बीजगणितीय समापन

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित, एक क्षेत्र (गणित) के का एक बीजगणितीय समापन के का एक बीजगणितीय विस्तार है जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। यह गणित में कई क्लोजर (गणित) में से एक है।

ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करना या कमजोर अल्ट्राफिल्टर लेम्मा, यह दिखाया जा सकता है कि एक बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और यह कि एक क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन एक समरूपता तक अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य को निश्चित बिंदु (गणित) करता है। इस आवश्यक अद्वितीयता के कारण, हम अक्सर बोलते हैं K के बीजगणितीय बंद होने के बजाय K के बीजगणितीय समापन का।

एक क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय विस्तार के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि L, K का कोई बीजगणितीय विस्तार है, तो L का बीजगणितीय संवरण भी K का बीजगणितीय संवरण है, और इसलिए L, K के बीजगणितीय संवरण में समाहित है। K का बीजगणितीय बंद भी सबसे छोटा बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिसमें K है, क्योंकि यदि M कोई बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिसमें K है, तो M के तत्व जो बीजगणितीय विस्तार K हैं, K का बीजगणितीय समापन बनाते हैं।

एक क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है यदि K अनंत है, और यदि K परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।

उदाहरण

• बीजगणित का मौलिक प्रमेय बताता है कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।
• परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।
• संमिश्र संख्याओं के भीतर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को सख्ती से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक विस्तार के बीजगणितीय समापन हैं, उदा। Q(π) का बीजगणितीय समापन।
• अभाज्य संख्या शक्ति क्रम q के परिमित क्षेत्र के लिए, बीजगणितीय समापन एक गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है जिसमें क्रम q के क्षेत्र की एक प्रति होती हैⁿ प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए (और वास्तव में इन प्रतियों का मिलन है)।

एक बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व

होने देना $S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय हो। प्रत्येक के लिए $f_{\lambda }\in S$, नए चर पेश करें $u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}$ कहाँ $d={\rm {degree}}(f_{\lambda })$. बता दें कि R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय है $u_{\lambda ,i}$ सभी के लिए $\lambda \in \Lambda$ और सभी $i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda })$. लिखना

$f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]$

साथ $r_{\lambda ,j}\in R$. चलो मैं द्वारा उत्पन्न आर में आदर्श हो $r_{\lambda ,j}$. चूँकि I, R से पूरी तरह छोटा है, ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है कि R में अधिकतम आदर्श M मौजूद है जिसमें I शामिल है। फील्ड के₁= आर/एम में संपत्ति है कि हर बहुपद $f_{\lambda }$ के गुणांक के साथ के उत्पाद के रूप में विभाजित होता है $x-(u_{\lambda ,i}+M),$ और इसलिए K में सभी जड़ें हैं₁. उसी तरह, एक एक्सटेंशन K₂ के₁ निर्माण किया जा सकता है, आदि। इन सभी एक्सटेंशनों का मिलन K का बीजगणितीय समापन है, क्योंकि इस नए क्षेत्र में गुणांक वाले किसी भी बहुपद के गुणांक कुछ K में होते हैं।_n पर्याप्त रूप से बड़े n के साथ, और फिर इसकी जड़ें K में हैं_n+1, और इसलिए संघ में ही।

यह उसी रेखा के साथ दिखाया जा सकता है कि के [एक्स] के किसी भी उपसमुच्चय एस के लिए, के पर एस के विभाजन क्षेत्र मौजूद हैं।

वियोज्य क्लोजर

एक बीजगणितीय समापन K^{K के alg में अद्वितीय वियोज्य एक्सटेंशन K होता हैK का sep जिसमें K के भीतर K के सभी (बीजीय) वियोज्य विस्तार शामिल हैंअलग. इस उप-विस्तार को K का 'वियोज्य समापन' कहा जाता है। चूंकि एक वियोज्य विस्तार का वियोज्य विस्तार फिर से वियोज्य है, K का कोई परिमित वियोज्य विस्तार नहीं हैsep, of Degree > 1. इसे दूसरे तरीके से कहते हुए, K अलग-अलग बंद बीजगणितीय विस्तार क्षेत्र में समाहित है। यह अद्वितीय है (समरूपता तक)। वियोज्य क्लोजर पूर्ण बीजगणितीय क्लोजर है यदि और केवल यदि K एक पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, $K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)$ एक गैर-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार है।}

सामान्य तौर पर, K का पूर्ण Galois समूह K का Galois समूह है^{सितम्बर} ओवर के.

यह भी देखें

• बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र
• बीजगणितीय विस्तार
• प्यूसेक्स विस्तार
• पूरा क्षेत्र

संदर्भ

• Kaplansky, Irving (1972). Fields and rings. Chicago lectures in mathematics (Second ed.). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500.
• McCarthy, Paul J. (1991). Algebraic extensions of fields (Corrected reprint of the 2nd ed.). New York: Dover Publications. Zbl 0768.12001.