गुणांक आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक गुणांक मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) होता है जिसमें रैखिक समीकरणों के एक सेट में चर के गुणांक होते हैं। मैट्रिक्स का उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में किया जाता है।

गुणांक मैट्रिक्स

सामान्य तौर पर, एक प्रणाली के साथ m रैखिक समीकरण और n अज्ञात के रूप में लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}$

कहाँ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ अज्ञात और संख्याएं हैं $a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}$ सिस्टम के गुणांक हैं। गुणांक मैट्रिक्स है m × n गुणांक के साथ मैट्रिक्स a_ij के रूप में (i, j)फिर कोशिश करो:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

तब समीकरणों के उपरोक्त सेट को अधिक संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

कहाँ A गुणांक मैट्रिक्स है और b अचर पदों का स्तंभ सदिश है।

इसके गुणों का समीकरण प्रणाली के गुणों से संबंध

रोचे-कैपेली प्रमेय द्वारा, समीकरणों की प्रणाली असंगत समीकरण है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई समाधान नहीं है, अगर संवर्धित मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित) (वेक्टर से मिलकर एक अतिरिक्त कॉलम के साथ संवर्धित गुणांक मैट्रिक्स) b) गुणांक मैट्रिक्स के रैंक से अधिक है। यदि, दूसरी ओर, इन दो आव्यूहों की कोटि समान हैं, तो तंत्र में कम से कम एक हल होना चाहिए। समाधान अद्वितीय है अगर और केवल अगर रैंक r संख्या के बराबर है n चर का। अन्यथा सामान्य समाधान है n – r मुक्त पैरामीटर; इसलिए ऐसे मामले में अनंत समाधान होते हैं, जिन पर मनमाना मूल्य लगाकर पाया जा सकता है n – r चर और इसके अद्वितीय समाधान के लिए परिणामी प्रणाली को हल करना; किस चर को ठीक करना है, इसके विभिन्न विकल्प, और उनके विभिन्न निश्चित मान, अलग-अलग सिस्टम समाधान देते हैं।

गतिशील समीकरण

स्थिर पद के साथ प्रथम-क्रम मैट्रिक्स अंतर समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} _{t}+\mathbf {c} ,$

कहाँ A है n × n और y और c हैं n × 1. यह प्रणाली अपने स्थिर-अवस्था स्तर पर अभिसरित होती है y यदि और केवल यदि सभी के निरपेक्ष मान n के eigenvalue A 1 से कम हैं।

स्थिर पद के साथ प्रथम-क्रम मैट्रिक्स अंतर समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

${\frac {d\mathbf {y} }{dt}}=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {c} .$

यह प्रणाली स्थिर है अगर और केवल अगर सभी n के आइगेनवैल्यू A में ऋणात्मक सम्मिश्र संख्या होती है।