}:i\in I\}$ ऑब्जेक्ट इंडेक्स द्वारा निर्धारित परिवार बनें $I\,$ और $f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}$ सभी के लिए एक समरूपता हो $i\leq j$ निम्नलिखित गुणों के साथ:

1. $f_{ii}\,$ की पहचान है $A_{i}\,$, और
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ सभी के लिए $i\leq j\leq k$.

फिर जोड़ी $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ डायरेक्ट सिस्टम ओवर कहा जाता है $I$.

प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\varinjlim A_{i}$ और निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। इसका अंतर्निहित सेट का असंयुक्त संघ है $A_{i}$का मोडुलो (शब्दजाल) एक निश्चित equivalence relation $\sim \,$:

$\varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .$

यहाँ, अगर $x_{i}\in A_{i}$ और $x_{j}\in A_{j}$, तब $x_{i}\sim \,x_{j}$ अगर और केवल अगर कुछ है $k\in I$ साथ $i\leq k$ और $j\leq k$ ऐसा है कि $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,$. सहज रूप से, असंयुक्त संघ में दो तत्व समान होते हैं यदि और केवल यदि वे अंततः प्रत्यक्ष प्रणाली में समान हो जाते हैं। एक समतुल्य सूत्रीकरण जो द्वैत को व्युत्क्रम सीमा तक उजागर करता है, वह यह है कि एक तत्व प्रत्यक्ष प्रणाली के नक्शे के तहत अपनी सभी छवियों के बराबर है, अर्थात। $x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})$ जब कभी भी $i\leq j$.

कोई इस परिभाषा से कैनोनिकल फ़ंक्शंस प्राप्त करता है $\phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}$ प्रत्येक तत्व को उसके तुल्यता वर्ग में भेजना। बीजगणितीय संक्रियाएँ चालू हैं $\varinjlim A_{i}\,$ इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि ये मानचित्र समाकारिता बन जाते हैं। औपचारिक रूप से, प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ वस्तु से मिलकर बनता है $\varinjlim A_{i}$ एक साथ विहित समरूपता के साथ $\phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}$.

एक मनमानी श्रेणी में प्रत्यक्ष सीमा

प्रत्यक्ष सीमा को मनमानी श्रेणी (गणित) में परिभाषित किया जा सकता है ${\mathcal {C}}$ एक सार्वभौमिक संपत्ति के माध्यम से। होने देना $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ वस्तुओं और morphisms की एक सीधी प्रणाली बनें ${\mathcal {C}}$ (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है)। एक लक्ष्य एक जोड़ी है $\langle X,\phi _{i}\rangle$ कहाँ $X\,$ में एक वस्तु है ${\mathcal {C}}$ और $\phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X$ प्रत्येक के लिए morphisms हैं $i\in I$ ऐसा है कि $\phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}$ जब कभी भी $i\leq j$. प्रत्यक्ष प्रणाली की एक सीधी सीमा $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ एक सार्वभौमिक रूप से विकर्षक लक्ष्य है $\langle X,\phi _{i}\rangle$ इस अर्थ में कि $\langle X,\phi _{i}\rangle$ एक लक्ष्य है और प्रत्येक लक्ष्य के लिए $\langle Y,\psi _{i}\rangle$, एक अद्वितीय morphism है $u\colon X\rightarrow Y$ ऐसा है कि $u\circ \phi _{i}=\psi _{i}$ प्रत्येक मैं के लिए निम्नलिखित आरेख

तब सभी i, j के लिए क्रमविनिमेय आरेख होगा।

प्रत्यक्ष सीमा को अक्सर निरूपित किया जाता है

$X=\varinjlim X_{i}$

प्रत्यक्ष प्रणाली के साथ $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ और विहित morphisms $\phi _{i}$ समझा जा रहा है।

बीजगणितीय वस्तुओं के विपरीत, मनमानी श्रेणी में प्रत्येक प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा नहीं होती है। अगर ऐसा होता है, हालांकि, प्रत्यक्ष सीमा एक मजबूत अर्थ में अद्वितीय है: एक और सीधी सीमा एक्स' दी गई है, वहां एक अद्वितीय समरूपता एक्स' → एक्स मौजूद है जो कैनोनिकल आकारिकी के साथ संचार करता है।

उदाहरण

• उपसमुच्चयों का संग्रह $M_{i}$ एक सेट का $M$ शामिल करके आंशिक आदेश हो सकता है। यदि संग्रह निर्देशित है, तो इसकी सीधी सीमा संघ है $\bigcup M_{i}$. किसी दिए गए समूह के उपसमूह के निर्देशित संग्रह के लिए भी यही सच है, या किसी दिए गए अंगूठी के सब्रिंग का निर्देशित संग्रह आदि।
• सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स की कमजोर टोपोलॉजी को प्रत्यक्ष सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है।
• होने देना $X$ सबसे बड़े तत्व के साथ कोई भी निर्देशित सेट हो $m$. किसी भी प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा आइसोमोर्फिक है $X_{m}$ और विहित morphism $\phi _{m}:X_{m}\rightarrow X$ एक समरूपता है।
• मान लीजिए K एक क्षेत्र है। एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, सामान्य रैखिक समूह GL(n;K) पर विचार करें जिसमें उलटा n x n - K से प्रविष्टियों के साथ मेट्रिसेस शामिल हैं। हमारे पास एक समूह समरूपता GL(n;K) → GL(n+1;K) है जो विस्तार करता है निचले दाएं कोने में 1 और अंतिम पंक्ति और कॉलम में कहीं और शून्य लगाकर मैट्रिसेस। इस प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा K का सामान्य रैखिक समूह है, जिसे GL(K) के रूप में लिखा जाता है। जीएल (के) के एक तत्व को अनंत व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के रूप में माना जा सकता है जो अनंत पहचान मैट्रिक्स से केवल बहुत ही सूक्ष्म प्रविष्टियों में भिन्न होता है। बीजगणितीय K-सिद्धांत में समूह GL(K) का महत्वपूर्ण महत्व है।
• माना पी एक अविभाज्य संख्या है। भागफल समूह से बनी प्रत्यक्ष प्रणाली पर विचार करें $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ और समरूपता $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z}$ गुणा द्वारा प्रेरित $p$. इस प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा में आदेश की एकता की कुछ शक्ति की सभी जड़ें शामिल हैं $p$, और इसे प्रूफ़र समूह कहा जाता है $\mathbb {Z} (p^{\infty })$.
• सममित बहुपद के वलय से एक (गैर-स्पष्ट) अंतःक्षेपी वलय समरूपता है $n$ सममित बहुपदों की अंगूठी के लिए चर $n+1$ चर। इस प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा बनाने से सममित कार्यों की अंगूठी उत्पन्न होती है।
• चलो एफ एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर एक सी-मूल्यवान शीफ (गणित) हो। एक्स में एक बिंदु एक्स को ठीक करें। एक्स के खुले पड़ोस एक निर्देशित सेट को समावेशन द्वारा आदेशित करते हैं (यू ≤ वी अगर और केवल अगर यू में वी होता है)। संबंधित प्रत्यक्ष प्रणाली है (एफ(यू), आर_U,V) जहां r प्रतिबंध मानचित्र है। इस प्रणाली की सीधी सीमा को एक्स पर एफ का डंठल (गणित) कहा जाता है, जिसे एफ निरूपित किया जाता है_x. एक्स के प्रत्येक पड़ोस यू के लिए, विहित आकारिकी एफ (यू) → एफ_x यू के एक तत्व एस पर एफ के एक खंड एस से संबद्ध है_x डंठल की एफ_x x पर s का रोगाणु (गणित) कहलाता है।
• अंतर्निहित सेट-सैद्धांतिक प्रत्यक्ष सीमा पर अंतिम टोपोलॉजी रखकर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी में प्रत्यक्ष सीमाएं दी गई हैं।
• इंड-स्कीम, स्कीमों की आगमनात्मक सीमा है।

गुण

प्रत्यक्ष सीमाएँ व्युत्क्रम सीमाओं से जुड़ी होती हैं

$\mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).$

एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी में प्रत्यक्ष सीमाएं लेना एक सटीक फ़ैक्टर है। इसका मतलब यह है कि यदि आप लघु सटीक अनुक्रमों की एक निर्देशित प्रणाली से शुरू करते हैं $0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0$ और प्रत्यक्ष सीमाएँ बनाते हैं, तो आपको एक संक्षिप्त सटीक क्रम प्राप्त होता है $0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0$.

संबंधित निर्माण और सामान्यीकरण

हम ध्यान दें कि एक श्रेणी में एक प्रत्यक्ष प्रणाली ${\mathcal {C}}$ functors के संदर्भ में एक वैकल्पिक विवरण स्वीकार करता है। कोई निर्देशित सेट $\langle I,\leq \rangle$ एक छोटी श्रेणी के रूप में माना जा सकता है ${\mathcal {I}}$ जिनकी वस्तुएं तत्व हैं $I$ और एक morphisms है $i\rightarrow j$ अगर और केवल अगर $i\leq j$. एक सीधा सिस्टम खत्म $I$ तब एक सहसंयोजक फ़ंक्टर के समान है ${\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$. इस फ़ैक्टर की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) मूल प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा के समान है।

प्रत्यक्ष सीमा से निकटता से जुड़ी एक धारणा फ़िल्टर्ड श्रेणी है। यहां हम एक सहसंयोजक फ़नकार के साथ शुरू करते हैं ${\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ फ़िल्टर की गई श्रेणी से ${\mathcal {J}}$ किसी वर्ग को ${\mathcal {C}}$ और इस फ़ैक्टर का कोलिमिट बनाएं। कोई यह दिखा सकता है कि किसी श्रेणी की सभी निर्देशित सीमाएँ हैं यदि और केवल यदि उसके पास सभी फ़िल्टर किए गए कोलिमिट्स हैं, और ऐसी श्रेणी पर परिभाषित फ़ंक्टर सभी प्रत्यक्ष सीमाओं के साथ संचार करता है और यदि वह सभी फ़िल्टर किए गए कोलिमिट्स के साथ संचार करता है। एक मनमानी श्रेणी दी गई ${\mathcal {C}}$, में डायरेक्ट सिस्टम हो सकते हैं ${\mathcal {C}}$ जिसकी कोई सीधी सीमा नहीं है ${\mathcal {C}}$ (उदाहरण के लिए परिमित समुच्चयों की श्रेणी, या परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों की श्रेणी पर विचार करें)। इस मामले में, हम हमेशा एम्बेड कर सकते हैं ${\mathcal {C}}$ एक श्रेणी में ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ जिसमें सभी प्रत्यक्ष सीमाएँ मौजूद हैं; की वस्तुएं ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ कहलाते हैं इंडस्ट्रीज़ वस्तु | और-ऑब्जेक्ट्स ऑफ़ ${\mathcal {C}}$.

प्रत्यक्ष सीमा के दोहरे (श्रेणी सिद्धांत) को व्युत्क्रम सीमा कहा जाता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्युत्क्रम सीमाओं को कुछ फ़ैक्टरों की सीमाओं के रूप में देखा जा सकता है और ये सह-फ़िल्टर्ड श्रेणियों की सीमाओं से निकटता से संबंधित हैं।

शब्दावली

साहित्य में, ऊपर परिभाषित प्रत्यक्ष सीमा की अवधारणा के लिए निर्देशित सीमा, प्रत्यक्ष आगमनात्मक सीमा, निर्देशित कोलिमिट, प्रत्यक्ष कोलिमिट और आगमनात्मक सीमा शब्द मिलते हैं। आगमनात्मक सीमा शब्द अस्पष्ट है, क्योंकि कुछ लेखक इसे कोलिमिट की सामान्य अवधारणा के लिए उपयोग करते हैं।

यह भी देखें

• समूहों की प्रत्यक्ष सीमा

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from French, Paris: Hermann, MR 0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, vol. 5 (2nd ed.), Springer-Verlag