रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय

{{Calculus|expanded=differential}अंतर कलन में, रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय (लीबनिज़-रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), या बस रेनॉल्ड्स प्रमेय, जिसका नाम ओसबोर्न रेनॉल्ड्स (1842-1912) के नाम पर रखा गया है, लीबनिज़ अभिन्न नियम का त्रि-आयामी सामान्यीकरण है। इसका उपयोग एकीकृत मात्राओं के समय डेरिवेटिव को पुन: व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है और निरंतर यांत्रिकी के बुनियादी समीकरणों को तैयार करने में उपयोगी होता है।

एकीकृत करने पर विचार करें f = f(x,t) समय-निर्भर क्षेत्र में Ω(t) जिसकी सीमा है ∂Ω(t), फिर समय के संबंध में डेरिवेटिव लेना:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV.$

यदि हम व्युत्पन्न को अभिन्न में स्थानांतरित करना चाहते हैं, तो दो मुद्दे हैं: समय की निर्भरता f, और अंतरिक्ष का परिचय और हटाना Ω इसकी गतिशील सीमा के कारण। रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय आवश्यक ढांचा प्रदान करता है।

सामान्य रूप

रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA$

जिसमें n(x,t) जावक-इंगित इकाई सामान्य वेक्टर है, x क्षेत्र में एक बिंदु है और एकीकरण का चर है, dV और dA मात्रा और सतह तत्व हैं x, और v_b(x,t) क्षेत्र तत्व का वेग है (प्रवाह वेग नहीं)। कार्यक्रम f टेंसर-, वेक्टर- या स्केलर-वैल्यू हो सकता है। ध्यान दें कि बायीं ओर का समाकल केवल समय का फलन है, और इसलिए कुल अवकलज का उपयोग किया गया है।

एक भौतिक तत्व के लिए प्रपत्र

सातत्य यांत्रिकी में, इस प्रमेय का प्रयोग अक्सर भौतिक तत्वों के लिए किया जाता है। ये तरल पदार्थ या ठोस पदार्थों के पार्सल होते हैं जिनमें कोई सामग्री प्रवेश या छोड़ती नहीं है। अगर Ω(t) एक भौतिक तत्व है तो एक वेग कार्य होता है v = v(x,t), और सीमा तत्व पालन करते हैं

$\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .$

इस स्थिति को प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.$

Proof for a material element

Let Ω₀ be reference configuration of the region Ω(t). Let the motion and the deformation gradient be given by

$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),$

${\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\varphi }}.$

Let J(X,t) = det F(X,t). Define

${\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)=\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t).$

Then the integrals in the current and the reference configurations are related by

${\begin{aligned}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}.\end{aligned}}$

That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. The time derivative of an integral over a volume is defined as

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t+\Delta t)\,dV-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right).$

Converting into integrals over the reference configuration, we get

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\right).$

Since Ω₀ is independent of time, we have

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left(\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t}}\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t){\big )}\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}J(\mathbf {X} ,t){\big )}\right)\,dV_{0}.\end{aligned}}$

The time derivative of J is given by:

${\begin{aligned}{\frac {\partial J(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\det {\boldsymbol {F}})&=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} {\big (}{\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t{\big )}\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).\end{aligned}}$

Therefore,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV.\end{aligned}}$

where ${\dot {\mathbf {f} }}$ is the material time derivative of f. The material derivative is given by

${\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).$

Therefore,

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV,$

or,

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.$

Using the identity

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ,$

we then have

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)\,dV.$

Using the divergence theorem and the identity (a ⊗ b) · n = (b · n)a, we have

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,dA\\&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.\qquad \square \end{aligned}}$

एक विशेष मामला

अगर हम लेते हैं Ω समय के संबंध में स्थिर होना, तब v_b = 0 और पहचान कम हो जाती है

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }f\,dV=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dV.$

आशा के अनुसार। (यह सरलीकरण संभव नहीं है यदि किसी क्षेत्र तत्व के वेग के स्थान पर प्रवाह वेग का गलत उपयोग किया जाता है।)

व्याख्या और एक आयाम में कमी

प्रमेय अभिन्न चिह्न के तहत भिन्नता का उच्च-आयामी विस्तार है और कुछ मामलों में उस अभिव्यक्ति को कम कर देता है। कल्पना करना f से स्वतंत्र है y और z, ओर वो Ω(t) में एक इकाई वर्ग है yz-प्लेन और है x सीमाएं a(t) और b(t). फिर रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय कम हो जाता है

${\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t),t{\big )}-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big )}\,,$

जो, अदला-बदली तक x और t, समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए मानक व्यंजक है।

यह भी देखें

• Leibniz integral rule

बाहरी संबंध

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely available in digital format: Volume 1, Volume 2, Volume 3,
• "Module 6 - Reynolds Transport Theorem". ME6601: Introduction to Fluid Mechanics. Georgia Tech. Archived from the original on March 27, 2008.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem