एरलांग वितरण

This article is about the mathematical / statistical distribution concept. For other uses, see Erlang.

Erlang

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$k\in \{1,2,3,\ldots \},$ shape $\lambda \in (0,\infty ),$ rate alt.: $\beta =1/\lambda ,$ scale
Support	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}$
CDF	$P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$
Mean	${\frac {k}{\lambda }}$
Median	No simple closed form
Mode	${\frac {1}{\lambda }}(k-1)$
Variance	${\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
Skewness	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {6}{k}}$
Entropy	$(1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k$
MGF	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}$ for $t<\lambda$
CF	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}$

एरलांग वितरण समर्थन (गणित) के साथ निरंतर संभाव्यता वितरण का दो-पैरामीटर परिवार है $x\in [0,\infty )$. दो पैरामीटर हैं:

• एक सकारात्मक पूर्णांक $k,$ आकार, और
• एक सकारात्मक वास्तविक संख्या $\lambda ,$ दर । पैमाना , $\beta ,$ दर का व्युत्क्रम, कभी-कभी इसके बजाय उपयोग किया जाता है।

एरलांग वितरण एक योग का वितरण है $k$ स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) माध्य के साथ घातीय वितरण $1/\lambda$ प्रत्येक। समतुल्य रूप से, यह उस समय का वितरण है जब तक कि प्वासन प्रक्रिया की k वीं घटना की दर से नहीं हो जाती $\lambda$. Erlang और Poisson वितरण पूरक हैं, जबकि Poisson वितरण निश्चित समय में होने वाली घटनाओं की संख्या की गणना करता है, Erlang वितरण घटनाओं की एक निश्चित संख्या की घटना तक समय की मात्रा की गणना करता है। कब $k=1$, बंटन घातीय बंटन के लिए सरल हो जाता है। एरलांग वितरण गामा वितरण का एक विशेष मामला है जिसमें वितरण का आकार अलग-अलग होता है।

Erlang वितरण Agner Krarup Erlang|A द्वारा विकसित किया गया था। K. Erlang टेलीफोन कॉल की संख्या की जांच करने के लिए जो स्विचिंग स्टेशनों के ऑपरेटरों को एक ही समय में किया जा सकता है। सामान्य तौर पर क्यूइंग सिद्धांतों में प्रतीक्षा समय पर विचार करने के लिए टेलीफोन टेलीट्रैफिक इंजीनियरिंग पर यह काम विस्तारित किया गया है। वितरण का उपयोग स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के क्षेत्र में भी किया जाता है।

विशेषता

संभाव्यता घनत्व समारोह

Erlang बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन है

$f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,$

पैरामीटर k को आकार पैरामीटर और पैरामीटर कहा जाता है $\lambda$ दर पैरामीटर कहा जाता है।

एक वैकल्पिक, लेकिन समतुल्य, पैरामीट्रिजेशन स्केल पैरामीटर का उपयोग करता है $\beta$, जो दर पैरामीटर का व्युत्क्रम है (अर्थात, $\beta =1/\lambda$):

$f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{for }}x,\beta \geq 0.$

जब स्केल पैरामीटर $\beta$ 2 के बराबर है, वितरण 2k स्वतंत्रता की डिग्री के साथ ची-वर्ग वितरण को सरल करता है। इसलिए इसे स्वतंत्रता की कोटि की सम संख्याओं के लिए सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण के रूप में माना जा सकता है।

संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ)

Erlang बंटन का संचयी बंटन फलन है

$F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},$

कहाँ $\gamma$ निचला अधूरा गामा फ़ंक्शन है और $P$ अधूरा गामा फ़ंक्शन # नियमित गामा फ़ंक्शन और पॉइसन यादृच्छिक चर है। सीडीएफ को भी व्यक्त किया जा सकता है

$F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.$

एरलांग-के

Erlang-k बंटन (जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है) $E_{k}(\lambda )$ Erlang वितरण के PDF में k सेट करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Erlang-2 वितरण है $E_{2}(\lambda )={\lambda ^{2}x}e^{-\lambda x}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0$, जो समान है $f(x;2,\lambda )$.

मध्य

एक स्पर्शोन्मुख विस्तार एक Erlang वितरण के माध्यिका के लिए जाना जाता है, जिसके लिए गुणांकों की गणना की जा सकती है और सीमाएं ज्ञात हैं। एक अनुमान है ${\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),$ यानी औसत से नीचे ${\frac {k}{\lambda }}.$

एरलांग-वितरित यादृच्छिक चर उत्पन्न करना

एरलांग-वितरित यादृच्छिक चर समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याओं से उत्पन्न हो सकते हैं ($U\in [0,1]$) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हुए:

$E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}$

अनुप्रयोग

प्रतीक्षा समय

कुछ औसत दर के साथ स्वतंत्र रूप से घटित होने वाली घटनाओं को एक पॉइसन प्रक्रिया के साथ प्रतिरूपित किया जाता है। घटना की k घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय Erlang वितरित किया जाता है। (किसी दिए गए समय में घटनाओं की संख्या से संबंधित प्रश्न पॉसों वितरण द्वारा वर्णित है।)

Erlang वितरण, जो इनकमिंग कॉल के बीच के समय को मापता है, का उपयोग इनकमिंग कॉल की अपेक्षित अवधि के साथ संयोजन में किया जा सकता है ताकि erlangs में मापे गए ट्रैफ़िक लोड के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सके। इसका उपयोग पैकेट के नुकसान या देरी की संभावना को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, इस बारे में की गई विभिन्न धारणाओं के अनुसार कि क्या ब्लॉक किए गए कॉल निरस्त किए गए हैं (Erlang B सूत्र) या कतारबद्ध जब तक सेवा नहीं दी गई है (Erlang C सूत्र)। Erlang-B और Erlang इकाई#Erlang C सूत्र सूत्र अभी भी कॉल सेंटरों के डिज़ाइन जैसे अनुप्रयोगों के लिए यातायात मॉडलिंग के लिए दैनिक उपयोग में हैं।

अन्य अनुप्रयोग

कैंसर रोग की घटना का आयु वितरण अक्सर एरलांग वितरण का अनुसरण करता है, जबकि आकार और पैमाने के पैरामीटर क्रमशः कैंसरजनन की संख्या और उनके बीच समय अंतराल की भविष्यवाणी करते हैं। अधिक आम तौर पर, मल्टी-स्टेज मॉडल के परिणाम के रूप में, एरलांग वितरण को सेल चक्र समय वितरण के अच्छे अनुमान के रूप में सुझाया गया है। इंटरपरचेज समय का वर्णन करने के लिए इसका उपयोग व्यावसायिक अर्थशास्त्र में भी किया गया है।

गुण

• अगर $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$ तब $a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)$ साथ $a\in \mathbb {R}$
• अगर $X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )$ और $Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )$ तब $X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )$ अगर $X,Y$ स्वतंत्र हैं

संबंधित वितरण

• Erlang बंटन k स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग का वितरण है, प्रत्येक में एक घातीय वितरण है। लंबी अवधि की दर जिस पर घटनाएं घटित होती हैं, वह अपेक्षा का व्युत्क्रम है $X,$ वह है, $\lambda /k.$ एरलांग वितरण की (आयु विशिष्ट घटना) दर है, के लिए $k>1,$ मोनोटोनिक में $x,$ 0 बजे से बढ़ रहा है $x=0,$ को $\lambda$ जैसा $x$ अनंत की ओर जाता है। **अर्थात्: यदि $X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),$ तब
  $$\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$$
• #संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और #संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) के भाजक में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के कारण, एरलांग वितरण केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब पैरामीटर k एक सकारात्मक पूर्णांक होता है। वास्तव में, इस वितरण को कभी-कभी 'एरलांग-के वितरण' कहा जाता है (उदाहरण के लिए, एरलांग -2 वितरण एक एरलांग वितरण है $k=2$). गामा वितरण फैक्टोरियल फ़ंक्शन के बजाय गामा समारोह का उपयोग करके, किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या होने की अनुमति देकर एरलांग वितरण को सामान्यीकृत करता है।
  • अर्थात्: यदि k एक पूर्णांक है और $X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),$ तब $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$
• अगर $U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )$ और $V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )$ तब ${\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)$
• Erlang बंटन पियर्सन बंटन का एक विशेष मामला है
• Erlang बंटन काई-वर्ग बंटन से संबंधित है। अगर $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),$ तब $2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.$
• Erlang बंटन Poisson प्रक्रिया द्वारा Poisson बंटन से संबंधित है: यदि $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ ऐसा है कि $X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),$ तब
  $$S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )$$
  और
  $$\operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.$$
  मतभेदों को खत्म करना $n$ पोइसन वितरण देता है।

यह भी देखें

• फेज-टाइप डिस्ट्रीब्यूशन#कॉक्सियन डिस्ट्रीब्यूशन
• एंगसेट गणना
• एरलांग बी फॉर्मूला
• एरलांग इकाई
• चरण-प्रकार वितरण
• यातायात उत्पादन मॉडल

संदर्भ

• Ian Angus "An Introduction to Erlang B and Erlang C", Telemanagement #187 (PDF Document - Has terms and formulae plus short biography)
• Stuart Harris "Erlang Calculations vs. Simulation"

बाहरी संबंध

• Erlang Distribution
• Resource Dimensioning Using Erlang-B and Erlang-C