क्षेत्र का द्वितीय क्षण

This article is about एक क्षेत्र की ज्यामितीय संपत्ति, जिसे क्षेत्र का दूसरा क्षण कहा जाता है. For द्रव्यमान के साथ किसी वस्तु के घूमने से संबंधित जड़ता का क्षण, see निष्क्रियता के पल.

For मानक आकृतियों के क्षेत्रफल के दूसरे क्षणों के लिए समीकरणों की सूची, see क्षेत्र के दूसरे क्षणों की सूची.

क्षेत्र का दूसरा क्षण, या दूसरा क्षेत्र क्षण, या क्षेत्र का द्विघात क्षण और जड़त्व के क्षेत्र क्षण के रूप में भी जाना जाता है, यह क्षेत्र की ज्यामितीय संपत्ति है जो यह दर्शाता है कि मनमाना अक्ष के संबंध में इसके बिंदु कैसे वितरित किए जाते हैं। क्षेत्र के दूसरे क्षण को आम तौर पर या तो के साथ दर्शाया जाता है $I$ ( अक्ष के लिए जो क्षेत्र के तल में स्थित है) या के साथ $J$ (विमान के लंबवत अक्ष के लिए)। दोनों ही मामलों में, इसकी गणना प्रश्न में वस्तु पर ाधिक अभिन्न के साथ की जाती है। इसका आयाम L (लंबाई) से चौथी शक्ति तक है। इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली के साथ काम करते समय आयाम की इसकी भौतिक इकाई, मीटर से चौथी शक्ति, मीटर है⁴, या इंच से चौथी शक्ति, इंच⁴, इंपीरियल इकाइयों में काम करते समय।

संरचनागत वास्तुविद्या में, बीम (संरचना) के क्षेत्र का दूसरा क्षण बीम के विक्षेपण (इंजीनियरिंग) की गणना और बीम पर लागू क्षण (भौतिकी) के कारण तनाव (यांत्रिकी) की गणना में उपयोग की जाने वाली महत्वपूर्ण संपत्ति है। क्षेत्र के दूसरे क्षण को अधिकतम करने के लिए, क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) का बड़ा अंश | मैं दमक का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आई-बीम के क्रॉस-सेक्शन के केन्द्रक से अधिकतम संभव दूरी पर स्थित है। क्षेत्र का तलीय दूसरा क्षण अनुप्रयुक्त क्षण, बल, या इसके आकार के कार्य के रूप में इसके तटस्थ अक्ष के लंबवत संरचनात्मक भार वितरित होने के कारण बीम की कठोरता में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। क्षेत्र का ध्रुवीय दूसरा क्षण अपने आकार के समारोह के रूप में, इसके क्रॉस-सेक्शन के समानांतर अनुप्रयुक्त क्षण के कारण मरोड़ (यांत्रिकी) विक्षेपण के लिए बीम के प्रतिरोध में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

जड़ता के क्षणों की सूची को संदर्भित करने के लिए विभिन्न विषयों शब्द 'जड़ता का क्षण' (एमओआई) का उपयोग करते हैं। यह क्षेत्र के समतलीय द्वितीय क्षणों में से किसी को संदर्भित कर सकता है (अक्सर ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ या ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA,}$ कुछ संदर्भ तल के संबंध में), या क्षेत्र का ध्रुवीय दूसरा क्षण (${\textstyle I=\iint _{R}r^{2}\,dA}$, जहां r कुछ संदर्भ अक्ष की दूरी है)। प्रत्येक मामले में इंटीग्रल क्षेत्र के सभी अतिसूक्ष्म तत्वों, डीए, कुछ द्वि-आयामी क्रॉस-सेक्शन में है। भौतिकी में, जड़ता का क्षण सख्ती से अक्ष से दूरी के संबंध में 'द्रव्यमान' का दूसरा क्षण होता है: ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$, जहां आर कुछ संभावित घूर्णन अक्ष की दूरी है, और अभिन्न वस्तु द्वारा कब्जा कर लिया गया त्रि-आयामी अंतरिक्ष में द्रव्यमान, डीएम के सभी अनंत तत्वों पर हैQ. MOI, इस अर्थ में, घूर्णी समस्याओं के लिए द्रव्यमान का अनुरूप है। इंजीनियरिंग में (विशेष रूप से मैकेनिकल और सिविल), जड़त्व का क्षण आमतौर पर क्षेत्र के दूसरे क्षण को संदर्भित करता है।

परिभाषा

मनमाना आकार। ρ तत्व dA के लिए रेडियल दूरी है, अक्षों पर अनुमानों x और y के साथ।

मनमाना आकार के लिए क्षेत्र का दूसरा क्षणR मनमाना अक्ष के संबंध में $BB'$ परिभाषित किया जाता है

$$J_{BB'}=\iint _{R}{\rho }^{2}\,dA$$

कहाँ

• $dA$ अतिसूक्ष्म क्षेत्र तत्व है, और
• $\rho$ अक्ष से लंबवत दूरी है $BB'$.

उदाहरण के लिए, जब वांछित संदर्भ अक्ष एक्स-अक्ष है, तो क्षेत्र का दूसरा क्षण $I_{xx}$ (अक्सर के रूप में दर्शाया गया है $I_{x}$) कार्टेशियन निर्देशांक में गणना की जा सकती है

$$I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dx\,dy$$

यूलर-बर्नौली बीम समीकरण | पतला बीम के यूलर-बर्नौली सिद्धांत में क्षेत्र का दूसरा क्षण महत्वपूर्ण है।

क्षेत्र का उत्पाद क्षण

अधिक सामान्यतः, क्षेत्र के उत्पाद क्षण को इस रूप में परिभाषित किया जाता है

$$I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy$$

समानांतर अक्ष प्रमेय

केन्द्रक अक्ष x के साथ आकृति। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग x 'अक्ष के संबंध में क्षेत्र का दूसरा क्षण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

Main article: समानांतर अक्ष प्रमेय

कभी-कभी किसी आकार के क्षेत्र के दूसरे क्षण की गणना करना आवश्यक होता है $x'$ आकृति के केंद्रक अक्ष से भिन्न अक्ष। हालांकि, इसके केंद्रक अक्ष के संबंध में क्षेत्र के दूसरे क्षण को प्राप्त करना अक्सर आसान होता है, $x$, और समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग क्षेत्र के दूसरे क्षण के संबंध में प्राप्त करने के लिए करें $x'$ । समानांतर अक्ष प्रमेय बताता है

$$I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}$$

कहाँ

• $A$ आकार का क्षेत्र है, और
• $d$ के बीच लंबवत दूरी है $x$ और $x'$ कुल्हाड़ियों।

के बारे में इसी तरह का बयान दिया जा सकता है $y'$ अक्ष और समानांतर केन्द्रक $y$ । या, सामान्य तौर पर, कोई केन्द्रक $B$ अक्ष और समानांतर $B'$ ।

लंबवत अक्ष प्रमेय

Main article: लम्बवत अक्ष प्रमेय

गणना की सरलता के लिए, अक्सर जड़ता के दो क्षेत्र क्षणों (दोनों इन-प्लेन अक्षों के संबंध में) के संदर्भ में क्षेत्र के ध्रुवीय क्षण (लंबवत अक्ष के संबंध में) को परिभाषित करना वांछित होता है। सबसे साधारण मामला संबंधित है $J_{z}$ को $I_{x}$ और $I_{y}$.

$$J_{z}=\iint _{R}\rho ^{2}\,dA=\iint _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\iint _{R}x^{2}\,dA+\iint _{R}y^{2}\,dA=I_{x}+I_{y}$$

यह रिश्ता पाइथागोरस प्रमेय पर निर्भर करता है जो संबंधित है $x$ और $y$ को $\rho$ और एकीकरण की रैखिकता पर।

समग्र आकार

अधिक जटिल क्षेत्रों के लिए, क्षेत्र को सरल आकृतियों की श्रृंखला में विभाजित करना अक्सर आसान होता है। संपूर्ण आकृति के लिए क्षेत्रफल का दूसरा क्षण सामान्य अक्ष के चारों ओर इसके सभी भागों के क्षेत्रफलों के दूसरे क्षण का योग होता है। इसमें ऐसी आकृतियाँ शामिल हो सकती हैं जो गायब हैं (अर्थात छेद, खोखली आकृतियाँ, आदि), इस स्थिति में छूटे हुए क्षेत्रों के क्षेत्र का दूसरा क्षण जोड़ा जाने के बजाय घटाया जाता है। दूसरे शब्दों में, लापता भागों के क्षेत्र के दूसरे क्षण को समग्र आकृतियों की विधि के लिए नकारात्मक माना जाता है।

उदाहरण

अन्य आकृतियों के लिए क्षेत्र के दूसरे क्षणों की सूची देखें।

मूल पर केन्द्रक के साथ आयत

आधार b और ऊँचाई h वाला आयत

आधार के साथ आयत पर विचार करें $b$ और ऊंचाई $h$ जिसका केंद्रक मूल बिंदु पर स्थित है। $I_{x}$ एक्स-अक्ष के संबंध में क्षेत्र के दूसरे क्षण का प्रतिनिधित्व करता है; $I_{y}$ y-अक्ष के संबंध में क्षेत्र के दूसरे क्षण का प्रतिनिधित्व करता है; $J_{z}$ z-अक्ष के संबंध में जड़त्व के ध्रुवीय क्षण का प्रतिनिधित्व करता है।

$${\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}$$

क्षेत्र के दूसरे क्षण का उपयोग करना लम्बवत अक्ष प्रमेय हमें का मान मिलता है $J_{z}$.

$$J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)$$

उद्गम पर केन्द्रित वलय

आंतरिक त्रिज्या आर के साथ वलय₁ और बाहरी त्रिज्या आर₂

वलय (गणित) पर विचार करें जिसका केंद्र मूल पर है, बाहरी त्रिज्या है $r_{2}$, और अंदर त्रिज्या है $r_{1}$. वलय की समरूपता के कारण, केन्द्रक भी मूल में स्थित है। हम जड़त्व के ध्रुवीय क्षण को निर्धारित कर सकते हैं, $J_{z}$, के बारे में $z$ समग्र आकृतियों की विधि द्वारा अक्ष। जड़ता का यह ध्रुवीय क्षण त्रिज्या वाले वृत्त की जड़ता के ध्रुवीय क्षण के बराबर है $r_{2}$ त्रिज्या के साथ वृत्त की जड़ता का ध्रुवीय क्षण घटाएं $r_{1}$, दोनों मूल पर केंद्रित हैं। पहले, आइए हम त्रिज्या वाले वृत्त के जड़त्व के ध्रुवीय आघूर्ण की व्युत्पत्ति करें $r$ उत्पत्ति के संबंध में। इस मामले में, सीधे गणना करना आसान है $J_{z}$ जैसा कि हमारे पास पहले से ही है $r^{2}$, जिसमें दोनों हैं $x$ और $y$ अवयव। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली से क्षेत्रफल का दूसरा आघूर्ण प्राप्त करने के बजाय, जैसा कि पिछले भाग में किया गया था, हम परिकलन करेंगे $I_{x}$ और $J_{z}$ सीधे ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करना।

$${\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}$$

अब, के बारे में जड़त्व का ध्रुवीय क्षण $z$ वलय के लिए अक्ष बस, जैसा कि ऊपर कहा गया है, त्रिज्या के साथ वृत्त के क्षेत्रफल के दूसरे क्षणों का अंतर है $r_{2}$ और त्रिज्या के साथ वृत्त $r_{1}$.

$$J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)$$

वैकल्पिक रूप से, हम पर सीमाएं बदल सकते हैं $dr$ इस तथ्य को दर्शाने के लिए पहली बार इंटीग्रल करें कि छेद है। यह इस प्रकार किया जाएगा।

$${\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}$$

कोई बहुभुज

साधारण बहुभुज। यहाँ, $n=6$, नोटिस बिंदु 7 बिंदु 1 के समान है।

्सवाई-प्लेन पर किसी भी साधारण बहुभुज के लिए उत्पत्ति के बारे में क्षेत्र का दूसरा क्षण सामान्य रूप से बहुभुज के प्रत्येक खंड से त्रिभुजों के सेट में क्षेत्र को विभाजित करने के योग द्वारा गणना किया जा सकता है। यह सूत्र शूलेस सूत्र से संबंधित है और इसे ग्रीन के प्रमेय का विशेष मामला माना जा सकता है।

बहुभुज माना जाता है $n$ वर्टिकल्स, काउंटर-क्लॉकवाइज फैशन में गिने जाते हैं। यदि बहुभुज के शीर्षों को दक्षिणावर्त क्रमांकित किया जाता है, तो लौटाए गए मान ऋणात्मक होंगे, लेकिन निरपेक्ष मान सही होंगे।

$${\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}$$

कहाँ $x_{i},y_{i}$ के निर्देशांक हैं $i$-वें बहुभुज शीर्ष, के लिए $1\leq i\leq n$. भी, $x_{n+1},y_{n+1}$ पहले शीर्ष के निर्देशांक के बराबर माना जाता है, अर्थात, $x_{n+1}=x_{1}$ और $y_{n+1}=y_{1}$.

यह भी देखें

• क्षेत्र के दूसरे क्षणों की सूची
• जड़ता के क्षणों की सूची
• निष्क्रियता के पल
• समानांतर अक्ष प्रमेय
• लंब अक्ष प्रमेय
• आवर्तन का अर्ध व्यास