गणित में, Bernoulli बहुपद , याकूब Bernoulli के नाम पर, Bernoulli संख्या और द्विपद गुणांक गठबंधन। उनका उपयोग फ़ंक्शन (गणित) के श्रृंखला विस्तार के लिए और यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के साथ किया जाता है।
ये बहुपद कई विशेष कार्य ों के अध्ययन में पाए जाते हैं और विशेष रूप से, रीमैन जीटा फ़ंक्शन और हर्विट्ज़ जीटा फ़ंक्शन वे एक अपील अनुक्रम हैं (अर्थात साधारण व्युत्पन्न ऑपरेटर के लिए एक शेफ़र अनुक्रम)। बर्नौली बहुपदों के लिए, इकाई अंतराल में x -अक्ष के क्रॉसिंग की संख्या बहुपद की डिग्री के साथ नहीं बढ़ती है। बड़ी डिग्री की सीमा में, जब उचित रूप से स्केल किया जाता है, तो वे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन तक पहुंचते हैं।
जनरेटिंग फ़ंक्शन के आधार पर बहुपदों का एक समान सेट, यूलर बहुपदों का परिवार है।
प्रतिनिधित्व बर्नौली बहुपद Bn जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। वे विभिन्न प्रकार के व्युत्पन्न अभ्यावेदन भी स्वीकार करते हैं।
कार्यों का निर्माण बर्नौली बहुपदों के लिए जनक फलन है
t e x t e t − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n ( x ) t n n ! . {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.} यूलर बहुपदों के लिए जनक फलन है
2 e x t e t + 1 = ∑ n = 0 ∞ E n ( x ) t n n ! . {\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}
स्पष्ट सूत्र B n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k x k , {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},} E m ( x ) = ∑ k = 0 m ( m k ) E k 2 k ( x − 1 2 ) m − k . {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}\,.} n ≥ 0 के लिए, जहाँ Bk k यूलर नंबर हैं।
एक अंतर ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व Bernoulli बहुपद भी द्वारा दिया जाता है
B n ( x ) = D e D − 1 x n {\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}} जहां डी = डी/डीएक्स एक्स के संबंध में भेदभाव है और अंश औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित है। यह इस प्रकार है कि
∫ a x B n ( u ) d u = B n + 1 ( x ) − B n + 1 ( a ) n + 1 . {\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.} सी एफ #इंटीग्रल्स। उसी टोकन से, यूलर बहुपदों द्वारा दिया जाता है
E n ( x ) = 2 e D + 1 x n . {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}
एक अभिन्न ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व Bernoulli बहुपद भी द्वारा निर्धारित अद्वितीय बहुपद हैं
∫ x x + 1 B n ( u ) d u = x n . {\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.} अभिन्न परिवर्तन
( T f ) ( x ) = ∫ x x + 1 f ( u ) d u {\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du} बहुपद च पर, बस के बराबर है
( T f ) ( x ) = e D − 1 D f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ D n ( n + 1 ) ! f ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) 2 + f ″ ( x ) 6 + f ‴ ( x ) 24 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}} इसका उपयोग #उलटा उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।
एक और स्पष्ट सूत्र Bernoulli बहुपदों के लिए एक स्पष्ट सूत्र द्वारा दिया गया है
B m ( x ) = ∑ n = 0 m 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( x + k ) m . {\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.} यह जटिल विमान में हर्विट्ज़ जीटा फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला अभिव्यक्ति के समान है। दरअसल, रिश्ता है
B n ( x ) = − n ζ ( 1 − n , x ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)} जहां ζ(s, q) हर्विट्ज़ जीटा फ़ंक्शन है। उत्तरार्द्ध बर्नौली बहुपदों को सामान्यीकृत करता है, जो एन के गैर-पूर्णांक मानों की अनुमति देता है।
आंतरिक योग को x का nवाँ आगे का अंतर समझा जा सकता हैमी ; वह है,
Δ n x m = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n k ) ( x + k ) m {\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}} जहां Δ आगे अंतर ऑपरेटर है। इस प्रकार, कोई लिख सकता है
B m ( x ) = ∑ n = 0 m ( − 1 ) n n + 1 Δ n x m . {\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\,\Delta ^{n}x^{m}.} यह सूत्र ऊपर दिखाई देने वाली पहचान से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। चूंकि आगे अंतर ऑपरेटर Δ बराबर है
Δ = e D − 1 {\displaystyle \Delta =e^{D}-1} जहां डी एक्स के संबंध में भेदभाव है, हमारे पास मर्केटर श्रृंखला से है,
D e D − 1 = log ( Δ + 1 ) Δ = ∑ n = 0 ∞ ( − Δ ) n n + 1 . {\displaystyle {D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \over \Delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{(-\Delta )^{n} \over n+1}.} जब तक यह x जैसे mth-डिग्री बहुपद पर संचालित होता हैm , कोई n को 0 से केवल m तक जाने दे सकता है।
बर्नौली बहुपदों के लिए एक अभिन्न प्रतिनिधित्व नोरलंड-राइस इंटीग्रल द्वारा दिया गया है, जो एक परिमित अंतर के रूप में अभिव्यक्ति से आता है।
यूलर बहुपदों के लिए एक स्पष्ट सूत्र द्वारा दिया गया है
E m ( x ) = ∑ n = 0 m 1 2 n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( x + k ) m . {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}\,.} उपर्युक्त इस तथ्य का उपयोग करते हुए समान रूप से अनुसरण करता है
2 e D + 1 = 1 1 + Δ / 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − Δ 2 ) n . {\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+\Delta /2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\Bigl (}-{\frac {\Delta }{2}}{\Bigr )}^{n}.}
पीटीएच शक्तियों का योग ऊपर दिए गए #Representation में से किसी एक का इंटीग्रल ऑपरेटर द्वारा उपयोग करना x n {\displaystyle x^{n}} B n ( x + 1 ) − B n ( x ) = n x n − 1 {\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}
∑ k = 0 x k p = ∫ 0 x + 1 B p ( t ) d t = B p + 1 ( x + 1 ) − B p + 1 p + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}} (माना 00 = 1).
बर्नौली और यूलर नंबर बरनौली संख्याएँ किसके द्वारा दी जाती हैं B n = B n ( 0 ) . {\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(0).} ζ ( − n ) = ( − 1 ) n n + 1 B n + 1 {\displaystyle \textstyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}B_{n+1}} n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \textstyle n=0,1,2,\ldots }
एक वैकल्पिक परिपाटी बर्नौली संख्या को इस प्रकार परिभाषित करती है B n = B n ( 1 ) . {\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(1).} n = 1 {\displaystyle n=1} B 1 ( 1 ) = 1 2 = − B 1 ( 0 ) {\displaystyle B_{1}(1)={\tfrac {1}{2}}=-B_{1}(0)}
यूलर संख्या किसके द्वारा दिए जाते हैं E n = 2 n E n ( 1 2 ) . {\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}
कम डिग्री के लिए स्पष्ट भाव पहले कुछ बरनौली बहुपद हैं:
B 0 ( x ) = 1 B 1 ( x ) = x − 1 2 B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 B 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 3 x 3 − 1 6 x B 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 2 x 4 − 1 2 x 2 + 1 42 . {\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1\\[8pt]B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\\[8pt]B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\\[8pt]B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\\[8pt]B_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\\[8pt]B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\end{aligned}}} पहले कुछ यूलर बहुपद हैं:
E 0 ( x ) = 1 E 1 ( x ) = x − 1 2 E 2 ( x ) = x 2 − x E 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 4 E 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x E 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 2 x 2 − 1 2 E 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 x 3 − 3 x . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1\\[8pt]E_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{2}(x)&=x^{2}-x\\[8pt]E_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\\[8pt]E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x\\[8pt]E_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\end{aligned}}}
अधिकतम और न्यूनतम उच्च n पर, B में भिन्नता की मात्राn
B 16 ( x ) = x 16 − 8 x 15 + 20 x 14 − 182 3 x 12 + 572 3 x 10 − 429 x 8 + 1820 3 x 6 − 1382 3 x 4 + 140 x 2 − 3617 510 {\displaystyle B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}} जो दर्शाता है कि x = 0 (और x = 1) पर मान -3617/510 ≈ −7.09 है, जबकि x = 1/2 पर, मान 118518239/3342336 ≈ +7.09 है। डीएच लेहमर[1] n
M n < 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}} जब तक n 2 मॉड्यूल 4 नहीं है, किस मामले में
M n = 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}} (कहाँ ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)}
m n > − 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}} जब तक कि n 0 मॉड्यूल 4 न हो, किस मामले में
m n = − 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n . {\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}.} ये सीमाएँ वास्तविक अधिकतम और न्यूनतम के काफी करीब हैं, और लेह्मर अधिक सटीक सीमाएँ भी देता है।
अंतर और डेरिवेटिव्स बरनौली और यूलर बहुपद अम्ब्रल कैलकुलस से कई संबंधों का पालन करते हैं:
Δ B n ( x ) = B n ( x + 1 ) − B n ( x ) = n x n − 1 , {\displaystyle \Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},} Δ E n ( x ) = E n ( x + 1 ) − E n ( x ) = 2 ( x n − E n ( x ) ) . {\displaystyle \Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).} (Δ आगे अंतर ऑपरेटर है)। भी,
E n ( x + 1 ) + E n ( x ) = 2 x n . {\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.} ये बहुपद अनुक्रम अपील अनुक्रम हैं:
B n ′ ( x ) = n B n − 1 ( x ) , {\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),} E n ′ ( x ) = n E n − 1 ( x ) . {\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).}
अनुवाद B n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B k ( x ) y n − k {\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}} E n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) E k ( x ) y n − k {\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}} ये सर्वसमिकाएँ यह कहने के भी समतुल्य हैं कि ये बहुपद अनुक्रम अपेल क्रम हैं। (हर्माइट बहुपद एक अन्य उदाहरण हैं।)
समरूपता B n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n B n ( x ) , n ≥ 0 , {\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,} E n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)} ( − 1 ) n B n ( − x ) = B n ( x ) + n x n − 1 {\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}} ( − 1 ) n E n ( − x ) = − E n ( x ) + 2 x n {\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}} B n ( 1 2 ) = ( 1 2 n − 1 − 1 ) B n , n ≥ 0 from the multiplication theorems below. {\displaystyle B_{n}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},\quad n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}} Z Hi-Wei Sun एक DHA ऑप प्रेस [2] r + s + t = n और x + y + z = 1 , तब
r [ s , t ; x , y ] n + s [ t , r ; y , z ] n + t [ r , s ; z , x ] n = 0 , {\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,} कहाँ
[ s , t ; x , y ] n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( s k ) ( t n − k ) B n − k ( x ) B k ( y ) . {\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}
फूरियर श्रृंखला बर्नोली बहुपदों की फूरियर श्रृंखला भी एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जो विस्तार द्वारा दी गई है
B n ( x ) = − n ! ( 2 π i ) n ∑ k ≠ 0 e 2 π i k x k n = − 2 n ! ∑ k = 1 ∞ cos ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n . {\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.} उपयुक्त रूप से स्केल किए गए त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए साधारण बड़ी n सीमा पर ध्यान दें।
यह हर्विट्ज़ जेटा फ़ंक्शन के अनुरूप रूप का एक विशेष मामला है
B n ( x ) = − Γ ( n + 1 ) ∑ k = 1 ∞ exp ( 2 π i k x ) + e i π n exp ( 2 π i k ( 1 − x ) ) ( 2 π i k ) n . {\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.} यह विस्तार केवल 0 ≤ x ≤ 1 जब n ≥ 2 के लिए मान्य होता है और 0 < x < 1 जब n = 1 के लिए मान्य होता है।
यूलर बहुपदों की फूरियर श्रृंखला की भी गणना की जा सकती है। कार्यों को परिभाषित करना
C ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ cos ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν {\displaystyle C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}} और
S ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ sin ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν {\displaystyle S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}} के लिए ν > 1 {\displaystyle \nu >1}
C 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n E 2 n − 1 ( x ) {\displaystyle C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)} और
S 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! π 2 n + 1 E 2 n ( x ) . {\displaystyle S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).} ध्यान दें कि C ν {\displaystyle C_{\nu }} S ν {\displaystyle S_{\nu }}
C ν ( x ) = − C ν ( 1 − x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)} और
S ν ( x ) = S ν ( 1 − x ) . {\displaystyle S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x).} वे लीजेंड्रे ची समारोह से संबंधित हैं χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }}
C ν ( x ) = Re χ ν ( e i x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})} और
S ν ( x ) = Im χ ν ( e i x ) . {\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).}
उलटा बहुपदों के संदर्भ में एकपद ी को व्यक्त करने के लिए बरनौली और यूलर बहुपदों को उल्टा किया जा सकता है।
विशेष रूप से, उपरोक्त खंड से स्पष्ट रूप से #प्रतिनिधित्व पर एक अभिन्न ऑपरेटर द्वारा, यह इस प्रकार है
x n = 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( n + 1 k ) B k ( x ) {\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)} और
x n = E n ( x ) + 1 2 ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) E k ( x ) . {\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}
गिरते फैक्टोरियल से संबंध बर्नौली बहुपदों को गिरते क्रमगुणों के संदर्भ में विस्तारित किया जा सकता है ( x ) k {\displaystyle (x)_{k}}
B n + 1 ( x ) = B n + 1 + ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 { n k } ( x ) k + 1 {\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}} कहाँ B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}
{ n k } = S ( n , k ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)} दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है। बर्नौली बहुपदों के संदर्भ में गिरते क्रमगुणों को व्यक्त करने के लिए उपरोक्त को उल्टा किया जा सकता है:
( x ) n + 1 = ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 [ n k ] ( B k + 1 ( x ) − B k + 1 ) {\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)} कहाँ
[ n k ] = s ( n , k ) {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)} पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।
1851 में जोसेफ लुडविग राबे द्वारा गुणन प्रमेय दिए गए थे:
एक प्राकृतिक संख्या के लिए m ≥1
B n ( m x ) = m n − 1 ∑ k = 0 m − 1 B n ( x + k m ) {\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)} E n ( m x ) = m n ∑ k = 0 m − 1 ( − 1 ) k E n ( x + k m ) for m = 1 , 3 , … {\displaystyle E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=1,3,\dots } E n ( m x ) = − 2 n + 1 m n ∑ k = 0 m − 1 ( − 1 ) k B n + 1 ( x + k m ) for m = 2 , 4 , … {\displaystyle E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=2,4,\dots }
इंटीग्रल्स Bernoulli और Euler बहुपदों को Bernoulli और Euler संख्याओं से संबंधित दो निश्चित समाकल हैं:[3]
∫ 0 1 B n ( t ) B m ( t ) d t = ( − 1 ) n − 1 m ! n ! ( m + n ) ! B n + m for m , n ≥ 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\;n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1} ∫ 0 1 E n ( t ) E m ( t ) d t = ( − 1 ) n 4 ( 2 m + n + 2 − 1 ) m ! n ! ( m + n + 2 ) ! B n + m + 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\;n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}} एक अन्य अभिन्न सूत्र बताता है[4]
∫ 0 1 E n ( x + y ) log ( tan π 2 x ) d x = n ! ∑ k = 1 ⌊ n + 1 2 ⌋ ( − 1 ) k − 1 π 2 k ( 2 − 2 − 2 k ) ζ ( 2 k + 1 ) y n + 1 − 2 k ( n + 1 − 2 k ) ! {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}} के लिए विशेष मामले के साथ y = 0 {\displaystyle y=0}
∫ 0 1 E 2 n − 1 ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n ( 2 − 2 − 2 n ) ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)} ∫ 0 1 B 2 n − 1 ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ( − 1 ) n − 1 π 2 n 2 2 n − 2 ( 2 n − 1 ) ! ∑ k = 1 n ( 2 2 k + 1 − 1 ) ζ ( 2 k + 1 ) ζ ( 2 n − 2 k ) {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)} ∫ 0 1 E 2 n ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = ∫ 0 1 B 2 n ( x ) log ( tan π 2 x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0} ∫ 0 1 B 2 n − 1 ( x ) cot ( π x ) d x = 2 ( 2 n − 1 ) ! ( − 1 ) n − 1 ( 2 π ) 2 n − 1 ζ ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}
आवधिक बरनौली बहुपद एक आवधिक बरनौली बहुपद P n x )x
सख्ती से ये कार्य बहुपद नहीं हैं और अधिक उचित रूप से आवधिक बर्नौली कार्यों को कहा जाना चाहिए, और P 0 (x )
निम्नलिखित गुण रुचि के हैं, सभी के लिए मान्य हैं x {\displaystyle x}
P k ( x ) is continuous for all k > 1 P k ′ ( x ) exists and is continuous for k > 2 P k ′ ( x ) = k P k − 1 ( x ) , k > 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&P_{k}(x){\text{ is continuous for all }}k>1\\[5pt]&P_{k}'(x){\text{ exists and is continuous for }}k>2\\[5pt]&P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x),k>2\end{aligned}}}
यह भी देखें संदर्भ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables(See Chapter 23)
Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 MR 0434929 , Zbl 0335.10001 (See chapter 12.11) Dilcher, K. (2010), "Bernoulli and Euler Polynomials" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments" . Proceedings of the American Mathematical Society 123 (5): 1527–1535. doi :10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 JSTOR 2161144 . Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". The Ramanujan Journal . 16 (3): 247–270. arXiv :math.NT/0506319 doi :10.1007/s11139-007-9102-0 . S2CID 14910435 . (Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.) Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory . Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6
बाहरी संबंध 
