पारस्परिक वितरण

Reciprocal

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$0<a<b,a,b\in \mathbb {R}$
Support	$[a,b]$
PDF	${\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}$
CDF	${\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
Mean	${\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
Median	${\sqrt {ab}}$
Variance	${\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}$

संभाव्यता और सांख्यिकी में, पारस्परिक वितरण, जिसे लॉग-यूनिफ़ॉर्म वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत संभाव्यता वितरण है। वितरण के समर्थन के भीतर, चर के गुणक व्युत्क्रम के समानुपाती होने के कारण, इसकी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की विशेषता है।

पारस्परिक वितरण एक व्युत्क्रम वितरण का एक उदाहरण है, और एक पारस्परिक वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम (प्रतिलोम) में एक पारस्परिक वितरण होता है।

परिभाषा

पारस्परिक बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है

$f(x;a,b)={\frac {1}{x[\log _{e}(b)-\log _{e}(a)]}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b{\text{ and }}a>0.$

यहाँ, $a$ और $b$ वितरण के पैरामीटर हैं, जो वितरण के समर्थन की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं, और $\log _{e}$ प्राकृतिक लॉग फ़ंक्शन है (आधार e (गणितीय स्थिरांक) का लघुगणक)। संचयी वितरण समारोह है

$F(x;a,b)={\frac {\log _{e}(x)-\log _{e}(a)}{\log _{e}(b)-\log _{e}(a)}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b.$

विशेषता

लॉग-वर्दी और समान वितरण के बीच संबंध

पारस्परिक वितरण से यादृच्छिक विचलन का हिस्टोग्राम और लॉग-हिस्टोग्राम

यदि X का लघुगणक समान रूप से वितरित है, तो एक सकारात्मक यादृच्छिक चर X लॉग-समान रूप से वितरित है,

$\ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b)).$

लॉगरिदमिक या एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के आधार पर ध्यान दिए बिना यह संबंध सत्य है। अगर $\log _{a}(Y)$ एकसमान वितरित है, तो ऐसा है $\log _{b}(Y)$, किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए $a,b\neq 1$. इसी तरह अगर $e^{X}$ लॉग-वर्दी वितरित है, तो ऐसा है $a^{X}$, कहाँ $0<a\neq 1$.

अनुप्रयोग

संख्यात्मक विश्लेषण में पारस्परिक वितरण का काफी महत्व है, क्योंकि एक कंप्यूटर के अंकगणितीय संचालन एक सीमित वितरण के रूप में पारस्परिक वितरण में प्रारंभिक स्वैच्छिक वितरण के महत्व को बदलते हैं।