योज्य बहुपद

गणित में, योगात्मक बहुपद शास्त्रीय बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण विषय है।

परिभाषा

मान लीजिए k अभाज्य संख्या अभिलाक्षणिक (बीजगणित) p का एक क्षेत्र (गणित) है। k में गुणांक वाले बहुपद P(x) को 'योगात्मक बहुपद' या 'फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म बहुपद' कहा जाता है, यदि

$P(a+b)=P(a)+P(b)\,$

a और b में बहुपदों के रूप में। यह मान लेने के समतुल्य है कि यह समानता k वाले किसी अनंत क्षेत्र में सभी a और b के लिए है, जैसे कि इसका बीजगणितीय समापन।

कभी-कभी 'बिल्कुल योगात्मक' का उपयोग उपरोक्त स्थिति के लिए किया जाता है, और 'एडिटिव' का उपयोग उस कमजोर स्थिति के लिए किया जाता है जो क्षेत्र में सभी a और b के लिए P(a + b) = P(a) + P(b) है। अनंत क्षेत्रों के लिए स्थितियाँ समतुल्य हैं, लेकिन परिमित क्षेत्रों के लिए वे नहीं हैं, और कमजोर स्थिति गलत है क्योंकि यह अच्छा व्यवहार नहीं करती है। उदाहरण के लिए, आदेश q के क्षेत्र में x का कोई भी गुणक P^q − x फ़ील्ड में सभी a और b के लिए P(a + b) = P(a) + P(b) को संतुष्ट करेगा, लेकिन आमतौर पर (बिल्कुल) योगात्मक नहीं होगा।

उदाहरण

बहुपद एक्स^पी योगात्मक है। वास्तव में, किसी a और b के लिए k के बीजगणितीय समापन में द्विपद प्रमेय द्वारा होता है

$(a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \choose n}a^{n}b^{p-n}.$ चूँकि p अभाज्य है, सभी के लिए n = 1, ..., p−1 द्विपद गुणांक है $\scriptstyle {p \choose n}$ p से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि

$(a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p$ a और b में बहुपदों के रूप में।

इसी प्रकार रूप के सभी बहुपद

$\tau _{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}$

योज्य हैं, जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

परिभाषा समझ में आती है भले ही k विशेषता शून्य का क्षेत्र हो, लेकिन इस मामले में केवल योगात्मक बहुपद वे हैं जो k में कुछ a के लिए ax के रूप में हैं।

योज्य बहुपदों का वलय

बहुपदों के किसी भी रैखिक संयोजन को सिद्ध करना बहुत आसान है $\tau _{p}^{n}(x)$ k में गुणांक के साथ भी एक योगात्मक बहुपद है। एक दिलचस्प सवाल यह है कि क्या इन रैखिक संयोजनों को छोड़कर अन्य योगात्मक बहुपद हैं। इसका उत्तर है कि ये ही हैं।

कोई यह जाँच सकता है कि यदि P(x) और M(x) योज्य बहुपद हैं, तो P(x) + M(x) और P(M(x)) भी हैं। इनका अर्थ है कि योगात्मक बहुपद बहुपद जोड़ और कार्य संरचना के तहत एक अंगूठी (गणित) बनाते हैं। यह अंगूठी निरूपित है

$k\{\tau _{p}\}.\,$

जब तक k क्षेत्र न हो, यह वलय क्रमविनिमेय वलय नहीं है $\mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)। दरअसल, योज्य बहुपद ax और x पर विचार करें^p k में गुणांक a के लिए। उनके लिए संरचना के तहत यात्रा करने के लिए, हमारे पास होना चाहिए

$(ax)^{p}=ax^{p},\,$

और इसलिए ए^p − a = 0। $\mathbb {F} _{p}.$

योज्य बहुपदों का मौलिक प्रमेय

मान लीजिए P(x) एक बहुपद है जिसके गुणांक k में हैं, और $\{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset k$ इसकी जड़ों का सेट हो। यह मानते हुए कि P(x) के मूल भिन्न हैं (अर्थात, P(x) वियोज्य बहुपद है), तो P(x) योज्य है यदि और केवल यदि सेट $\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ क्षेत्र जोड़ के साथ एक समूह (गणित) बनाता है।

यह भी देखें

• ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल
• योगात्मक नक्शा

संदर्भ

• David Goss, Basic Structures of Function Field Arithmetic, 1996, Springer, Berlin. ISBN 3-540-61087-1.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Additive Polynomial". MathWorld.