ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन

गणित में, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस एक समारोह स्थान से संबंधित होते हैं जो कि बिलिनियर फॉर्म से लैस एक सदिश स्थल होता है। जब फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में एक अंतराल (गणित) होता है, तो द्विरेखीय रूप अंतराल पर कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग हो सकता है:

$\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.$

कार्य $f$ और $g$ द्विरेखीय रूप #Reflexivity और orthogonality हैं जब यह अभिन्न शून्य है, अर्थात। $\langle f,\,g\rangle =0$ जब कभी भी $f\neq g$. एक परिमित-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टरों के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस फ़ंक्शन स्पेस के लिए एक अनंत आधार बना सकते हैं। संकल्पनात्मक रूप से, उपरोक्त इंटीग्रल वेक्टर डॉट उत्पाद के बराबर है; दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) हैं यदि उनका बिंदु-उत्पाद शून्य है।

कल्पना करना $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ नॉनज़रो L2-नॉर्म|L के ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस का एक क्रम है^{2-मानदंड ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$. यह क्रम इस प्रकार है $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ एल के कार्यों का है2-सामान्य एक, एक ओर्थोनॉर्मल क्रम बनाता है। परिभाषित एल होना2-नॉर्म, इंटीग्रल को बाउंड किया जाना चाहिए, जो फंक्शन को स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन|स्क्वायर-इंटीग्रेबल होने तक सीमित करता है।}

त्रिकोणमितीय कार्य

Main articles: Fourier series and Harmonic analysis

ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के कई सेट अनुमानित कार्यों के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन कार्य करता है sin nx और sin mx अंतराल पर ओर्थोगोनल हैं $x\in (-\pi ,\pi )$ कब $m\neq n$ और n और m धनात्मक पूर्णांक हैं। तब के लिए

$2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),$

और दो साइन कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग गायब हो जाता है। कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ, इन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस को एक त्रिकोणमितीय बहुपद में इकट्ठा किया जा सकता है ताकि इसकी फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जा सके।

बहुपद

Main article: Orthogonal polynomials

यदि कोई एकपद अनुक्रम से शुरू होता है $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ अंतराल पर $[-1,1]$ और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है, फिर लेजेंड्रे बहुपद प्राप्त करता है। ओर्थोगोनल बहुपदों का एक और संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।

ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन कार्य शामिल हैं $w(x)$ जो बिलिनियर फॉर्म में डाले गए हैं:

$\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.$

लैगुएरे बहुपदों के लिए $(0,\infty )$ वजन समारोह है $w(x)=e^{-x}$.

भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों ही हर्मिट बहुपदों का उपयोग करते हैं $(-\infty ,\infty )$, जहां वजन समारोह है $w(x)=e^{-x^{2}}$ या $w(x)=e^{-x^{2}/2}$.

चेबिशेव बहुपदों को परिभाषित किया गया है $[-1,1]$ और वजन का प्रयोग करें ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ या ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Zernike बहुपदों को यूनिट डिस्क पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की ऑर्थोगोनलिटी है।

बाइनरी-वैल्यूड फ़ंक्शंस

वाल्श समारोह और हार तरंगिकाएँ असतत श्रेणियों के साथ ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं।

तर्कसंगत कार्य

x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबिशेव तर्कसंगत कार्यों का प्लॉट।

लीजेंड्रे और चेबिशेव बहुपद अंतराल के लिए ऑर्थोगोनल परिवार प्रदान करते हैं [−1, 1] जबकि कभी-कभी ऑर्थोगोनल परिवारों की आवश्यकता होती है [0, ∞). इस मामले में तर्क को सामने लाने के लिए पहले केली ट्रांसफ़ॉर्म#रियल होमोग्राफी को लागू करना सुविधाजनक है [−1, 1]. इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के परिवार होते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फ़ंक्शन और चेबीशेव तर्कसंगत फ़ंक्शन कहा जाता है।

अंतर समीकरणों में

सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान को अक्सर ऑर्थोगोनल समाधान कार्यों (उर्फ eigenfunction) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला हो सकती है।

यह भी देखें

• आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स
• हिल्बर्ट अंतरिक्ष
• करहुनेन-लोव प्रमेय
• लॉरिसेला की प्रमेय
• वानियर समारोह

संदर्भ

• George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
• Price, Justin J. (1975). "Topics in orthogonal functions". American Mathematical Monthly. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
• Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.

बाहरी संबंध

• Orthogonal Functions, on MathWorld.