लघु-कोण सन्निकटन

x → 0 के लिए कुछ (त्रिकोणमितीय) फलनों का व्यवहार लगभग बराबर है

मुख्य त्रिकोणमितीय फलनोंं के मानों को अनुमानित करने के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, बशर्ते कि प्रश्न में कोण छोटा हो और रेडियन में मापा जाता हो-

${\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}$

यांत्रिकी, विद्युत चुंबकत्व, प्रकाशिकी, कार्टोग्राफी, खगोल विज्ञान और कंप्यूटर विज्ञान सहित भौतिकी और अभियांत्रिकी की शाखाओं में इन अनुमानों का व्यापक उपयोग है। इसका एक कारण यह है कि वे अवकल समीकरणों को बहुत सरल बना सकते हैं जिनका उत्तर पूर्ण परिशुद्धता के साथ देने की आवश्यकता नहीं है।

लघु-कोण सन्निकटनों की वैधता प्रदर्शित करने के कई तरीके हैं। सबसे प्रत्यक्ष विधि प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलनों के लिए मैक्लॉरिन श्रृंखला को छोटा करना है। सन्निकटन के क्रम के आधार पर $\textstyle \cos \theta$ को या तो $1$ या ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ के रूप में अनुमानित किया जाता है।

औचित्य

ग्राफिक

सन्निकटन की सटीकता को चित्र 1 और चित्र 2 में नीचे देखा जा सकता है। जैसे-जैसे कोण का माप शून्य की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन और मूल फलन के बीच का अंतर भी 0 की ओर बढ़ता है।

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  चित्र 1. मूल विषम त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना θ से। यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन बेहतर होते जाते हैं।

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  चित्र 2. की तुलना cos θ को 1 − θ²/2. यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है सन्निकटन बेहतर होता जाता है।

ज्यामितीय

दाईं ओर लाल खंड, d, कर्ण, H, और निकटवर्ती भुजा, A की लंबाई के बीच का अंतर है। जैसा कि दिखाया गया है, H और A लगभग समान लंबाई हैं, जिसका अर्थ है कि cos θ 1 के निकट है और θ²/2 लाल को सुव्यवस्थित करने में सहायता करता है।

$$\cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$$

विपरीत पादस्तंभ, O, नीले चाप की लंबाई s के लगभग बराबर है। ज्यामिति से तथ्यों को इकट्ठा करना, s = Aθ, त्रिकोणमिति से, sin θ = O/H और tan θ = O/A, और चित्र से, O ≈ s और H ≈ A की ओर जाता है-

$$\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .$$

सरलीकरण पत्तियां,

$$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .$$

गणना

संकुचन (स्क्वीज) प्रमेय का उपयोग करके, हम इसे सिद्ध कर सकते हैं

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,$$

जो θ के लघु मानों के लिए सन्निकटन $\sin(\theta )\approx \theta$ का एक औपचारिक पुनर्कथन है।

स्क्वीज प्रमेय का अधिक सावधानीपूर्वक प्रयोग यह सिद्ध करता है

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,$$

जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि θ के लघु मानों के लिए $\tan(\theta )\approx \theta$ है।

अंत में, एल'हॉपिटल का नियम हमें यह बताता है

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},$$

जो θ के लघु मानों के लिए ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ में पुनर्व्यवस्थित होता है। वैकल्पिक रूप से, हम द्विकोण सूत्र $\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$ का उपयोग कर सकते हैं। $\theta =2A$ देने पर हमें${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ प्राप्त होता है।

बीजगणितीय

साइन फलन के लिए लघु-कोण सन्निकटन।

संबंधित त्रिकोणमितीय फलन का मैक्लॉरिन विस्तार (लगभग 0 टेलर विस्तार) है

$${\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$$

जहां θ रेडियन में कोण है। स्पष्ट शब्दों में,

$$\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots$$

यह आसानी से देखा जा सकता है कि दूसरा सबसे महत्वपूर्ण (तीसरा क्रम) पद प्रथम पद के घन के रूप में गिरता है इस प्रकार, 0.01 जैसे लघु तर्क के लिए भी, दूसरे सबसे महत्वपूर्ण पद का मान 0.000001, या 1/10000 प्रथम पद के क्रम पर है। इस प्रकार कोई सुरक्षित रूप से अनुमानित कर सकता है-

$$\sin \theta \approx \theta$$

विस्तार से, चूंकि एक लघु कोण का कोज्या बहुत निकट 1 है, और स्पर्शरेखा कोज्या द्वारा विभाजित ज्या द्वारा दी गई है,

$$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,$$

सन्निकटन की त्रुटि

चित्रा 3. लघु कोण सन्निकटन के लिए सापेक्ष त्रुटियों का एक ग्राफ।

चित्रा 3 लघु कोण सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटियों को दर्शाता है। जिस कोण पर सापेक्ष त्रुटि 1% से अधिक होती है वह इस प्रकार है-

• cos θ ≈ 1 लगभग 0.1408 रेडियन (8.07°) पर
• tan θ ≈ θ लगभग 0.1730 रेडियन (9.91°) पर
• sin θ ≈ θ लगभग 0.2441 रेडियन (13.99°) पर
• cos θ ≈ 1 − θ²/2 लगभग 0.6620 रेडियन (37.93°) पर

कोण योग और अंतर

जब कोणों में से एक कोण छोटा (β ≈ 0) होता है तो कोण जोड़ और घटाव प्रमेय निम्नलिखित में कम हो जाते हैं-

cos(α + β)	≈ cos(α) − β sin(α),
cos(α − β)	≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β)	≈ sin(α) + β cos(α),
sin(α − β)	≈ sin(α) − β cos(α).

विशिष्ट उपयोग

खगोल विज्ञान

खगोल विज्ञान में, एक दूर की वस्तु की छवि द्वारा अंतरित कोणीय आकार या कोण प्रायः केवल कुछ आर्कसेकंड होते हैं, इसलिए यह लघु कोण सन्निकटन के लिए उपयुक्त है। रैखिक आकार (D) कोणीय आकार (X) और प्रेक्षक से दूरी (d) से सरल सूत्र द्वारा संबंधित है-

$D=X{\frac {d}{206\,265}}$

जहाँ X को आर्कसेकंड में मापा जाता है।

संख्या 206265 लगभग एक वृत्त (1296000) में आर्कसेकंड की संख्या के बराबर है, जिसे 2π से विभाजित किया गया है, या 1 रेडियन में आर्कसेकंड की संख्या है।

सटीक सूत्र है

$D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)$

और उपरोक्त सन्निकटन तब होता है जब tan X को X से प्रतिस्थापित किया जाता है।

लोलक की गति

दूसरे क्रम का कोज्या सन्निकटन विशेष रूप से एक लोलक की संभावित ऊर्जा की गणना करने में उपयोगी होता है, जिसे तब गति के अप्रत्यक्ष (ऊर्जा) समीकरण को खोजने के लिए लैग्रैन्जियन के साथ प्रयोग किया जा सकता है।

एक साधारण लोलक की अवधि की गणना करते समय, साइन के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग परिणामी अवकल समीकरण को सरल आवर्ती गति का वर्णन करने वाले अवकल समीकरण के साथ तुलना करके आसानी से हल करने की अनुमति देने के लिए किया जाता है।

प्रकाशिकी

प्रकाशिकी में, लघु-कोण सन्निकटन, पराक्षीय सन्निकटन का आधार बनाते हैं।

तरंग हस्तक्षेप

साइन और स्पर्शरेखा लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग डबल-स्लिट प्रयोग या समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक विवर्तन झंझरी के संबंध में किया जाता है, उदाहरण के लिए 'फ्रिंज रिक्ति' = 'तरंग दैर्ध्य' × 'स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी' ÷ 'स्लिट पृथक्करण'।

संरचनात्मक यांत्रिकी

लघु-कोण सन्निकटन संरचनात्मक यांत्रिकी में भी दिखाई देता है, विशेष रूप से स्थिरता और द्विभाजन विश्लेषण में (मुख्य रूप से अक्षीय रूप से लोड किए गए स्तंभ प्रांकुचन से गुजरने के लिए तैयार)। यह महत्वपूर्ण सरलीकरण की ओर जाता है, हालांकि सटीकता और वास्तविक व्यवहार में अंतर्दृष्टि की कीमत पर।

मार्ग दर्शन

हवाई मार्गनिर्देशन में उपयोग किए जाने वाले 60 में से 1 नियम का आधार लघु-कोण सन्निकटन है, साथ ही यह तथ्य भी है कि एक रेडियन लगभग 60 डिग्री है।

प्रक्षेप

त्रिकोणमितीय तालिका मानों के बीच प्रक्षेपित करने के लिए एक लघु कोण को सम्मिलित करने के लिए जोड़ और घटाव के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है-

उदाहरण- sin(0.755)

$${\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}$$

जहां त्रिकोणमितीय तालिका से sin(0.75) और cos(0.75) के मान प्राप्त किए जाते हैं

यह भी देखें

• पतला त्रिभुज
• लोलक के अति सूक्ष्म दोलन
• वरसाइन और हावरसाइन
• एक्ससेकेंट और एक्सोसेकेंट