घातीय बहुपद

This article is about polynomials in variables and exponential functions. For the polynomials involving Stirling numbers, see Touchard polynomials.

गणित में, चरघातांकी बहुपद क्षेत्र (गणित), वलय (गणित) या एबेलियन समूह पर फलन (गणित) होते हैं जो चर और चरघातांकी फलन में बहुपद का रूप ले लेते हैं।

परिभाषा

क्षेत्रों में

एक घातीय बहुपद में आम तौर पर चर x और किसी प्रकार का घातीय फलन E(x) दोनों होते हैं। सम्मिश्र संख्याओं में पहले से ही एक विहित चरघातांकी फलन मौजूद है, वह फलन जो x से E (गणितीय स्थिरांक) को प्रतिचित्रित करता है^{एक्स । इस सेटिंग में घातीय बहुपद शब्द का प्रयोग अक्सर P(x, ex) जहां P ∈ 'C'[x, y] दो चरों में एक बहुपद है। यहाँ C के बारे में कुछ खास नहीं है; घातीय बहुपद भी किसी भी घातीय क्षेत्र या घातीय अंगूठी पर इस तरह के बहुपद का उल्लेख कर सकते हैं, जिसके घातीय कार्य 'ई' की जगह ले रहे हैं।x ऊपर। इसी प्रकार, एक चर होने का कोई कारण नहीं है, और n चरों में एक चरघातांकी बहुपद P(x) के रूप का होगा₁, ..., एक्स_n, यह हैx₁, ..., औरx_n), जहां P 2 चरों में एक बहुपद है। फ़ील्ड K पर औपचारिक चरघातांकी बहुपदों के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। डब्ल्यू को के के एक सूक्ष्म रूप से जेनरेट किए गए मॉड्यूल 'जेड'-submodule होने दें और फॉर्म की सीमित मात्रा पर विचार करें}

$\sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\ ,$

जहां एफ_i के [एक्स] में बहुपद हैं और ऍक्स्प (डब्ल्यू_iX) w द्वारा अनुक्रमित औपचारिक प्रतीक हैं_i डब्ल्यू में ऍक्स्प (यू + वी) = ऍक्स्प (यू)-एक्सप (वी) के अधीन।

एबेलियन समूहों में

एक अधिक सामान्य ढांचा जहां 'घातीय बहुपद' शब्द पाया जा सकता है, वह एबेलियन समूहों पर घातीय कार्यों का है। इसी प्रकार घातीय क्षेत्रों पर घातीय कार्यों को कैसे परिभाषित किया जाता है, एक टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह जी दिया जाता है, जी से जटिल संख्याओं के योजक समूह के लिए एक समरूपता को एक योजक समारोह कहा जाता है, और गैर-जटिल जटिल संख्याओं के गुणक समूह के लिए एक समरूपता को एक घातीय कहा जाता है समारोह, या बस एक घातांक। योज्य कार्यों और घातीयों के एक उत्पाद को एक घातीय मोनोमियल कहा जाता है, और इनका एक रैखिक संयोजन जी पर एक घातीय बहुपद है।

गुण

रिट के प्रमेय में कहा गया है कि अद्वितीय कारक और कारक प्रमेय के अनुरूप घातीय बहुपदों की अंगूठी के लिए हैं।

अनुप्रयोग

आर और सी पर घातीय बहुपद अक्सर पारलौकिक संख्या सिद्धांत में दिखाई देते हैं, जहां वे घातीय कार्य से जुड़े सबूतों में सहायक कार्यों के रूप में प्रकट होते हैं। वे मॉडल सिद्धांत और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच एक कड़ी के रूप में भी कार्य करते हैं। यदि कोई R में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में एक घातीय विविधता को परिभाषित करता हैⁿ जहां घातीय बहुपदों का कुछ परिमित संग्रह गायब हो जाता है, तो अंतर ज्यामिति में खोवांसकी प्रमेय और मॉडल सिद्धांत में विल्की प्रमेय जैसे परिणाम दिखाते हैं कि ये किस्में इस अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार करती हैं कि ऐसी किस्मों का संग्रह विभिन्न के तहत स्थिर है सेट सिद्धांत | सेट-सैद्धांतिक संचालन जब तक कोई उच्च-आयामी घातीय किस्मों के अनुमानों के तहत छवि को शामिल करने की अनुमति देता है। दरअसल, उपरोक्त दो प्रमेयों का अर्थ है कि सभी घातीय किस्मों का सेट 'आर' पर एक ओ-न्यूनतम संरचना बनाता है।

घातीय बहुपद रेखीय विलंब अवकल समीकरण#The_characteristic_equation से जुड़े अभिलाक्षणिक समीकरण में दिखाई देते हैं।

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