लघु-कोण सन्निकटन

कुछ (त्रिकोणमितीय) कार्यों का लगभग समान व्यवहार x → 0

मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को अनुमानित करने के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, बशर्ते कि प्रश्न में कोण छोटा हो और कांति में मापा जाता हो:

${\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}$

इन सन्निकटनों में यांत्रिकी, विद्युत चुम्बकीय , प्रकाशिकी, नक्शानवीसी , खगोल विज्ञान और कंप्यूटर विज्ञान सहित भौतिकी और अभियांत्रिकी की शाखाओं में उपयोग की एक विस्तृत श्रृंखला है।इसका एक कारण यह है कि वे विभेदक समीकरणों को बहुत सरल बना सकते हैं जिनका उत्तर पूर्ण सटीकता के साथ देने की आवश्यकता नहीं है।

लघु-कोण सन्निकटनों की वैधता प्रदर्शित करने के कई तरीके हैं। प्रत्येक त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला को छोटा करना सबसे सीधा तरीका है। सन्निकटन के क्रम के आधार पर #Usage_in_science_and_engineering, $\textstyle \cos \theta$ या तो अनुमानित है $1$ या के रूप में ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.

औचित्य

ग्राफिक

सन्निकटन की सटीकता चित्र 1 और चित्र 2 में नीचे देखी जा सकती है। जैसे-जैसे कोण का माप शून्य तक पहुंचता है, सन्निकटन और मूल कार्य के बीच का अंतर भी 0 तक पहुँच जाता है।

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  चित्र 1. मूल विषम फलन त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना θ. यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन बेहतर होते जाते हैं।

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  चित्र 2. की तुलना cos θ को 1 − θ²/2. यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है सन्निकटन बेहतर होता जाता है।

ज्यामितीय

दाईं ओर लाल खंड, d, कर्ण की लंबाई के बीच का अंतर है, H, और आसन्न पक्ष, A. जैसा दिखाया गया है, H और A लगभग समान लंबाई के हैं, जिसका अर्थ है cos θ 1 के करीब है और θ²/2 लाल रंग को दूर करने में मदद करता है।

$$\cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$$

विपरीत पैर, O, नीले चाप की लंबाई के लगभग बराबर है, s. ज्यामिति से तथ्यों को इकट्ठा करना, s = Aθ, त्रिकोणमिति से, sin θ = O/H और tan θ = O/A, और तस्वीर से, O ≈ s और H ≈ A ओर जाता है:

$$\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .$$

सरल पत्ते,

$$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .$$

पथरी

निचोड़ प्रमेय का उपयोग करना,हम यह साबित कर सकते हैं

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,$$

जो सन्निकटन का एक औपचारिक पुनर्कथन है $\sin(\theta )\approx \theta$ θ के छोटे मूल्यों के लिए।

निचोड़ प्रमेय का अधिक सावधानीपूर्वक प्रयोग यह साबित करता है

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,$$

जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $\tan(\theta )\approx \theta$ θ के छोटे मूल्यों के लिए।

अंत में, L'hopital का नियम हमें बताता है

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},$$

जो पुनर्व्यवस्थित करता है ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ θ के छोटे मूल्यों के लिए। वैकल्पिक रूप से, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#दोहरे-कोण सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं $\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$. जैसे भी हो $\theta =2A$, हमें वह मिलता है ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.

बीजीय

साइन फ़ंक्शन के लिए लघु-कोण सन्निकटन।

संबंधित त्रिकोणमितीय फलन का मैक्लॉरिन विस्तार (लगभग 0 टेलर विस्तार) है

$${\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$$

कहाँ θ रेडियंस में कोण है। स्पष्ट शब्दों में,

$$\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots$$

यह आसानी से देखा जा सकता है कि दूसरा सबसे महत्वपूर्ण (तीसरा क्रम) पद पहले पद के घन के रूप में गिरता है; इस प्रकार, यहां तक ​​कि 0.01 जैसे इतने छोटे तर्क के लिए भी, दूसरे सबसे महत्वपूर्ण शब्द का मान क्रम में है 0.000001, या 1/10000 पहला कार्यकाल। कोई इस प्रकार सुरक्षित रूप से अनुमान लगा सकता है:

$$\sin \theta \approx \theta$$

विस्तार से, चूंकि एक छोटे कोण का कोज्या बहुत करीब 1 है, और स्पर्शरेखा कोसाइन द्वारा विभाजित ज्या द्वारा दी गई है,

$$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,$$

सन्निकटन की त्रुटि

चित्रा 3. छोटे कोण सन्निकटन के लिए सापेक्ष त्रुटियों का एक ग्राफ।

चित्रा 3 छोटे कोण सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटियों को दर्शाता है। जिन कोणों पर सापेक्ष त्रुटि 1% से अधिक है, वे इस प्रकार हैं:

• cos θ ≈ 1 लगभग 0.1408 रेडियन (8.07°) पर
• tan θ ≈ θ लगभग 0.1730 रेडियन (9.91°) पर
• sin θ ≈ θ लगभग 0.2441 रेडियन (13.99°) पर
• cos θ ≈ 1 − θ²/2 लगभग 0.6620 रेडियन (37.93°) पर

कोण योग और अंतर

जब कोई एक कोण छोटा हो (β ≈ 0) तो कोण जोड़ और घटाव प्रमेय निम्न हो जाते हैं:

cos(α + β)	≈ cos(α) − β sin(α),
cos(α − β)	≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β)	≈ sin(α) + β cos(α),
sin(α − β)	≈ sin(α) − β cos(α).

विशिष्ट उपयोग

खगोल विज्ञान

खगोल विज्ञान में, एक दूर की वस्तु की छवि द्वारा बनाया गया कोणीय आकार या कोण अक्सर केवल कुछ arcsecond होता है, इसलिए यह छोटे कोण सन्निकटन के लिए उपयुक्त है।रैखिक आकार (D) कोणीय आकार से संबंधित है (X) और प्रेक्षक से दूरी (d) सरल सूत्र द्वारा:

$D=X{\frac {d}{206\,265}}$

कहाँ X आर्कसेकंड में मापा जाता है।

जो नंबर 206265 एक वृत्त में आर्कसेकंड की संख्या के लगभग बराबर है (1296000), द्वारा विभाजित 2π, या, 1 रेडियन में आर्कसेकंड की संख्या।

सटीक सूत्र है

$D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)$

और उपरोक्त सन्निकटन तब होता है जब tan X द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है X.

एक लंगर की गति

दूसरे क्रम का कोसाइन सन्निकटन विशेष रूप से एक पेंडुलम की संभावित ऊर्जा की गणना करने में उपयोगी होता है, जिसे तब गति के अप्रत्यक्ष (ऊर्जा) समीकरण को खोजने के लिए लैग्रैंगियन यांत्रिकी के साथ लागू किया जा सकता है।

एक साधारण पेंडुलम की आवृत्ति की गणना करते समय, साइन के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग सरल हार्मोनिक गति का वर्णन करने वाले अंतर समीकरण के साथ तुलना करके परिणामी अंतर समीकरण को आसानी से हल करने की अनुमति देने के लिए किया जाता है।

प्रकाशिकी

प्रकाशिकी में, लघु-कोण सन्निकटन पैराएक्सियल सन्निकटन का आधार बनाते हैं।

वेव इंटरफेरेंस

साइन और स्पर्शरेखा लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग डबल-स्लिट प्रयोग या समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक विवर्तन झंझरी के संबंध में किया जाता है, उदा। 'फ्रिंज स्पेसिंग' = 'वेवलेंथ' × 'स्लिट्स से स्क्रीन तक की दूरी' ÷ 'स्लिट्स सेपरेशन'।

संरचनात्मक यांत्रिकी

लघु-कोण सन्निकटन संरचनात्मक यांत्रिकी में भी दिखाई देता है, विशेष रूप से स्थिरता और द्विभाजन विश्लेषण में (मुख्य रूप से अक्षीय रूप से लोड किए गए स्तंभों को buckling से गुजरने के लिए तैयार)। यह महत्वपूर्ण सरलीकरण की ओर जाता है, हालांकि सटीकता और वास्तविक व्यवहार में अंतर्दृष्टि की कीमत पर।

पायलटिंग

हवाई नेविगेशन में उपयोग किए जाने वाले 60 में से 1 नियम का आधार लघु-कोण सन्निकटन है, साथ ही तथ्य यह है कि एक रेडियन लगभग 60 डिग्री है।

इंटरपोलेशन

त्रिकोणमितीय तालिका मानों के बीच प्रक्षेपित करने के लिए #कोण ​​योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है:

उदाहरण: पाप (0.755)

$${\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}$$

जहां त्रिकोणमितीय तालिका से sin(0.75) और cos(0.75) के मान प्राप्त किए जाते हैं

यह भी देखें

• पतला त्रिकोण
• पेंडुलम_(गणित)#Infinitesimal_oscillations_of_a_पेंडुलम
• वर्साइन और हावरसाइन
• एक्ससेकेंट और एक्सोसेकेंट