द्विघात प्रोग्रामिंग

क्वाड्रैटिक प्रोग्रामिंग (क्यूपी) द्विघात फंक्शन से जुड़े कुछ गणितीय अनुकूलन अनुकूलन समस्या को हल करने की प्रक्रिया है। विशेष रूप से, एक चर पर रैखिक विवश अनुकूलन के अधीन एक बहुभिन्नरूपी द्विघात फ़ंक्शन को अनुकूलित (न्यूनतम या अधिकतम) करना चाहता है। द्विघात प्रोग्रामिंग एक प्रकार की अरैखिक प्रोग्रामिंग है।

इस संदर्भ में प्रोग्रामिंग गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए औपचारिक प्रक्रिया को संदर्भित करता है। यह उपयोग 1940 के दशक का है और विशेष रूप से कंप्यूटर प्रोग्रामिंग की हालिया धारणा से जुड़ा नहीं है। भ्रम से बचने के लिए, कुछ व्यवसायी अनुकूलन शब्द पसंद करते हैं - उदाहरण के लिए, द्विघात अनुकूलन।^[1]

समस्या निर्माण

के साथ द्विघात प्रोग्रामिंग समस्या $n$ चर और $m$ बाधाओं को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है।^[2] दिया गया:

एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान, $n$ -आयामी वेक्टर $c$ ,
एक $n \times n$ -आयामी वास्तविक सममित मैट्रिक्स $Q$ ,
एक $m \times n$ आयामी वास्तविक मैट्रिक्स (गणित) $A$ , और
एक $m$ -आयामी असली वेक्टर $b$ ,

द्विघात प्रोग्रामिंग का उद्देश्य एक खोजना है $n$ -आयामी वेक्टर $x$ , वो होगा

minimize	${\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }Q\mathbf {x} +\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x}$
subject to	$A\mathbf {x} \preceq \mathbf {b} ,$

कहाँ $x T$ के वेक्टर स्थानान्तरण को दर्शाता है $x$ , और अंकन $A x ⪯ b$ इसका मतलब है कि वेक्टर की हर प्रविष्टि $A x$ सदिश की संबंधित प्रविष्टि से कम या उसके बराबर है $b$ (घटक-वार असमानता)।

कम से कम वर्ग

एक विशेष मामले के रूप में जब क्यू सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स | सममित सकारात्मक-निश्चित है, तो लागत फ़ंक्शन कम से कम वर्गों में घट जाती है:

minimize	${\tfrac {1}{2}}\\|R\mathbf {x} -\mathbf {d} \\|^{2}$
subject to	$A\mathbf {x} \preceq \mathbf {b} ,$

कहाँ $Q = R T R$ के चोल्स्की अपघटन से अनुसरण करता है $Q$ और $c = - R T d$ . इसके विपरीत, इस तरह के किसी भी कम से कम वर्ग कार्यक्रम को सामान्य गैर-स्क्वायर के लिए भी QP के रूप में समान रूप से तैयार किया जा सकता है $R$ आव्यूह।

सामान्यीकरण

किसी फ़ंक्शन को कम करते समय $f$ किसी संदर्भ बिंदु के पड़ोस में $x 0$ , $Q$ इसके हेसियन मैट्रिक्स पर सेट है $H (f (x 0))$ और $c$ इसकी ग्रेडियेंट पर सेट है $\nabla f (x 0)$ . एक संबंधित प्रोग्रामिंग समस्या, द्विघात रूप से विवश द्विघात प्रोग्रामिंग, चर पर द्विघात बाधाओं को जोड़कर उत्पन्न की जा सकती है।

समाधान के तरीके

सामान्य समस्याओं के लिए विभिन्न तरीकों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं

* आंतरिक बिंदु विधि,

* सक्रिय सेट,^[3]

*संवर्धित Lagrangian विधि,^[4]

* संयुग्मी ढाल विधि,

ग्रेडिएंट प्रोजेक्शन विधि,

* सिंप्लेक्स एल्गोरिदम का विस्तार।^[3]

जिस मामले में $Q$ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, समस्या उत्तल अनुकूलन के अधिक सामान्य क्षेत्र का एक विशेष मामला है।

समानता की कमी

द्विघात प्रोग्रामिंग विशेष रूप से सरल होती है जब $Q$ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है और केवल समानता की बाधाएं हैं; विशेष रूप से, समाधान प्रक्रिया रैखिक है। Lagrange गुणकों का उपयोग करके और Lagrangian के चरम की तलाश करके, यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि समानता की समस्या का समाधान

{\text{Minimize}}\quad {\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }Q\mathbf {x} +\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x}

{\text{subject to}}\quad E\mathbf {x} =\mathbf {d}

रैखिक प्रणाली द्वारा दिया गया है

{\begin{bmatrix}Q&E^{\top }\\E&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {c} \\\mathbf {d} \end{bmatrix}}

कहाँ $λ$ लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का एक सेट है जो साथ में समाधान से निकलता है $x$ .

इस प्रणाली तक पहुँचने का सबसे आसान साधन प्रत्यक्ष समाधान है (उदाहरण के लिए, LU गुणन), जो छोटी समस्याओं के लिए बहुत ही व्यावहारिक है। बड़ी समस्याओं के लिए, प्रणाली कुछ असामान्य कठिनाइयाँ उत्पन्न करती है, विशेष रूप से यह कि समस्या कभी भी सकारात्मक निश्चित नहीं होती है (भले ही $Q$ is), एक अच्छा संख्यात्मक दृष्टिकोण खोजने के लिए इसे संभावित रूप से बहुत कठिन बना देता है, और समस्या पर निर्भर रहने के लिए कई दृष्टिकोण हैं।^[5] यदि बाधाएँ चरों को बहुत कसकर नहीं जोड़ती हैं, तो चरों को बदलने के लिए एक अपेक्षाकृत सरल हमला है ताकि बाधाएँ बिना शर्त संतुष्ट हों। उदाहरण के लिए मान लीजिए $d = 0$ (अशून्य के लिए सामान्यीकरण सीधा है)। बाधा समीकरणों को देखते हुए:

E\mathbf {x} =0

एक नया चर पेश करें $y$ द्वारा परिभाषित

Z\mathbf {y} =\mathbf {x}

कहाँ $y$ का आयाम है $x$ बाधाओं की संख्या घटाएं। तब

EZ\mathbf {y} =\mathbf {0}

और अगर $Z$ इसलिए चुना जाता है $EZ = 0$ बाधा समीकरण हमेशा संतुष्ट रहेगा। ऐसे खोज रहे हैं $Z$ की शून्य जगह खोजने पर जोर देता है $E$ , जो की संरचना के आधार पर कमोबेश सरल है $E$ . द्विघात रूप में प्रतिस्थापन एक अप्रतिबंधित न्यूनीकरण समस्या देता है:

{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\top }Q\mathbf {x} +\mathbf {c} ^{\top }\mathbf {x} \quad \implies \quad {\tfrac {1}{2}}\mathbf {y} ^{\top }Z^{\top }QZ\mathbf {y} +\left(Z^{\top }\mathbf {c} \right)^{\top }\mathbf {y}

जिसका समाधान इसके द्वारा दिया गया है:

Z^{\top }QZ\mathbf {y} =-Z^{\top }\mathbf {c}

कुछ शर्तों के तहत $Q$ , कम मैट्रिक्स $Z T QZ$ सकारात्मक निश्चित रहेगा। संयुग्मी प्रवणता पद्धति पर भिन्नता लिखना संभव है जो की स्पष्ट गणना से बचा जाता है $Z$ .^[6]

लग्रंगियन द्वैत

किसी QP की Lagrangian Dual समस्या भी एक QP है। इसे देखने के लिए आइए हम उस मामले पर ध्यान दें जहां $c = 0$ और $Q$ सकारात्मक निश्चित है। लैग्रेंज गुणक फलन को हम इस प्रकार लिखते हैं

L(x,\lambda )={\tfrac {1}{2}}x^{\top }Qx+\lambda ^{\top }(Ax-b).

(Lagrangian) दोहरे कार्य को परिभाषित करना $g (λ)$ जैसा $g(\lambda )=\inf _{x}L(x,\lambda )$ , हम का एक infinum पाते हैं $L$ , का उपयोग कर $\nabla _{x}L(x,\lambda )=0$ और सकारात्मक-निश्चितता $Q$ :

x^{*}=-Q^{-1}A^{\top }\lambda .

इसलिए दोहरा कार्य है

g(\lambda )=-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{\top }AQ^{-1}A^{\top }\lambda -\lambda ^{\top }b,

और इसलिए QP का Lagrangian दोहरा है

{\text{maximize}}_{\lambda \geq 0}\quad -{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{\top }AQ^{-1}A^{\top }\lambda -\lambda ^{\top }b

Lagrangian द्वैत सिद्धांत के अलावा, अन्य द्वैत युग्म हैं (जैसे वोल्फ द्वैत, आदि)।

जटिलता

सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के लिए $Q$ दीर्घवृत्ताभ विधि (कमजोर) बहुपद समय में समस्या को हल करती है।^[7] यदि, दूसरी ओर, $Q$ अनिश्चित है, तो समस्या एनपी कठिन है।^[8] इन गैर-उत्तल समस्याओं के लिए कई स्थिर बिंदु और स्थानीय न्यूनतम हो सकते हैं। वास्तव में, भले ही $Q$ केवल एक नकारात्मक eigenvalue है, समस्या (दृढ़ता से) एनपी-हार्ड है।^[9]

पूर्णांक बाधाएँ

कुछ स्थितियाँ ऐसी होती हैं जहाँ सदिश के एक या अधिक अवयव होते हैं $x$ पूर्णांक मान लेने की आवश्यकता होगी। इससे मिश्रित-पूर्णांक द्विघात प्रोग्रामिंग (MIQP) समस्या का निर्माण होता है।^[10] MIQP के अनुप्रयोगों में जल संसाधन शामिल हैं^[11] और ट्रैकिंग त्रुटि # इंडेक्स फंड निर्माण।^[12]

सॉल्वर और स्क्रिप्टिंग (प्रोग्रामिंग) भाषाएं

Name	Brief info
AIMMS	A software system for modeling and solving optimization and scheduling-type problems
ALGLIB	Dual licensed (GPL/proprietary) numerical library (C++, .NET).
AMPL	A popular modeling language for large-scale mathematical optimization.
APMonitor	Modeling and optimization suite for LP, QP, NLP, MILP, MINLP, and DAE systems in MATLAB and Python.
Artelys Knitro	An Integrated Package for Nonlinear Optimization
CGAL	An open source computational geometry package which includes a quadratic programming solver.
CPLEX	Popular solver with an API (C, C++, Java, .Net, Python, Matlab and R). Free for academics.
Excel Solver Function	A nonlinear solver adjusted to spreadsheets in which function evaluations are based on the recalculating cells. Basic version available as a standard add-on for Excel.
GAMS	A high-level modeling system for mathematical optimization
GNU Octave	A free (its licence is GPLv3) general-purpose and matrix-oriented programming-language for numerical computing, similar to MATLAB. Quadratic programming in GNU Octave is available via its qp command
HiGHS	Open-source software for solving linear programming (LP), mixed-integer programming (MIP), and convex quadratic programming (QP) models
IMSL	A set of mathematical and statistical functions that programmers can embed into their software applications.
IPOPT	IPOPT (Interior Point OPTimizer) is a software package for large-scale nonlinear optimization.
Maple	General-purpose programming language for mathematics. Solving a quadratic problem in Maple is accomplished via its QPSolve command.
MATLAB	A general-purpose and matrix-oriented programming-language for numerical computing. Quadratic programming in MATLAB requires the Optimization Toolbox in addition to the base MATLAB product
Mathematica	A general-purpose programming-language for mathematics, including symbolic and numerical capabilities.
MOSEK	A solver for large scale optimization with API for several languages (C++, Java, .Net, Matlab and Python).
NAG Numerical Library	A collection of mathematical and statistical routines developed by the Numerical Algorithms Group for multiple programming languages (C, C++, Fortran, Visual Basic, Java and C#) and packages (MATLAB, Excel, R, LabVIEW). The Optimization chapter of the NAG Library includes routines for quadratic programming problems with both sparse and non-sparse linear constraint matrices, together with routines for the optimization of linear, nonlinear, sums of squares of linear or nonlinear functions with nonlinear, bounded or no constraints. The NAG Library has routines for both local and global optimization, and for continuous or integer problems.
Python	High-level programming language with bindings for most available solvers. Quadratic programming is available via the solve_qp function or by calling a specific solver directly.
R (Fortran)	GPL licensed universal cross-platform statistical computation framework.
SAS/OR	A suite of solvers for Linear, Integer, Nonlinear, Derivative-Free, Network, Combinatorial and Constraint Optimization; the Algebraic modeling language OPTMODEL; and a variety of vertical solutions aimed at specific problems/markets, all of which are fully integrated with the SAS System.
SuanShu	an open-source suite of optimization algorithms to solve LP, QP, SOCP, SDP, SQP in Java
TK Solver	Mathematical modeling and problem solving software system based on a declarative, rule-based language, commercialized by Universal Technical Systems, Inc..
TOMLAB	Supports global optimization, integer programming, all types of least squares, linear, quadratic and unconstrained programming for MATLAB. TOMLAB supports solvers like CPLEX, SNOPT and KNITRO.
XPRESS	Solver for large-scale linear programs, quadratic programs, general nonlinear and mixed-integer programs. Has API for several programming languages, also has a modelling language Mosel and works with AMPL, GAMS. Free for academic use.

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Wright, Stephen J. (2015), "Continuous Optimization (Nonlinear and Linear Programming)", in Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press, pp. 281–293
↑ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 449. ISBN 978-0-387-30303-1..
↑ ^3.0 ^3.1 Murty, Katta G. (1988). Linear complementarity, linear and nonlinear programming. Sigma Series in Applied Mathematics. Vol. 3. Berlin: Heldermann Verlag. pp. xlviii+629 pp. ISBN 978-3-88538-403-8. MR 0949214. Archived from the original on 2010-04-01.
↑ Delbos, F.; Gilbert, J.Ch. (2005). "Global linear convergence of an augmented Lagrangian algorithm for solving convex quadratic optimization problems" (PDF). Journal of Convex Analysis. 12: 45–69. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
↑ Google search.
↑ Gould, Nicholas I. M.; Hribar, Mary E.; Nocedal, Jorge (April 2001). "On the Solution of Equality Constrained Quadratic Programming Problems Arising in Optimization". SIAM J. Sci. Comput. 23 (4): 1376–1395. CiteSeerX 10.1.1.129.7555. doi:10.1137/S1064827598345667.
↑ Kozlov, M. K.; S. P. Tarasov; Leonid G. Khachiyan (1979). "[Polynomial solvability of convex quadratic programming]". Doklady Akademii Nauk SSSR. 248: 1049–1051. Translated in: Soviet Mathematics - Doklady. 20: 1108–1111. {{cite journal}}: Missing or empty |title= (help)
↑ Sahni, S. (1974). "Computationally related problems" (PDF). SIAM Journal on Computing. 3 (4): 262–279. CiteSeerX 10.1.1.145.8685. doi:10.1137/0203021.
↑ Pardalos, Panos M.; Vavasis, Stephen A. (1991). "Quadratic programming with one negative eigenvalue is (strongly) NP-hard". Journal of Global Optimization. 1 (1): 15–22. doi:10.1007/bf00120662. S2CID 12602885.
↑ Lazimy, Rafael (1982-12-01). "Mixed-integer quadratic programming". Mathematical Programming (in English). 22 (1): 332–349. doi:10.1007/BF01581047. ISSN 1436-4646. S2CID 8456219.
↑ Propato Marco; Uber James G. (2004-07-01). "Booster System Design Using Mixed-Integer Quadratic Programming". Journal of Water Resources Planning and Management. 130 (4): 348–352. doi:10.1061/(ASCE)0733-9496(2004)130:4(348).
↑ Cornuéjols, Gérard; Peña, Javier; Tütüncü, Reha (2018). Optimization Methods in Finance (2nd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 167–168. ISBN 9781107297340.

अग्रिम पठन

Cottle, Richard W.; Pang, Jong-Shi; Stone, Richard E. (1992). The linear complementarity problem. Computer Science and Scientific Computing. Boston, MA: Academic Press, Inc. pp. xxiv+762 pp. ISBN 978-0-12-192350-1. MR 1150683.
Garey, Michael R.; Johnson, David S. (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W.H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1045-5. A6: MP2, pg.245.
Gould, Nicholas I. M.; Toint, Philippe L. (2000). "A Quadratic Programming Bibliography" (PDF). RAL Numerical Analysis Group Internal Report 2000-1.

बाहरी संबंध

| group5 = Metaheuristics | abbr5 = heuristic | list5 =

| below =

Software

}} | group5 =Metaheuuristic |abbr5 = heuristic | list5 =*विकासवादी एल्गोरिथ्म

| below =* सॉफ्टवेयर

}}

[PrincetonCompanion-1] Wright, Stephen J. (2015), "Continuous Optimization (Nonlinear and Linear Programming)", in Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press, pp. 281–293

[2] Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 449. ISBN 978-0-387-30303-1..

[ioe.engin.umich-3] 3.0 ^3.1 Murty, Katta G. (1988). Linear complementarity, linear and nonlinear programming. Sigma Series in Applied Mathematics. Vol. 3. Berlin: Heldermann Verlag. pp. xlviii+629 pp. ISBN 978-3-88538-403-8. MR 0949214. Archived from the original on 2010-04-01.

[4] Delbos, F.; Gilbert, J.Ch. (2005). "Global linear convergence of an augmented Lagrangian algorithm for solving convex quadratic optimization problems" (PDF). Journal of Convex Analysis. 12: 45–69. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

[5] Google search.

[6] Gould, Nicholas I. M.; Hribar, Mary E.; Nocedal, Jorge (April 2001). "On the Solution of Equality Constrained Quadratic Programming Problems Arising in Optimization". SIAM J. Sci. Comput. 23 (4): 1376–1395. CiteSeerX 10.1.1.129.7555. doi:10.1137/S1064827598345667.

[7] Kozlov, M. K.; S. P. Tarasov; Leonid G. Khachiyan (1979). "[Polynomial solvability of convex quadratic programming]". Doklady Akademii Nauk SSSR. 248: 1049–1051. Translated in: Soviet Mathematics - Doklady. 20: 1108–1111. {{cite journal}}: Missing or empty |title= (help)

[8] Sahni, S. (1974). "Computationally related problems" (PDF). SIAM Journal on Computing. 3 (4): 262–279. CiteSeerX 10.1.1.145.8685. doi:10.1137/0203021.

[9] Pardalos, Panos M.; Vavasis, Stephen A. (1991). "Quadratic programming with one negative eigenvalue is (strongly) NP-hard". Journal of Global Optimization. 1 (1): 15–22. doi:10.1007/bf00120662. S2CID 12602885.

[10] Lazimy, Rafael (1982-12-01). "Mixed-integer quadratic programming". Mathematical Programming (in English). 22 (1): 332–349. doi:10.1007/BF01581047. ISSN 1436-4646. S2CID 8456219.

[11] Propato Marco; Uber James G. (2004-07-01). "Booster System Design Using Mixed-Integer Quadratic Programming". Journal of Water Resources Planning and Management. 130 (4): 348–352. doi:10.1061/(ASCE)0733-9496(2004)130:4(348).

[12] Cornuéjols, Gérard; Peña, Javier; Tütüncü, Reha (2018). Optimization Methods in Finance (2nd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 167–168. ISBN 9781107297340.

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v t e Complementarity problems and algorithms
Complementarity Problems	Linear programming (LP) Quadratic programming (QP) Linear complementarity problem (LCP) Mixed linear (MLCP) Mixed (MCP) Nonlinear(NCP)
Basis-exchange algorithms	Simplex (Dantzig) Revised simplex Criss-cross Lemke

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