बुराली-फोर्टी विरोधाभास

समुच्चय सिद्धान्त में, गणित का एक क्षेत्र, बुराली-फोर्टी विरोधाभास दर्शाता है कि सभी क्रमिक संख्याओं के सेट का निर्माण एक विरोधाभास की ओर जाता है और इसलिए एक प्रणाली में एक अधिकार-विरोध दिखाता है जो इसके निर्माण की अनुमति देता है। इसका नाम Cesare Burali-Forti के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1897 में एक प्रमेय को साबित करते हुए एक पेपर प्रकाशित किया था, जो उनके लिए अज्ञात था, कैंटर द्वारा पहले सिद्ध किए गए परिणाम का खंडन किया। बर्ट्रेंड रसेल ने बाद में विरोधाभास पर ध्यान दिया, और जब उन्होंने इसे अपनी 1903 की पुस्तक 'प्रिंसिपल्स ऑफ अंक शास्त्र ' में प्रकाशित किया, तो उन्होंने कहा कि यह उन्हें बुराली-फोर्टी के पेपर द्वारा सुझाया गया था, जिसके परिणामस्वरूप यह बुराली द्वारा जाना जाने लगा। -फोर्टी का नाम।

== वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स == के संदर्भ में कहा गया है

हम इसे रिडक्टियो एड एब्सर्डम द्वारा सिद्ध करेंगे।

1. होने देना Ω सभी क्रमिक संख्याओं वाला एक सेट हो।
2. Ω सकर्मक समुच्चय है क्योंकि प्रत्येक तत्व के लिए x का Ω (जो एक क्रमिक संख्या है और कोई भी क्रमिक संख्या हो सकती है) और प्रत्येक तत्व y का x (यानी वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स की परिभाषा के तहत, प्रत्येक क्रमिक संख्या के लिए y < x), हमारे पास वह है y का एक तत्व है Ω क्योंकि इस क्रमिक निर्माण की परिभाषा के अनुसार किसी भी क्रमिक संख्या में केवल क्रमिक संख्याएँ होती हैं।
3. Ω सदस्यता संबंध द्वारा सुव्यवस्थित है क्योंकि इसके सभी तत्व भी इस संबंध द्वारा सुव्यवस्थित हैं।
4. तो, चरण 2 और 3 के द्वारा, हमारे पास वह है Ω एक क्रमसूचक वर्ग है और चरण 1 के द्वारा भी, एक क्रमसूचक संख्या है, क्योंकि सभी क्रमवाचक वर्ग जो समुच्चय हैं वे भी क्रमवाचक संख्याएँ हैं।
5. इसका अर्थ यह है कि Ω का एक तत्व है Ω.
6. वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स की परिभाषा के तहत, Ω < Ω वैसा ही है जैसा कि Ω का एक तत्व है Ω. यह बाद वाला कथन चरण 5 से सिद्ध होता है।
7. लेकिन कोई भी क्रमवाचक वर्ग अपने आप से कम नहीं है, सहित Ω चरण 4 के कारण (Ω एक क्रमसूचक वर्ग है), अर्थात Ω ≮Ω.

हमने दो विरोधाभासी प्रस्ताव निकाले हैं (Ω < Ω और Ω ≮ Ω) के सेटहुड से Ω और, इसलिए, इसका खंडन किया Ω एक समुच्चय है।

अधिक आम तौर पर कहा गया

उपरोक्त विरोधाभास का संस्करण कालानुक्रमिक है, क्योंकि यह जॉन वॉन न्यूमैन के कारण अध्यादेशों की परिभाषा को मानता है, जिसके तहत प्रत्येक क्रमवाचक सभी पूर्ववर्ती अध्यादेशों का समूह है, जो उस समय ज्ञात नहीं था जब बुराली-फोर्टी द्वारा विरोधाभास तैयार किया गया था। . यहाँ कम पूर्वधारणाओं वाला एक खाता है: मान लीजिए कि हम प्रत्येक अच्छी तरह से आदेश देने के साथ संबद्ध हैं एक ऑब्जेक्ट को उसके ऑर्डर प्रकार को अनिर्दिष्ट तरीके से कहा जाता है (ऑर्डर प्रकार क्रमिक संख्याएं हैं)। आदेश प्रकार (क्रमिक संख्या) स्वयं प्राकृतिक तरीके से सुव्यवस्थित होते हैं, और इस अच्छी तरह से ऑर्डर करने के लिए एक ऑर्डर प्रकार होना चाहिए $\Omega$. में आसानी से दर्शाया जाता है भोली सेट थ्योरी | भोली सेट थ्योरी (और ZFC में सही रहती है लेकिन नई नींव में नहीं) कि ऑर्डर निश्चित से कम सभी क्रमिक संख्याओं का प्रकार $\alpha$ है $\alpha$ अपने आप। तो आदेश से कम सभी क्रमवाचक संख्याओं का प्रकार $\Omega$ है $\Omega$ अपने आप। लेकिन इस का मतलब है कि $\Omega$, ऑर्डिनल्स के एक उचित प्रारंभिक खंड का ऑर्डर प्रकार होने के नाते, सभी ऑर्डिनल्स के ऑर्डर प्रकार से सख्ती से कम है, लेकिन बाद वाला है $\Omega$ परिभाषा के अनुसार ही। यह एक विरोधाभास है।

यदि हम वॉन न्यूमैन परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसके तहत प्रत्येक क्रमवाचक को सभी पूर्ववर्ती अध्यादेशों के सेट के रूप में पहचाना जाता है, तो विरोधाभास अपरिहार्य है: आपत्तिजनक प्रस्ताव यह है कि सभी क्रमिक संख्याओं का क्रम एक निश्चित से कम है $\alpha$ है $\alpha$ स्वयं सत्य होना चाहिए। रसेल विरोधाभास में संग्रह की तरह वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स का संग्रह, शास्त्रीय तर्क के साथ किसी भी सेट सिद्धांत में एक सेट नहीं हो सकता है। लेकिन न्यू फ़ाउंडेशन में ऑर्डर प्रकारों का संग्रह (समानता के तहत वेल-ऑर्डरिंग के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित) वास्तव में एक सेट है, और विरोधाभास से बचा जाता है क्योंकि ऑर्डिनल्स का ऑर्डर प्रकार इससे कम है $\Omega$ नहीं निकला $\Omega$.

विरोधाभास के संकल्प

ZF और ZFC जैसे आधुनिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत अप्रतिबंधित समझ का उपयोग करके सेट के निर्माण की अनुमति नहीं देकर इस एंटीनॉमी को दरकिनार करते हैं। संपत्ति के साथ सभी सेट जैसे शब्द $P$, जैसा कि भोली सेट थ्योरी में संभव है और जैसा कि भगवान फ्रीज का शुक्र है के स्वयंसिद्धों के साथ संभव है – विशेष रूप से बुनियादी कानून वी – अंकगणित के मौलिक नियमों में। Quine की प्रणाली न्यू फ़ाउंडेशन (NF) एक न्यू फ़ाउंडेशन#बुराली-फ़ोर्टी विरोधाभास का उपयोग करती है। Rosser (1942) ने दिखाया कि क्विन की प्रणाली गणितीय तर्क (एमएल) के मूल संस्करण में, नई नींव का एक विस्तार, बुराली-फोर्टी विरोधाभास को प्राप्त करना संभव है, यह दर्शाता है कि यह प्रणाली विरोधाभासी थी। रोसेर की खोज के बाद क्विन का एमएल का संशोधन इस दोष से ग्रस्त नहीं है, और वास्तव में बाद में हाओ वांग (अकादमिक) द्वारा एनएफ के साथ समतुल्य साबित हुआ था।

यह भी देखें

• पूर्ण अनंत

संदर्भ

• Burali-Forti, Cesare (1897), "Una questione sui numeri transfiniti", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 11: 154–164, doi:10.1007/BF03015911, S2CID 121527917
• Irving Copi (1958) "The Burali-Forti Paradox", Philosophy of Science 25(4): 281–286, doi:10.1086/287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), "Burali-Forti's paradox: A reappraisal of its origins", Historia Mathematica, 8 (3): 319–350, doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Rosser, Barkley (1942), "The Burali-Forti paradox", Journal of Symbolic Logic, 7 (1): 1–17, doi:10.2307/2267550, JSTOR 2267550, MR 0006327, S2CID 13389728

बाहरी संबंध

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Paradoxes and Contemporary Logic"—by Andrea Cantini.